第一讲 数学建模教育与竞赛讲座.ppt

1 中国矿业大学徐海学院 数学建模教育与竞赛 主讲 彭红军 中国矿业大学徐海学院 暑假数学建模集训 2 数学模型 MathematicalModel 是用数学符号 数学式子 程序 图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划 它或能解释某些客观现象 或能预测未来的发展规律 或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略 数学建模 MathematicalModeling 应用知识从实际课题中抽象 提炼出数学模型的过程 1数学模型与数学建模 一 数学模型基本概念 3 1 了解问题的实际背景 明确建模目的 收集掌握必要的数据资料 2 在明确建模目的 掌握必要资料的基础上 通过对资料的分析计算 找出起主要作用的因素 经过必要的精炼 简化 提出若干符合客观实际的假设 3 在所作假设的基础上 利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系 建立相应的数学结构 即建立数学模型 4 模型求解 5 模型的分析与检验 2数学建模的一般步骤 4 3数学模型的分类 5 1 翻译能力 2 数学建模在调查研究阶段 需要用到观察能力 分析能力和数据处理能力等 在提出假设时 又需要用到想象力和归纳简化能力 3 在真正开始自己的研究之前 还应当尽可能先了解一下前人或别人的工作 使自己的工作成为别人研究工作的继续而不是别人工作的重复 因此我们还应当学会在尽可能短的时间内查到并学会我想应用的知识的本领 4 还需要你多少要有点创新能力 这种能力不是生来就有的 建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会 4数学建模与能力的培养 6 二数学建模竞赛 数学建模竞赛的规则 数学建模竞赛是全国大学生规模最大的课外科技活动 从一个侧面反映一个学校学生的综合能力 各校领导高度重视 这也为学生提供展示自我才华的舞台 7 数学建模的好处 可以更容易拿奖学金 是找工作的重要砝码 可以锻炼自学能力 可以锻炼团队协作能力 可以锻炼我们的毅力 培养科学研究的能力 8 三我院近年来数学建模竞赛发展状况 1 数学建模教学与培训逐步完善数学建模选修课每年暑假开展数学建模集训每年举办数学建模月活动 2 数学建模竞赛组织工作日趋规范徐海学院数学建模竞赛 每年11 12月份 苏北地区数学建模竞赛 每年5月份 全国数学建模竞赛 每年9月份 国际数学建模竞赛 每年2月份 9 数学建模竞赛获奖高居同类学校前列 10 11 12 13 四 大学生数学建模竞赛试题赏析 14 问题1 2007全国A 中国人口增长预测中国是一个人口大国 人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一 根据已有数据 运用数学建模的方法 对中国人口做出分析和预测是一个重要问题 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点 例如 老龄化进程加速 出生人口性别比持续升高 以及乡村人口城镇化等因素 这些都影响着中国人口的增长 2007年初发布的 国家人口发展战略研究报告 附录1 还做出了进一步的分析 15 关于中国人口问题已有多方面的研究 并积累了大量数据资料 附录2就是从 中国人口统计年鉴 上收集到的部分数据 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发 参考附录2中的相关数据 也可以搜索相关文献和补充新的数据 建立中国人口增长的数学模型 并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测 特别要指出你们模型中的优点与不足之处 附录1 国家人口发展战略研究报告 附录2数据 中国人口统计年鉴 中的部分数据 及其说明 16 问题2 2007全国B 乘公交 看奥运我国人民翘首企盼的第29届奥运会明年8月将在北京举行 届时有大量观众到现场观看奥运比赛 其中大部分人将会乘坐公共交通工具 简称公交 包括公汽 地铁等 出行 这些年来 城市的公交系统有了很大发展 北京市的公交线路已达800条以上 使得公众的出行更加通畅 便利 但同时也面临多条线路的选择问题 针对市场需求 某公司准备研制开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统 17 为了设计这样一个系统 其核心是线路选择的模型与算法 应该从实际情况出发考虑 满足查询者的各种不同需求 请你们解决如下问题 1 仅考虑公汽线路 给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法 并根据附录数据 利用你们的模型与算法 求出以下6对起始站 终到站之间的最佳路线 要有清晰的评价说明 1 S3359 S1828 2 S1557 S0481 3 S0971 S0485 4 S0008 S0073 5 S0148 S0485 6 S0087 S36762 同时考虑公汽与地铁线路 解决以上问题 3 假设又知道所有站点之间的步行时间 请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型 18 附录1 基本参数设定相邻公汽站平均行驶时间 包括停站时间 3分钟相邻地铁站平均行驶时间 包括停站时间 2 5分钟公汽换乘公汽平均耗时 5分钟 其中步行时间2分钟 地铁换乘地铁平均耗时 4分钟 其中步行时间2分钟 地铁换乘公汽平均耗时 7分钟 其中步行时间4分钟 公汽换乘地铁平均耗时 6分钟 其中步行时间4分钟 公汽票价 