高等几何(第二版 朱德祥 朱维宗编).ppt

1 高等几何 第二版朱德祥朱维宗编 云南师范大学数学学院 第六章二次曲线的射影性质 6 1二阶曲线与二级曲线6 2二次曲线的射影定义 2 提纲 本章教材分析6 1二阶曲线与二级曲线一 二次曲线的代数定义二 二次曲线的几何结构6 2二次曲线的射影定义一 概念二 二次曲线的射影的例题 本章是射影变换在研究二次曲线方面的应用 是射影几何的精华 也是最精彩的部分之一 本章主要内容 本章每一部分都有丰富的内容 深刻的内涵和重要的应用 第六章二次曲线的射影性质 云南师范大学 二次曲线束及其应用 4 一 二次曲线的代数定义 定义6 1坐标满足 的所有点 x1 x2 x3 的集合称为一条二阶曲线 其中 aij 为三阶实对称阵 秩 aij 1 定义6 1 坐标满足 的所有直线 u1 u2 u3 的集合称为一条二级曲线 其中 bij 为三阶实对称阵 秩 bij 1 二阶曲线的方程可以写成矩阵形式 6 1二阶曲线与二级曲线 其中 aij 用A表示叫系数矩阵 用 A 或 aij 表示系数行列式 1 概念 5 一 二次曲线的代数定义 注1 二阶曲线看作点的轨迹 二级曲线看作直线的包络 参看下图 6 1二阶曲线与二级曲线 注2 由对偶原理 我们一般讨论二阶曲线 其结论均可对偶地适用于二级曲线 点素二次曲线 线素二次曲线 6 一 二次曲线的代数定义 6 1二阶曲线与二级曲线 定义如果二阶曲线的表达式可以 不可以 分解为两个一次因式的乘积 则称其为退化 非退化 二阶曲线 命题二阶曲线退化 aij 0 二级曲线退化 bij 0 定义 如果二级曲线的表达式可以 不可以 分解为两个一次因式的乘积 则称其退化 非退化 二级曲线 2 二次曲线的退化 非退化 注 后面 6 2节 我们会看到 退化的二阶曲线其图像为两条直线 在极限情况下 这两直线可重合为一直线 退化的二级曲线其图像为两个点 线束 在极限情况下 这两个点可重合为一点 7 二 二次曲线的几何结构 定理6 1有两个不共心的射影线束 对应线交点的全体连同这两个线束的心组成一条二阶曲线 6 1二阶曲线与二级曲线 定理6 1 有两个不共底的射影点列 对应点连线的全体连同这两个点列的底组成一条二级曲线 证明定理6 1 设两个线束的方程为G H 0 G H 0 其中G H G H 是x1 x2 x3的一次齐次式 例如G g1x1 g2x2 g3x3 H h1x1 h2x2 h3x3 等 并且由于两线束成射影对应 所以有 8 二 二次曲线的几何结构 6 1二阶曲线与二级曲线 这式左端是x1 x2 x3的二次齐式 所以按定义 两射影线束对应线交点的轨迹是一条二阶曲线 并且G 0 H 0满足上述方程 即第一线束中心是二阶曲线上的一点 同理第二线束中心也是这二阶曲线上一点 9 二 二次曲线的几何结构 6 1二阶曲线与二级曲线 定理6 2 设有一条二级曲线 它是由两个射影点列对应点的联线构成的 设a b为这曲线的两条定线 m为它的一条动直线 则两点列a m 与b m 成射影对应 10 设 只要证 设 分别以AM BM截 得 二 二次曲线的几何结构 6 1二阶曲线与二级曲线 注意到M自对应 11 定理6 3 给定无三点共线的任意五点 可决定一条也仅仅一条二阶曲线 二 二次曲线的几何结构 6 1二阶曲线与二级曲线 定理6 3 给定无三线共点的任意五条直线 可决定一条而且也仅仅一条二级曲线 证明定理6 3 设已知五点O O A B C 以其中任意两点O和O 为心 分别连线OA OB OC与O A O B O C 由一维射影几何基本定理 三对对应线OA与O A OB与O B OC与O C决定唯一的射影对应 从而决定了唯一的一条二阶曲线通过已知的五点 由定理6 2 知道这样决定的曲线 不因哪两点取为线束的中心而改变 12 定理6 4 二阶曲线上四点与其上任意第五点所联四直线的交比 如果这交比有意义 为常数 二 二次曲线的几何结构 6 1二阶曲线与二级曲线 定理6 4 二级曲线的四条定直线与它的任意第五条直线相交所得的交比 如果这交比有意义 为常数 从而E AB CD E AB CD 即是说四直线所成交比 不因第五点的位置而变 故为一常数 13 一 概念 由上述的定理 我们有 定义6 2二阶曲线就是两个射影线束对应直线交点的全体 定义6 2 二级曲线就是两个射影点列对应点联线的全体 6 2二次曲线的射影定义 定义6 3 两个透视对应线束中 对应直线交点的全体称为变态的二阶曲线 6 3 两个透视对应点列中 对应点联线的全体称为变态的二级曲线 由于射影对应分为透视对应和非透视对应两种 如果专就透视对应而言 我们有下述定义 14 一 概念 6 2二次曲线的射影定义 注意 在退化的二阶曲线中 连结两个心的直线既属于第一线束 又属于第二线束 它是自身对应的 所以这连线上任一点都可以看做是交点 因此变态的二阶曲线是两直线 点列 其中一条就是对应直线交点所在的直线 在极限情况 这两直线可重合为一直线 图6 2 a 15 注意 在退化的二级曲线中 两个底的交点既属于第一点列 又属于第二点列 它是自身对应的 所以过这交点的任一直线都可以看做是连线 因此变态的二级曲线是两点 线束 其中一个就是其他对应点连线所交的点 在极限情况 这两点可重合为一点 图6 2 b 16 一 概念 和变态二阶曲线与变态二级曲线相反 有常态二阶曲线与常态二级曲线 定义6 4有两个非透视的不共心的射影对应线束 其对应线交点的全体称为常态二阶曲线 定义6 4 有两个非透视的不共底的射影对应点列 其对应点联线的全体称为常态二级曲线 6 2二次曲线的射影定义 定理6 5 常态二阶曲线的切线全体组成常态二级曲线 定理6 5 常态二级曲线的切点全体组成常态二阶曲线 常态二阶曲线与常态二级曲线间有下述关系 17 例 求两个成射影对应的线束 x1 x3 0与x2 x3 0 1 所构成的二阶曲线的方程 解 云南师范大学 9 6 2二次曲线的射影定义 因为 1 所以 1 于是