高考数学一轮复习 9.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理精品课件 理 新人教A版.ppt

9 1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 1 分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 2 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法 那么完成这件事共有n 种不同的方法 m n mn 考点分析 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个 分析 该问题与计数有关 可考虑选用两个基本原理来计算 完成这件事 只要两位数的个位 十位确定了 这件事就算完成了 因此可考虑安排十位上的数字情况进行分类 考点一分类加法计数原理 题型分析 解析 方法一 按十位数上的数字分别是1 2 3 4 5 6 7 8的情况分成8类 在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个 7个 6个 5个 4个 3个 2个 1个 由分类加法计数原理知 符合题意的两位数的个数共有 8 7 6 5 4 3 2 1 36 个 方法二 按个位数字是2 3 4 5 6 7 8 9分成8类 在每一类中满足条件的两位数分别是1个 2个 3个 4个 5个 6个 7个 8个 所以按分类加法计数原理共有 1 2 3 4 5 6 7 8 36 个 评析 分类加法计数原理是对涉及完成某一件事的不同方法种数的计数方法 每一类的各种方法都是相互独立的 每一类中的每一种方法都可以独立完成这件事 解决这类问题应从简单入手分类讨论 要做到不重不漏 尽量做到一题多解 从不同角度考虑问题 高三 一班有学生50人 男30人 女20人 高三 二班有学生60人 男30人 女30人 高三 三班有学生55人 男35人 女20人 1 从高三 一班或二班或三班选一名学生任学生会主席 有多少种不同的选法 2 从高三 一班 二班的男生中或从高三 三班的女生中选一名学生任学生会体育部长 有多少种不同的选法 对应演练 1 分三类 学生会主席产生在高三 一班有50种不同方法 学生会主席产生在高三 二班有60种不同方法 学生会主席产生在高三 三班有55种不同方法 由分类加法计数原理得50 60 55 165 种 即所求不同选法有165种 2 类似 1 得30 30 20 80 种 即所求不同选法有80种 现要排一份5天的值班表 每天有一个人值班 共有5个人 每个人都可以值多天班或不值班 但相邻两天不准由同一个人值班 问此值班表共有多少种不同的排法 分析 该问题是计数问题 完成的一件事是排值日表 因而需一天一天地排 用分步乘法计数原理 分步进行 考点二分步乘法计数原理 解析 先排第一天 可排5人中的任一人 有5种排法 再排第二天 此时不能排第一天已排的人 有4种排法 再排第三天 此时不能排第二天已排的人 仍有4种排法 同理 第四 五两天均各有4种排法 由分步乘法计数原理可得值班表共有不同排法数为5 4 4 4 4 1280 种 答 共有1280种排法 评析 使用分步乘法计数原理做题时 必须是各步全部完成事情才算完成 注意缺步问题 将 a1 a2 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 展开后的项数是 a 9b 11c 12d 24 d 这里要完成一件事是 计算乘积 a1 a2 b1 b2 b3 c1 c2 c3 c4 展开后的项数 由于展开后的每一项需从三个括号各取一个因数相乘 完成这件事需要分成三个步骤 第一步从第一个括号取出一个数有2种不同取法 第二步从第二个括号取出一个数有3种不同取法 第三步从第三个括号取出一个数有4种不同取法 由分步乘法计数原理可知 展开式中共有n 2 3 4 24项 故应选d 对应演练 d 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端点异色 如果只有5种颜色可供使用 求不同的染色方法总数 分析 可分两大步进行 先将四棱锥一侧面的三顶点染色 然后再分类考虑另外两顶点的染色数 用乘法原理即可得出结论 考点三计数原理的综合应用 解析 如图所示 由题设 四棱锥s abcd的顶点s a b所染颜色互不相同 它们共有5 4 3 60 种 染色方法 当s a b已染好时 不妨设其颜色分别为1 2 3 若c染颜色4 则d可染颜色3或5 有2种染法 若c染颜色5 则d可染颜色3或4 也有2种染法 若c染颜色2 则d可染颜色3或4或5 有3种染法 可见 当s a b已染好时 c与d还有7种染法 根据乘法原理 可以有60 7 420种染法 评析 运用两个原理解答时是先分类后分步 还是先分步后分类应视具体问题而定 另外为了问题的简化和表达的方便 数学中经常将具有实际意义的事物符号化 数字化 广雅中学2011 2012学年度上学期期中考 用n种不同颜色为下列两块广告牌着色 如图所示 要求在a b c d四个区域中相邻 有公共边的 区域不用同一种颜色 1 若n 6 为 着色时共有多少种不同的方法 2 若为 着色时共有120种不同的方法 求n 对应演练 1 为a着色有6种方法 为b着色有5种方法 为c着色有4种方法 为d着色也有4种方法 所以 共有着色方法6 5 4 4 480 种 2 与 1 的区别在于与d相邻的区域由两块变成了三块 同理 不同的着色方法数是n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3 120 又120 480 可分别将n 4 5代入得n 5时上式成立 1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的本质区别在于分类和分步 分类用分类计数