高三数学 数列的概念与简单表示法复习课件.ppt

5 1数列的概念与简单表示法 5 1数列的概念与简单表示法 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 双基研习 面对高考 1 数列的概念按一定次序排列的一列数叫作数列 数列中的每一个数叫作这个数列的 数列一般形式可以写成a1 a2 a3 an 简记为数列 an 其中数列的第1项a1也称 an是数列的第n项 也叫数列的 双基研习 面对高考 项 首项 通项 2 数列的分类 有限 无限 3 数列与函数的关系从函数观点看 数列可以看作定义域为 的函数 当自变量从小到大依次取值时 该函数对应的一列 就是这个数列 4 数列的通项公式如果数列 an 的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 那么这个式子就叫作这个数列的通项公式 n 或它的有限子集 函数值 an f n 思考感悟 数列的通项公式唯一吗 是否每个数列都有通项公式 1 教材习题质检 已知数列 an 的通项公式为an 29 9n 则在下列各数中 不是 an 的项的是 a 20b 11c 2d 7答案 c 答案 d 3 2011年宿州质检 若数列 an 的前n项和sn n2 1 则a4等于 a 7b 8c 9d 17答案 a 5 已知数列 an 满足a4n 3 1 a4n 1 0 a2n an n n 则a2011 a2018 答案 01 考点探究 挑战高考 根据数列的前若干项写出数列的一个通项公式 解决这一题型的关键是通过观察 分析 比较去发现项与项之间的关系 如果关系不明显 应该将项作适当变形或分解 让规律突现出来 便于找到通项公式 同时还要借助一些基本数列的通项及其特点 思路点拨 由所给数列前几项的特点 归纳出其通项公式 注意项与项数的关系 项与前 后项之间的关系 通项公式的形式并不唯一 失误点评 在解决有关通项公式的问题时易在以下环节出错 1 项数搞错 2 由归纳法求通项时 只满足前几项 而不能满足所有的情况 变式训练1根据下面各数列前几项的值 写出数列的一个通项公式 解 1 符号问题可通过 1 n或 1 n 1表示 其各项的绝对值的排列规律为 后面的数的绝对值总比它前面数的绝对值大6 故通项公式为an 1 n 6n 5 n n 2 这是一个分数数列 其分子构成偶数数列 而分母可分解成1 3 3 5 5 7 7 9 9 11 每一项都是两个相邻的奇数的乘积 经过组合 则所求数列的通项公式为 递推公式是给出数列的一种方法 根据递推公式 写出数列的前几项 可以根据前几项的构成 找出数列的基本规律 归纳出数列的通项公式 或将递推公式变形 推导出数列的通项公式 3 由an 1 2an 1得an 1 1 2 an 1 令bn an 1 所以 bn 是以2为公比的等比数列 所以bn b1 2n 1 a1 1 2n 1 2n 1 所以an bn 1 2n 1 1 n n 4 由已知 an 0 在递推关系式两边取对数 有lgan 1 2lgan lg3 令bn lgan 则bn 1 2bn lg3 所以bn 1 lg3 2 bn lg3 所以 bn lg3 是等比数列 所以bn lg3 2n 1 2lg3 2nlg3 所以bn 2nlg3 lg3 2n 1 lg3 lgan 所以an 32n 1 规律小结 1 数列递推关系形如an 1 an f n 其中 f n 的前有限项可求和 此种类型的数列求通项公式时 常常是相邻两项作差 然后对差式求和 这是求通项公式的一种重要方法 2 数列递推关系形如an 1 g n an 其中 g n 的前n项的乘积容易化简 此数列求通项公式一般采用累乘法 已知下面各数列 an 的前n项和sn的公式 求 an 的通项公式 1 sn 2n2 3n 2 sn 3n 2 3 sn 3an 2 解 1 a1 s1 1 当n 2时 an sn sn 1 2n2 3n 2 n 1 2 3 n 1 4n 5 由于a1也适合此式 因此an 4n 5 n n 失误点评 在解答过程中易忽视n 1时 a1 s1 而直接利用an sn sn 1求an的情况 导致此种错误的原因是没有熟练掌握数列 an 的前n项和sn与通项an之间的关系或粗心大意 1 数列的单调性 若an 1 an 则 an 为递增数列 若an 1 an 则 an 为递减数列 否则为摆动数列或常数列 2 周期性 若an k an对n n k为常数 成立 则 an 为周期数列 对于一些数列 若通项无法求出时 可考虑其周期性 3 有界性 若 an 满足 an m或 an m 则称 an 为有界数列 并能求出数列中的最大项或最小项 名师点评 1 数列是一类特殊的函数 解题时注意函数与方程思想的应用 以及转化思想也是解题的常用方法 2 数列的单调性是高考常考内容之一 有关数列最大项 最小项 数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决 判断单调性时常用 作差法 作商法 结合函数图像等方法 方法感悟 方法技巧1 求数列通项或指定项 通常用观察法 对于交错数列一般用 1 n或 1 n 1来区分奇偶项的符号 已知数列中的递推关系 一般只要求写出数列的前几项 若求通项可用归纳 猜想和转化的方法 如例1 3 已知递推关系求通项 这类问题的要求不高 但试题难度较难把握 一般有三种常见思路 1 算出前几项 再归纳 猜想 2 an 1 pan q 这种形式通常转化为an 1 p an 由待定系数法求出 再化为等比数列 3 逐差累加或累乘法 如例2 4 创新内容 体现新情境 体现与其它知识的交汇 如例4 1 数列是一种特殊的函数 即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数 当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值 就是数列 因此 在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性 又要考虑数列方法的特殊性 失误防范 2 根据所给数列的前几项求其通项时 需仔细观察分析 抓住其几方面的特征 分式中分子 分母的各自特征 相邻项的联系特征 拆项后的各部分特征 符号特征 应多进行对比 分析 从整体到局部多角度观察 归纳 联想 3 数列的图像是一系列孤立的点 由数列的递推关系求数列的项或通项公式是高考的热点 题型以选择 填空题为主 也可能作为一步出现在解答题中 属较难题目 旨在考查学生分析问题 解决问题的能力 考查基本知识的同时又注重考查等价转化 函数与方程 分类讨论等思想方法 预测2012年仍将以考查递推关系式为主 重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力 考向瞭望 把脉高考 真题透析 2010年高考辽宁卷 已知数列 an 满足a1 33 an 1 an 2n 则的最小值为 2 数列的通项公式 前n项和公式都是关于正整数n的函数 要善于从函数的观点认识和理解数列问题 数列的通项公式的求解是历年高考的重点和热点 该题中的累加法实际上也是推导等差数列通项公式的一种方法 关于正整数n的对应函数 使其取最值的点就在离单调区间分界点距离最近的那两个点中取得 代入检验便可确定最值 名师预测 2 已知数列 an 的通项公式是an n2 kn 2 若对于n n 都有an 1 an成立 则实