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高三数学专项训练：坐标系与参数方程解答题1在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为.（）求圆C在直角坐标系中的方程；（）若圆C与直线相切，求实数a的值.2已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，曲线与曲线（参数）交于A、B两点，（1）求证：；（2）求的外接圆的标准方程。3已知极坐标系下曲线的方程为，直线经过点，倾斜角.（）求直线在相应直角坐标系下的参数方程; （）设与曲线相交于两点，求点到两点的距离之积. 4（本题8分）在极坐标系中，求过极点且圆心在的圆的极坐标方程5已知曲线C的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为X轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：，求直线与曲线C相交所称的弦的弦长。6平面直角坐标系中，将曲线（为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线 以坐标原点为极点，的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线的方程为，求和公共弦的长度7求直线（）被曲线所截的弦长.8在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，直线l经过点P（2,2），倾斜角。（1）写出圆的标准方程和直线l的参数方程；（2）设l与圆C相交于A、B两点，求的值。9已知x、y满足，求的最值。10已知直线是过点，方向向量为的直线。圆方程（1）求直线l的参数方程；（2）设直线l与圆相交于、两点，求的值。11已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为.（1）曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于A，B两点，当变化时，求的最小值。12已知直线经过点,倾斜角，（1）写出直线的参数方程。（2）设与圆相交于两点，求点到两点的距离之积。13在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系 的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为直线与曲线交于两点，求14在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）（1）若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围；（2）当时，求曲线上的点与曲线上的点的最小距离15若直线被曲线所截得的弦长大于，求正整数的最小值。16已知直线的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：（1）求曲线C的普通方程；（2）求直线被曲线C截得的弦长17 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合直线的参数方程为：（t为参数），曲线的极坐标方程为：（）写出的直角坐标方程，并指出是什么曲线；（）设直线与曲线相交于、两点，求值18 已知圆C的参数方程为（为参数），P是圆C与x轴的正半轴的交点.（1）求过点P的圆C的切线极坐标方程和圆C的极坐标方程；（2）在圆C上求一点Q（a, b）,它到直线x+y+3=0的距离最长，并求出最长距离。19在极坐标系中，曲线，过点A（5，）（为锐角且）作平行于的直线，且与曲线L分别交于B，C两点。()以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L和直线的普通方程；()求|BC|的长。20已知曲线C：（为参数）.(1)将C的参数方程化为普通方程；(2)若把C上各点的坐标经过伸缩变换后得到曲线，求曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值21在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为r=cos(+)，求直线l被曲线C所截的弦长22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系轴的正半轴重合直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程为（）求曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线相交于两点，求两点间的距离23 已知曲线的极坐标方程为，曲线的方程是, 直线的参数方程是： .（1）求曲线的直角坐标方程，直线的普通方程；（2）求曲线上的点到直线距离的最小值. 