《高数ch8习题》PPT课件.ppt

2 选择适当的坐标系和积分次序 或以极坐标形式给出 一 二重积分的计算 3 写出D的不等式组表示 X 型 Y 型 4 二重积分化为二次积分 计算两个定积分 如二重积分以二次积分方式给出 则先由所给积分限及积分次序 再确定边界曲线 画出D的草图 将D用另一坐标系或另一顺序的不等式组表示 写出D的不等式组表示 5 有关二重积分的对称性的应用 1 若D关于y轴对称 其中D1是D的右半区域 即当 x y D时 必有 x y D 则 2 若D关于x轴对称 D1是D的上半部分区域 即当 x y D时 必有 x y D 则 3 若D关于原点对称 即当 x y D时 必有 x y D 则 其中D1是D的上半部分 或右半部分 区域 6 有关二重积分的一些证明题 4 若D关于直线y x对称 即当 x y D时 必有 y x D 则 中值定理 变上限积分 换元等 例1 计算下列二重积分 其中D为圆周 所围成的闭区域 其中D为圆周 所围成的闭区域 利用极坐标 原式 原式 例2计算下列二重积分 例3 计算下列二重积分 例4 将下列积分化为极坐标形式 并计算积分值 例5 二 三重积分的计算 基本方法 化三重积分为三次积分计算 关键步骤 1 坐标系的选取 2 积分顺序的选定 直角 3 定出积分限 要结合被积函数 积分区域两方面的因素综合考虑才能找到好的方案 对积分区域要有一定的空间想象力 最好能画出 的图形 如 的图不好画 也要画出 在某坐标面上的投影区域的图形 一 利用直角坐标系计算三重积分 1 投影法 又叫 先单后重法 设 往xoy平面上的投影区域为Dxy 过Dxy内任一点而穿过 内部的平行于轴的直线与 的边界曲面至多两个交点 则 适用性较广 要有一定的空间想象力 对z积分后的结果F x y 作为被积函数在Dxy上作对x y的二重积分 这时再依被积函数和积分区域的特点选定积分顺序 先单 的 单 选哪一个变量 往另两个坐标面上投影的情况与此类似 依被积函数f x y z 及积分区域 共同确定 设 夹在平面z c1和z c2之间 竖坐标为z的平面 c1 z c2 截 所得截面记为Dz 则有 通常选用此法时应满足 Dz较简单 圆 椭圆 矩形 三角形等 容易算得其面积 2 截面法 又称 先重后单法 切片法 二 柱面坐标系下计算三重积分 计算可分 两步走 化为三次积分则应一次完成 三 球面坐标系下计算三重积分 有的三重积分可能有多种选择 不同的坐标系 不同的顺序积等 总结经验 选取简单的方法 四 三重积分中的对称性的应用 类似地 1是 的z 0的部分 1 设 关于平面xoy对称 2 设 关于原点O对称 1是 的z 0 或x 0 或y 0 的部分 则 3 若 关于变量x y z具有轮换对称性 即若 a b c 则 b c a c a b 则有 使用对称性时应注意 1 积分区域关于坐标面的对称性 2 被积函数在积分区域上的关于三个自变量的奇偶性 被积函数f x y z 是关于z的奇函数 则三重积分为零 若被积函数f x y z 是关于z的偶函数 则三重积分为 在xoy平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍 例如 当积分区域 关于平面xoy对称 解 关于直线x y z对称 对于x y z具有轮换对称性 例1利用对称性计算下列三重积分 解 利用球面坐标 三 重积分的应用 曲面面积计算公式 曲面方程 z f x y x y Dxy 曲面方程 x g y z y z Dyz 曲面