分为单一票价与分段计价两种 标记于线路后 其中分段计价的票价为 0 20站 1元 21 40站 2元 40站以上 3元地铁票价 3元 无论地铁线路间是否换乘 注 以上参数均为简化问题而作的假设 未必与实际数据完全吻合 附录2 公交线路及相关信息 19 问题3 2008国际A 给大陆洗个澡研究一下由于全球气温升高造成的北极冰帽融化对大陆的影响 具体来说 为佛罗里达海岸今后50年 每十年由于融化造成的影响建立模型 要特别注意大型都市区 提出一些适当的回应来处理这些问题 对所使用的数据的详细讨论是答案的一个重要部分 20 问题4 2008国际B 建立数独拼图游戏建立一个算法 构造一个难度任意变化的数独拼图游戏 建立一个难度水平的标准 算法和度量标准应该是可扩展的 可以适应任意数目的难度水平 你应该至少设计出4个难度水平的算法 你的算法应该保证结果唯一 分析你的算法复杂度 你的目标是用最小的算法复杂度来实现以上的要求 21 问题5 2008全国A 数码相机定位数码相机定位在交通监管 电子警察 等方面有广泛的应用 所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置 最常用的定位方法是双目定位 即用两部相机来定位 对物体上一个特征点 用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像 分别获得该点在两部相机像平面上的坐标 只要知道两部相机精确的相对位置 就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标 即确定了特征点的位置 于是对双目定位 精确地确定两部相机的相对位置就是关键 这一过程称为系统标定 22 标定的一种做法是 在一块平板上画若干个点 同时用这两部相机照相 分别得到这些点在它们像平面上的像点 利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置 然而 无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的 点 实际的做法是在物平面上画若干个圆 称为靶标 它们的圆心就是几何的点了 而它们的像一般会变形 如图1所示 所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到 标定就可实现 23 有人设计靶标如下 取1个边长为100mm的正方形 分别以四个顶点 对应为A C D E 为圆心 12mm为半径作圆 以AC边上距离A点30mm处的B为圆心 12mm为半径作圆 如图2所示 用一位置固定的数码相机摄得其像 如图3所示 24 请你们 1 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标 这里坐标系原点取在该相机的光学中心 x y平面平行于像平面 2 对由图2 图3分别给出的靶标及其像 计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标 该相机的像距 即光学中心到像平面的距离 是1577个像素单位 1毫米约为3 78个像素单位 相机分辨率为1024 768 3 设计一种方法检验你们的模型 并对方法的精度和稳定性进行讨论 4 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法 25 问题6 2008全国B 高等教育学费标准探讨高等教育事关高素质人才培养 国家创新能力增强 和谐社会建设的大局 因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注 培养质量是高等教育的一个核心指标 不同的学科 专业在设定不同的培养目标后 其质量需要有相应的经费保障 高等教育属于非义务教育 其经费在世界各国都由政府财政拨款 学校自筹 社会捐赠和学费收入等几部分组成 对适合接受高等教育的经济困难的学生 一般可通过贷款和学费减 免 补等方式获得资助 品学兼优者还能享受政府 学校 企业等给予的奖学金 26 学费问题涉及到每一个大学生及其家庭 是一个敏感而又复杂的问题 过高的学费会使很多学生无力支付 过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量 学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论 请你们根据中国国情 收集诸如国家生均拨款 培养费用 家庭收入等相关数据 并据此通过数学建模的方法 就几类学校或专业的学费标准进行定量分析 得出明确 有说服力的结论 数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分 你们的论文必须观点鲜明 分析有据 结论明确 最后 根据你们建模分析的结果 给有关部门写一份报告 提出具体建议 27 五 怎样学习数学建模 学习lingo软件 学习Matlab软件 学习运筹学 看一本数学建模的书 学习SPSS SAS软件 学习各种算法 神经网络 模拟退火 遗传算法 图论算法 蒙特卡罗算法 学习各种模型 层次分析法 模糊评价 模糊预测 灰色理论 主成份分析法 回归分析 曲线拟合 28 Lingo Lingo是用来求解线性和非线性优化问题的工具 通俗来讲在一些约束条件下求解一个目标函数的最值 下载网址 29 Excel 函数部分 数学和三角函数 全部 统计 average count countif min max var 逻辑 if and or not 操作部分 行列锁定键 画图VBA编程 单元格内容的交换 Cells i j 注意 当Excel出现右面的小框时一定点开看一看 30 Matlab