24在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）.若以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为.（I）求曲线的直角坐标方程;（II）求直线被曲线所截得的弦长.25求直线被曲线所截的弦长。26选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点.() 写出直线的参数方程; () 求 的取值范围.27已知点，参数，点Q在曲线C：上（1）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求点P与点Q之间距离的最小值28已知直线C1： ，(t为参数)，圆C2： (为参数)（I）当时，求C1与C2的交点的直角坐标；（II）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点当变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线29（） 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线的极坐标方程为，它与曲线为参数）相交于两点A和B， 求|AB|; （）已知极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，若直线C1的极坐标方程为：，曲线C2的参数方程为：（为参数），试求曲线C2关于直线C1对称的曲线的直角坐标方程30（12分）经过点P，倾斜角为的直线L与圆相交于A、B两点。(1)当P恰为AB的中点时，求直线AB的方程；(2)当|AB|=8时，求直线AB的方程。31已知直线的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：（1）求直线被曲线C截得的弦长，（2）若直线与曲线C交于A、B两点，求线段AB的中点坐标.32已知曲线的参数方程是（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线:的极坐标方程是=2，正方形ABCD的顶点都在上，且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）.()求点A,B,C,D的直角坐标； ()设P为上任意一点，求的取值范围.33（1） 已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）求两个圆=4cos0, =4sin的圆心之间的距离，并判定两圆的位置关系。34已知直线的参数方程：为参数和圆的极坐标方程：（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）判断直线和圆的位置关系35平面直角坐标系中,已知曲线,将曲线上所有点横坐标,纵坐标分别伸长为原来的倍和倍后,得到曲线(1)试写出曲线的参数方程;(2)在曲线上求点,使得点到直线的距离最大,并求距离最大值.36在极坐标系中，已知圆与直线为参数）相切，求实数的值。37在极坐标系中，极点为，已知曲线：与曲线：交于不同的两点（1）求的值；（2）求过点且与直线平行的直线的极坐标方程38在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被截得的弦的长度.39在直角坐标系中，以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系己知圆的圆心的极坐标为半径为,直线的参数方程为为参数) （）求圆C的极坐标方程；直线的普通方程;（）若圆C和直线相交于A，B两点，求线段AB的长.40 在极坐标系中, O为极点, 半径为2的圆C的圆心的极坐标为.求圆C的极坐标方程；在以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立的直角坐标系中，直线的参数方程为 （t为参数），直线与圆C相交于A，B两点，已知定点,求|MA|MB|。41（10分）已知椭圆的参数方程（为参数），求椭圆上一点P到直线（为参数）的最短距离。42已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值43已知曲线（为参数）（1）将的方程化为普通方程；（2）若点是曲线上的动点，求的取值范围44已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为（1）求圆心C的直角坐标；（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值45在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos（）=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。