向量的应用

对于空间任意一条直线 与直线平行的非零向量叫做直线的一个方向向量 空间直线的方向向量 注 直线有无穷多个方向向量 这些方向向量是相互平行的 对于空间任意一条直线 与直线平行的非零向量叫做直线的一个方向向量 注 直线有无穷多个方向向量 这些方向向量是相互平行的 例 已知所有棱长为1的正三棱锥A BCD 试建立空间直角坐标系 确定各棱所在直线的方向向量 注 为了计算和表达的方便 我们常选用坐标的值比较简单的方向向量 例 已知 2 2 1 4 5 3 求平面ABC的单位法向量 对于非零的空间向量 如果它所在的直线与平面 垂直 那么向量叫做平面 的一个法向量 平面的法向量 注 1 平面有无穷多个法向量 这些法向量是相互平行的 2 平面的法向量与平面内的所有向量都垂直 例 在放置于空间直角坐标系中的长方体中 求下列平面的一个法向量 1 平面 2 平面 3 平面 法向量与方向向量的应用1 判断平行关系 基础命题1 两条直线平行与重合 基础命题2 一条直线与一个平面平行或在一个平面内 基础命题3 两个平面平行或重合 方向向量互相平行 这条直线的方向向量垂直于该平面的法向量 它们的法向量互相平行 Ex 如图 在四棱锥中 底面ABCD为正方形 PD DC E是PC的中点 作交PB于点F 证明 1 2 推论 一条直线与一个平面垂直 这条直线的方向向量平行于该平面的法向量 EX 如图 在长方体中 求证 平面平面 法向量与方向向量的应用2 空间角的度量 空间两条直线所成的角 设空间直线a与b所成的角为它们的一个方向向量分别为的夹角为 根据空间两条直线所成的角的定义 可知是 Ex 正四面体ABCD的棱长为a E F分别是棱BC和AD的中点 求直线AE和FC所成角 Ex 四棱锥S ABCD的高SO 3 底面是边长为2 ABC 600的菱形 F是SA的中点 E是SC的中点 求异面直线DF与BE所成角的大小 x z y 空间直线与平面所成的角 当直线l与平面相交且不垂直时 设它们所成的角为是直线l的一个方向向量 是平面 的一个法向量 的夹角为 那么有如下关系 二面角 设两个半平面所在的平面 1 2的法向量分别为 两个法向量的夹角为 二面角的大小为 可以看出 Ex 在正方体ABCD A B C D 中 E F分别是BC CD的中点 求 1 直线A D与平面EFD B 所成角的大小 2 二面角B B E F的大小 Ex 已知正三棱柱的所有棱长都是a M是棱的中点 求 1 直线与平面所成角的大小 2 二面角的大小 Ex 已知正方体的棱长为2 P Q分别在BC CD上运动 且 建立如图所示坐标系 1 确定P Q的位置 使得 2 当时 求二面角的大小 中点 设A是平面 外任意一点 是平面 过点A的法向量 点M是平面 内任意一点 向量的夹角为 直线AM与平面 所成角为 法向量与方向向量的应用3 空间点到平面的距离 Ex 在长方体ABCD A B C D 中 AB 2 AD 1 AA 1 求 1 顶点B 到平面D AC的距离 2 直线BC 到平面D AC的距离 B A C C1 E A1 B1 正方体ABC