初中数学论文：双图相融 精彩纷呈.doc

初中数学论文 双图相融 精彩纷呈一次函数与反比例函数是初中数学中非常重要的两种函数，研究它们的图象和性质对拓展学生的思维空间，提高他们的分析能力都非常有用。本文就直线与双曲线“相融”的角度研究和探索隐藏在里面的一些性质。一、双图演示 “变”与“不变”1.过第一象限的一条直线AB，分别交x轴、y轴正半轴于点A、点B，(如图1)CDPyOBAx图1设A（0，b），B（a，0），在线段AB上有一动点P，过点P作PCAO于C，PDOB于D，记矩形CODP的面积为S。考察：当点P在线段AB上运动时S的变化情况。设CP=x，则由ACPAOB得：，即 AC=x ， OC=AO-AC=b- S=PCCO=x（b-）=-+bx （0xa ） 所以S是x的二次函数，由此可知点P在直线上运动时，矩形CODP的面积S CDPyOx图2随之变化而变化，且当x=-=时，S取得最大值，此时CP为中位线，即点P为AB的中点。2过第一象限的一支双曲线y=（x0，k0），（如图2）。设在双曲线 y=（x0） 上有一动点P，过点P作PCAO于C，PDOB于D，记矩形CODP的面积为S。考察：当点P在双曲线y=（x0）上运动时S的变化情况。设P（m，），则S=CPCO=m=k。所以当点P在曲线上运动时，S是固定不变的。它总是等于k（k0）的值。二、相融探究内在性质CDPyOBAx图3现在我们把图1、图2合在一起，如图3。 点P为线段AB的中点，双曲线y=（x0），经过点P，由上面两个函数的研究可知：当P在线段AB上运动时，矩形CODP的面积要变化，但无论点P怎样运动，矩形CODP的面积都小于或等于点P在AB中点时的面积。而点P如果在双曲线上运动，则无论点P怎样运动，矩形CODP的面积都不会改变，这能说明什么呢？这恰恰说明线段AB与双曲线只有一个交点。因此我们得到：性质1：当直线AB与双曲线相切于点P时，点P一定是线段AB的中点。反之也成立（m，）CDPyOBAx图4下面换一个角度叙述上面的性质并加以证明。如图4，设双曲线为y=（k0，x0），P为任一点（m，），则B坐标为（2m，0）， A坐标为（0，）。求证：直线AB与双曲线 y=（k0，x0）相切。 证明：设直线AB的解析式为y=kx+b 把（2m，O），（0，）代入y=kx+b得： 直线AB的解析式为y=-， 与双曲线y=联列成方程组由代入得：- =（）2-4k=0 ，D2C2D1C1P2P1CDPyOBAx图5所以方程组只有一个解。即直线AB与双曲线只有一个交点。又因为直线AB与x轴、y轴都相交，故直线AB与双曲线 y=（k0，x0） 相切。如图5，当双曲线经过直线AB上非中点P1时，则双曲线必与直线AB交于另一点P2，由运动规律知：当点P从中点分别运动到P1、P2时，矩形CODP的面积从最大值减少到相等的值。而从S=-x2+bx的图象的对称性可以猜想：要使矩形C1OD1P1与矩形C2OD2P2的面积相等，P移动的路程应该是相等的。即PP1=PP2，从而可进一步猜想：AP1=BP2。FEBCyODAx图6性质2：在平面直角坐标系中，任意一条与双曲线相交的直线，被双曲线和两条坐标轴所截得的线段长相等。已知如图6：直线y=ax+b与两坐标轴交于点A、点D，与双曲线y=（x0），交于点B、点C。求证：AB=CD。 证明：作CEy轴于E，BFx轴于F，设B（m，n），C（e，f），则E（o，f），F（m，o），直线EF的解析式为y=-x+f（*）OEFCByDAx图7又B、C在双曲线y=上， mn=ef=k= =又B、C在直线y=ax+b上 am+b=n ae+b=f -得a（m-e）=n-f a=- （*）直线EF与直线AD平行，可证四边形AEFB，四边形EFDC均为平行四边形 AB=EF=CD 。（事实上还可以用面积证明，限于篇幅，这里不再累述） 若如图7，直线y=ax+b与双曲线y=，坐标轴交于A、B、D1C1B1A1P1P2CDPyOBAx图8C、D四点。同理有：AB=CD。反过来，对于图4，过点P任作一条直线与双曲线交于另一点P1，与坐标轴分别交于A1、B1。（如图8）由性质2知线段PP1 的中点P2 一定也是线段A1B1的中点，过点P2作P2 C1AO于C1，P2 D1 OB于D1 ，容易得到 ：三角形A1OB1的面积等于矩形P2C1OD1面积的两倍。三角形AOB的面积等于矩形PCOD面积的两倍。而P2在双曲线的右上方，所以矩形P2C1OD1面积大于矩形PCOD面积。所以三角形A1OB1的面积大于三角形AOB的面积。因此我们可以得到下面的性质。性质3：当P为第一象限内一定点，在过点P与x轴y轴正半轴分别相交于点B、点A的所有直线中，当且仅当点P为AB中点时，直线与两坐标轴构成的三角形AOB的面积最小。CDPyOBAxCDPyOBAx图9-1图9-2事实上，过P作任一直线如图9-1，容易知道，PB=PAPC，PDPB=PA，APC=DPB，由S=absinC得，SPBDSAPC（图9-2同理可证）所以SOCDSOAB所以经过定点P的直线与坐标轴构成的三角形中，当P恰好为AB中点时的ABO面积是最小的。BCyODAxOCByDAx图10-2三、举例拓展实际应用例1：如图10，直线y=ax+b与双曲线y=，坐标轴交于A、B、C、D四点，连结OB、OC，求证：SOAB =SOCD 。 图10-1分析：由性质2得：AB=CD，又因为ABO与CDO以AB、CD为底的高是相同的，所以SOAB =SOCD 。例2：（2009年山东威海）一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图11-1，试证明：； （2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图11-2，则与还相等吗？试证明你的结论OCFMDENKyx（图11-1）OCDKFENyxM（图11-2）分析