46求直线（）被曲线所截的弦长.47已知直线l的参数方程为（t为参数），P是椭圆上任意一点，求点P到直线l距离的最大值.48 已知直线的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为： （1）求曲线C的普通方程； （2）求直线被曲线C截得的弦长49已知直线的参数方程为为参数），直线与曲线为参数）相交于两点A、B，求点P（1，1）到A、B两点的距离之积。50 已知直线 （I）求直线l的参数方程； （II）设直线l与圆相交于M、N两点，求|PM|PN|的值。试卷第15页，总16页坐标系与参数方程解答题参考答案1（）由得，分结合极坐标与直角坐标的互化公式得，即 分（）由直线的参数方程化为普通方程，得，. 分结合圆C与直线相切，得，解得.【解析】略2【解析】（1）证明：的直角坐标方程为，的普通方程为 2分联立 得 设 则 4分 。 6分（2）由（1）得 是圆的直径 8分又 圆心为（6，2） 10分的外接圆的标准方程为。 12分3（） （）， ， 【解析】4【解析】5【解析】6解：曲线（为参数）上的每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得到， 然后整个图象向右平移个单位得到， 最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到， 所以为， 又为，即， 所以和公共弦所在直线为， 所以到距离为， 所以公共弦长为 【解析】略7【解析】将方程,分别化为普通方程：， (5分)点评：本题考查圆与直线极坐标方程与直角坐标方程的互化、普通方程与参数方程互化、及其圆有关的计算8（）（为参数）；（）。【解析】试题分析：（）圆的标准方程为.直线的参数方程为，即（为参数） 5分（）把直线的方程代入， 6分得， 8分 所以，即 10分考点：简单曲线的参数方程，直线参数方程的应用。点评：中档题，利用在修订参数方程，研究直线与圆的位置关系，基本思路是，将在修订参数方程代入圆的方程，应用韦达定理，进一步确定线段长度。9当时，S有最大值，为 ；当时，S有最小值，为。【解析】试题分析：由可知曲线表示以（1，-2）为圆心，半径等于2的圆。令 ， 4分则（其中）-11当时，S有最大值，为 10分当时，S有最小值，为 12分考点：圆的参数方程，直线与圆的位置关系。点评：中档题，利用转化与化归思想，将有条件的求函数最值问题，转化成直线与圆的位置关系问题。本题解法较多，这里利用了圆的参数方程。10（1）（2）【解析】试题分析：（）的参数方程为（为参数） 5分（）由可将，化简得。将直线的参数方程代入圆方程得， 10分考点：参数方程极坐标方程及直线与圆相交的位置关系点评：极坐标方程化直角坐标方程时的关系式11（1）（2）2【解析】试题分析：（1）由，得 曲线的直角坐标方程为 （2）将直线的参数方程代入，得设A、B两点对应的参数分别为则 当时，|AB|的最小值为2. 考点：本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，参数方程的应用等.点评：依据极坐标与直角坐标的关系即可完成极坐标方程和直角坐标方程的互化，利用参数方程时，要注意参数的取值范围.12（1）（t为参数）（2）2【解析】试题分析：（1）（t为参数）（2）直线的参数方程代入圆得 考点：直线的参数方程及直线与圆的位置关系点评：直线过点，倾斜角为，则参数方程为（是参数），利用参数方程求解某些问题有时比一般方程要简单13圆心到直线的距离， 。【解析】试题分析：的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离， 10分考点：本题主要考查极坐标与直角坐标方程的互化，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系。点评：中档题，将极坐标方程与直角坐标方程互化，很好体现了参数方程的应用，将问题转化成计算点到直线的距离问题。利用“特征三角形”求得弦长。14（）或，（） 【解析】试题分析：（）曲线M可化为，曲线N可化为，若曲线M，N只有一个公共点，则当直线N过点时满足要求，此时，并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，当直线N过点时，此时，所以满足要求；再接着从过点开始向左下方平行运动直到相切之前总有两个公共点，相切时仍然只有一个公共点，联立 得，求得，综上可求得t的取值范围是或 （5分）（）当时，直线N：，设M上的点为，则曲线M上的点到直线N的距离为，当时取等号，满足，所以所求的最小距离为 （10分）考点：本题考查了极坐标、参数方程与直角方程的互化，直线与抛物线的位置关系点评：近几年的高考试题对选修4-4的考查都是以极坐标方程与参数方程混合命题，而且通常与直线和圆（圆锥曲线）联系15的最小值为2【解析】试题分析：解：把化为普通方程为： 2分把直角坐标系方程为： 4分因为为正整数，所以圆心到直线的距离为 7分又因为弦长大于，所以，解得：，所以正整数的最小值为2 。 10分。考点：直线与圆点评：解决该试题的关键是能将极坐标方程化为普通方程，以及直线的参数方程化为普通方程，结合圆心到直线的距离来求解最值，属于基础题。