求函数值域.doc

深圳博龙教育培训中心课题:常见类型函数值域求法一、授课目的与考点分析：重点： 熟练掌握几类常见函数值域的求法。难点： 数型结合法、判别法的熟练掌握。二、授课内容：内容简介:求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。基本知识：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。(一)观察法（直接法） 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1：求函数的值域。 例2：求函数的值域。 例3：求函数的值域。(二)配方法配方法是求“二次函数类”值域的基本方法。当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。形如的函数的值域问题，均可使用配方法。例1：求函数（）的值域。 例2（1）已知 ，求其值域。（2）已知 ，求其值域。（3）已知 ，求其值域。(三)图象法当函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率、截距等等或当一个函数的图像易于作出时，若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例1：求函数的值域。例2：求函数的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。例3. 求函数的值域。(四)换元法运用代数代换，以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、均为常数，且）的函数常用此法求解。例1：求函数的值域。例2. 求函数的值域。补充：“平方开方法” 求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.1.适合采用“平方开方法”的函数特征设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：（1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立；（2）具有两个函数加和的形式，即（）；（3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即（，为常数），其中，新函数（）的值域比较容易求得.2.“平方开方法”的运算步骤 若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如，则显然.3.应用“平方开方法”四例能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧. 例1 求函数（，）的值域.解：首先，当时，；其次，是函数与的和；最后， 可见，函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域为.于是，的值域为.例2 求函数（，）的值域.解：显然，该题就是例1的推广，且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域仍为.于是，的值域也仍为.例3 求函数（）的值域.解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.例4 求函数（）的值域.解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.例5 求函数 的值域 (五)单调性法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1. 求函数y=log2(x2+2x+3)， x2，4， x0，4例2. 求函数的值域。例3求函数y=x-2+2x+3的值域。例4.求函数y=-2x-2+-x+3的值域。(六)分离常数法分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例1：求函数的值域。小结：已知分式函数，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。(七)判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例1：求函数的值域。例2、求函数的值域。(八)最值法利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。对于闭区间a,b上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间a,b内的极值，并与边界值f(a)、f(b)作比较,求出函数的最值，可得到函数y的值域。例1：求函数，的值域。 例2：求函数的值域。 (九)基本不等式法利用基本不等式和是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取成立的条件. 例1 求函数的值域. 例2.求函数f(x)=x+1x 的值域。(十)反函数法利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例1：求函数的值域。(十一).多种方法综合