matlab是数学建模中最重要的编程工具 需要仔细系统地学习 Matlab需要开始边上机边看书 熟悉了界面之后就不用上机了 大部分时间看书就可以了 偶尔上机练习一下 书目 图书馆 只借Matlab基础的书 不要借Matlab具体工具箱和具体应用的书 31 运筹学 数学建模中利用运筹学的东西特别多 可以到图书馆借一本运筹学来看 注意 看运筹学时具体怎么求解出来的不用在意 只要能列出表达式就行 要结合lingo进行学习 32 模型 书目 张兴永 数学建模 姜启源 数学模型 赵静 但琦 数学建模与数学实验 其它数学建模的书 可以到图书馆借或者去二手书卖店购买 33 网络资源检索 学会百度和Google的高级搜索 学会图书馆资源检索的方法 CNKI 维普 万方 超星 34 35 36 数学建模竞赛几点说明 37 参加数学建模竞赛要注意的问题 38 二 充分重视竞赛论文的质量 1 评定参赛队的成绩好坏 高低 获奖级别 竞赛论文是唯一依据 2 答卷是竞赛活动的成绩结晶的书面形式 3 写好答卷的训练 是科技写作的一种基本训练 WORD的排版 作图 表格要很熟悉 论文排版要漂亮 整洁 一个排版很乱的论文 很难受到评委的青睐 39 三 论文评选标准 1 假设的合理性 2 建模的创造性 3 结果的合理性 4 表述的清晰程度 40 四 数学建模竞赛论文写作规范 1 论文摘要在评奖中很重要 1 论文摘要应在400字左右 2 摘要应包括 a 数学模型的归类 在数学上属于什么类型 b 所用的数学知识 建模的思想 算法思想 模型及算法特点 c 主要结果 数值结果 结论 回答题目所问的全部 问题 3 摘要表述要准确 简明 条理清晰 合乎语法 字体工整漂亮 41 2 问题的重述 将原问题表达清楚 如果问题表述很长 数据很多 可以简捷的描述 3 问题的分析 4 模型假设 1 根据题目中条件作出假设 2 根据题目中要求作出假设 3 关键性假设不能缺 假设要切合题意 合理 5 符号说明 要注意整篇文章符号一致 42 建立数学模型应注意以下几点 1 分清变量类型 恰当使用数学工具 2 抓住问题本质 简化变量之间的关系 3 建立数学模型时要有严密的数学推理 4 用数学方法建模 模型要明确 要有数学表达式 43 7 模型求解 1 重要结论需要建立数学命题时 命题叙述要符合数学命题的表述规范 尽可能论证严密 2 需要说明计算方法或算法的原理 思想 依据 步骤 若采用现有软件 说明采用此软件的理由 软件名称 3 计算过程 中间结果可要可不要的 不要列出 4 最终数值结果的正确性或合理性是第一位的 设法算出合理的数值结果 5 题目中要求回答的问题 数值结果 结论 须一一列出 6 结果表示 要集中 一目了然 直观 便于比较分析及评委查找 7 数值结果表示 精心设计表格 可能的话 用图形表示更好 44 8 结果分析 验证 模型检验及修正 1 对数值结果或模拟结果要进行必要的检验 若结果不正确 不合理 或误差大时 要分析原因 对算法 计算方法 或模型进行修正 改进 2 必要时 要对模型进行稳定性分析 统计检验 误差分析 要对不同模型进行对比及实际可行性检验 45 9 模型评价 1 优点突出 缺点不回避 2 推广或改进方向 10 参考文献 参考文献要书写规范 可参考专业学术杂志 近几年 参考文献受到越来越多的重视 11 附录 1 计算程序 详细的结果 详细的数据表格 可在此列出 但不要错 错的宁可不列 2 主要结果数据 应在正文中列出 不怕重复 46 五 检查论文主要把握三点 1 模型的正确性 合理性 创新性 数学建模的创新可体现在 建模中 模型本身 简化的好方法 好策略等 模型求解中 结果表示 分析 检验 模型检验 推广部分 2 结果的正确性 合理性 3 文字表述清晰 分析精辟 摘要精彩 47 48 七 数学建模理念 1 应用意识 要解决实际问题 结果 结论要符合实际 模型 方法 结果要易于理解 便于实际应用 站在应用者的立场上想问题 处理问题 2 数学建模 用数学方法解决问题 要有数学模型 问题模型的数学抽象 方法有普适性 科学性 不局限于本具体问题的解决 3 创新意识 建模有特点 更加合理 科学 有效 符合实际 更有普遍应用意义 不单纯为创新而创新 49 50 九 队员的合作是取胜的关键 1 数学建模竞赛三人组成一队 必须一人数学基础较好 一人应用数学软件 如Matlab lindo maple等 和编程 如c Matlab vc 等 的能力较强 一人科技论文写作的水平较好 科技论文的写作要求整篇论文的结构严谨 语言要有逻辑性 用词要准确 2 三人之间要能够配合得起来 若三人之间配合不好 会降低效率 导致整个建模的失败 3 如果可能的话 最好是数学好的懂得编程的一些知识 编程好的了解建模 搞论文写作也要了解建模 这样会合作得更好 因为数学好的在建立模型方案时会考虑到编程的便利性 以利于编程 51 4 在合作的过程中 最好是能够在三人中找出一个优秀的组长 即要能够总揽全局 包括任务的分配 相互间的合作和进度的安排 5 在建模过程中出现意见不统一 如何处理 除了一般的理解与尊重外 最重要的一点就是 给我一个相信你的理由 和 相信我 我的理由是 不要作无谓的争论 52 数学建模的常用模型与算法 1 蒙特卡罗算法 该算法又称随机性模拟算法 是通过计算机仿真来解决问题的算法 同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性 2 数据拟合 参数估计 插值等数据处理算法 比赛中通常会遇到大量的数据需要处理 而处理数据的关键就在于这些算法 通常使用Matlab作为工具 3 线性规划 整数规划 多元规划 二次规划等规划类问题 建模竞赛大多数问题属于最优化问题 很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述 通