16(1) (2) 【解析】试题分析：解：（1）由曲线得化成普通方程 5分（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程（为参数） 把代入得：整理，得设其两根为，则 8分从而弦长为 10分考点：参数方程，极坐标方程与直线与圆的位置关系点评：解决该试题的关键是将参数方程和极坐标方程化为普通方程， 结合直线与圆的位置关系来求解，属于基础题。17（）曲线的直角坐标方程为，它是以为圆心，半径为的圆.（）。【解析】试题分析：（），2分由得：所以曲线的直角坐标方程为，4分它是以为圆心，半径为的圆. 5分（）把代入整理得，7分设其两根分别为、，则，8分10分另解：化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得的值考点：本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化，参数方程的应用。点评：中档题，学习参数方程、极坐标，其中一项基本的要求是几种不同形式方程的互化，其次是应用极坐标、参数方程，简化解题过程。参数方程的应用，往往可以把曲线问题转化成三角问题，也可在计算弦长时发挥较好作用。18（）; ；（） ,这时 【解析】试题分析：（）求过点P的圆C的切线为: x=2, 则极坐标方程为;2分圆C的普通方程为: ,则极坐标方程为4分（）设 , 5分则点Q（a, b）到直线x+y+3=0的距离为 8分当时, 9分这时, 即 10分考点：本题考查了极坐标与直角坐标系方程的互化及点到直线的距离点评：近几年的高考试题对选修4-4的考查都是以极坐标方程与参数方程混合命题，而且通常与直线和圆联系这可能是前面命题涉及圆少的原因我们在复习的过程中要注意训练化极坐标方程和参数方程为普通方程19() ， () 【解析】试题分析：（）由题意得，点的直角坐标为曲线L的普通方程为： 3分直线l的普通方程为：5分 （）设B（）C（） 联立得 8分由韦达定理得，由弦长公式得 10分考点：极坐标方程直线与曲线相交的弦长点评：极坐标方程，弦长20的普通方程为曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为3. 【解析】试题分析：的普通方程为 (4分)(方法一)经过伸缩变换后，（为参数）， (7分)3，当时取得“=”.曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为3. (10分)(方法二) 经过伸缩变换后，.(7分)，3.当且仅当时取“=”.曲线上任意一点到两坐标轴距离之积的最大值为3. (10分)考点：本题主要考查参数方程，曲线的伸缩变换，基本不等式的应用。点评：容易题，所涉及的公式要牢记，应用基本不等式确定最值，体现解题的灵活性。21【解析】试题分析：将方程(t为参数)化为普通方程得，3x+4y+1=0，3分将方程r=cos(+)化为普通方程得，x2+y2-x+y=0， 6分它表示圆心为(，-)，半径为的圆， 9分则圆心到直线的距离d=， 10分弦长为2 12分考点：直线参数方程，圆的极坐标方程及直线与圆的位置关系点评：先将参数方程极坐标方程转化为普通方程22（）（）【解析】试题分析：（）由得，两边同乘得，再由得曲线的直角坐标方程是；-5分（）将直线参数方程代入圆方程得， 10分考点：本小题主要考查参数方程和直角坐标方程的互化以及弦长公式的应用，考查学生的转化能力和运算求解能力.点评：参数方程和直角坐标方程的互化只要记住公式代入求解即可，难度不大.弦长公式在解题过程中经常用到，要牢固掌握.23解: (1) ；（2）到直线距离的最小值为。 【解析】试题分析：（）利用直角坐标与极坐标间的关系：cos=x，sin=y，2=x2+y2，进行代换即得C的直角坐标方程，将直线l的参数消去得出直线l的普通方程（）曲线C1的方程为4x2+y2=4，设曲线C1上的任意点（cos，2sin），利用点到直线距离公式，建立关于的三角函数式求解解: (1) 曲线的方程为，直线的方程是： （2）设曲线上的任意点, 该点到直线距离. 到直线距离的最小值为。 考点：本题主要考查了曲线参数方程求解、应用考查函数思想，三角函数的性质属于中档题点评：解决该试题的关键是对于椭圆上点到直线距离的最值问题，一般用参数方程来求解得到。24（I）（II）【解析】试题分析：（I） 由得： ,两边同乘以得：,即 5分（2）将直线参数方程代入圆的方程得： ， 8分 10分考点：本小题主要考查了极坐标和平面直角坐标之间的转化以及弦长公式，考查了学生的转化和划归意识.点评：抓住极坐标与平面直角坐标互化公式并准确应用是解决此类问题的关键，高考中对该部分重点考查极坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题.25弦长为。【解析】本试题主要是考查了直线与圆的 相交弦的长度问题的运用。将参数方程化为普通方程，然后利用圆心到直线的距离公式和圆的半径，结合勾股定理得到结论26（） 为参数）() 【解析】本试题主要考查了直线的参数方程与直线与圆的位置关系的综合运用。（1）利用直线过点和直线的斜率得到参数方程。（2）直线与圆连理方程组，得到，结合判别式得到结论。解：（） 为参数） 4分（） 为参数）代入，得 ，10分27 (1) x+y=9(2)PQmin=4-1 【解析】本试题主要是考查了参数方程的运用，以及直角坐标方程的求解和两点距离的最值问题（1）因为由得点P的轨迹方程 (x-1)2+y2=1(y0), 又由又由=，可得极坐标方程。（2）因为半圆(x-1)2+y2=1(y0)的圆心(1，0)到直线x+y=9的距离为4，因此两点距离的最小值为点到直线的距离减去圆的半径。解(1)由得点P的轨迹方程 (x-1)2+y2=1(y0), 又由=，得=,=9曲线C的直角坐标方程为 x+y=9 (2)半圆(x-1)2+y2=1(y0)的圆心(1，0)到直线x+y=9的距离为4，所以PQmin=4-1 28（I）C1与C2的交点为(1,0)，(，)（II）P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆【解析】本试题主要是考查了参数方程与极坐标方程之间的转换以及直线与圆的位置关系的运用。利用参数方程消去参数的思想求解轨迹方程的综合运用。（1）当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21.联立方程组，解得C1与C2的交点为(1,0)，(，) （II）由C1的普通方程为xsinycossin0.A点坐标为(sin2，cossin)，故当变化时，P点轨迹的参数方程为 ，消去参数求解得到轨迹方程解：（I）当时，C1的普通方程为y(x1)，C2的普通方程为x2y21.联立方程组，解得C1与C2的交点为(1,0)，(，)（5分）（II）C1的普通方程为xsinycossin0.A点坐标为(sin2，cossin)，故当变化时，P点轨迹的参数方程为 ，(为参数) P点轨迹的普通方程为(x)2y2.故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆29（）|AB|=（）【解析】(I)先把直线和圆的方程化成普通方程，求出圆心坐标，再求出圆心到直线的距离d,利用弦长公式求解即可.先把两曲线的极坐标方程化成普通方程，然后求出圆C2的圆心关于直线C1的对称点，半径不变，可求出对称曲线的方程.(2)解：（）直线和圆的直角坐标方程分别为1分 则圆心为C（1，2），半径R= ，2分 从而C到直线y=x的距离d= 3分由垂径定理得，|AB|=4分（）曲线C1可化为：5分曲线C2是以（1,3）为圆心，1为半径的圆6分（1,3）关于直线的对称点（-1，1）故所求曲线为圆【答案】(1) 即：4x+2y+15=0(2) 3x+4y+15=0或x=-3【解析】（1）先设出直线，然后再联立圆的方程，利用韦达定理求出倾斜角的正切值，即直线的斜率，从而求出直线AB的方程；（2）利用弦长公式列出关于倾斜角三角函数的等式，解方程求出直线的斜率，进一步求出直线的方程解：（1）设直线L的方程为：(t为参数）,代入x(-3+tcos整理得:. 依题意:即的方程为： 即：4x+2y+15=0(2)依题意：即：由此得到：的方程为：即：3x+4y+15=0. 时，x=-3的方程为：3x+4y+15=0或x=-331（1）（2）【解析】（1）由曲线得化成普通方程 5分（2）方法一：把直线参数方程化为标准参数方程（为参数） 把代入整理，得设其两根为，则 8分从而弦长为 10分（2）由（1）当（*）中时为中点，中点为思路分析：（1）把参数方程，化为普通方程，直线的参数方程为：（t为参数），化为普通方程，直线方程与双曲线方程联立消去得，利用弦长公式解得弦长为由韦达定理和（1）得线段AB的中点。 3232,52【解析】()由已知可得，即A(1，)，B（，1），C（1，），D（，1），()设，令=，则=，的取值范围是32,5233 【解析】求解极坐标与参数方程问题，要能够熟练应用相应公式和方法将其转化为直角坐标方程，对于所有问题都可以应用转化思想，化陌生为熟悉，将问题转化为直角坐标方程问题进行解决（1）（5分） 为圆心是，半径是1的圆。为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。 （2）（5分）解： 两边同乘以 得 可化为即 表示的是以 为圆心，半径为2的圆。两边同乘以 表示的是以 为圆心，半径为2的圆。两员的圆心距为 ，两圆半径之和为4，之差为0，所以两圆相交。34（1）得的直角坐标方程为：（2）直线和相交【解析】（1）利用加减消参法得到直线l的普通方程，利用极坐标转化直角坐标公式的结论转化圆C的方程；（2）利用圆心到直线的距离与半径的比较判断直线与圆的位置关系。（1）消去参数，得直线的普通方程为；圆极坐标方程化为两边同乘以得，消去参数，得的直角坐标方程为： 4分（2）圆心到直线的距离，所以直线和相交35(1) (2) 此时【解析】本试题主要是考查了圆的参数方程和直线与圆的位置关系的运用，求解圆上点到直线距离的最值问题。 (1)曲线的参数方程为1分由 得