【优化方案】高考数学总复习 第2章第13课时导数的应用课件 理 新人教B版.ppt

第13课时导数的应用 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 第13课时导数的应用 双基研习 面对高考 1 函数的最值假设函数y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条 的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得 与 若函数在 a b 内是 该函数的最值必在 取得 连续不间断 最大值 最小值 可导的 极值点或区间端点处 双基研习 面对高考 2 解决优化问题的基本思路 某个常数 常数 a b 函数f x x 提示 相等 定积分大小仅与被积函数及积分区间有关 而与积分变量无关 1 函数f x x3 3x 1 x 1 a 有最大值 但无最小值b 有最大值 也有最小值c 无最大值 也无最小值d 无最大值 但有最小值答案 c 答案 d 答案 b 4 函数f x 2x3 3x2 12x 5在 0 3 上的最大值是 最小值是 答案 5 155 圆柱形金属饮料罐的表面积为定值s 则它的底面半径为 时 才能使饮料罐的体积最大 考点探究 挑战高考 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2010年高考重庆卷 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b r g x f x f x 是奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 1 在求实际问题的最大 小 值时 一定要注意考虑实际问题的意义 2 在实际问题中 有时会遇到函数在区间内只有一个点使f x 0的情形 那么不与端点值比较 也可以知道这就是最大 小 值 名师点评 实际应用中准确地确定函数解析式 确定函数定义域是关键 2010年高考安徽卷 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x r 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln2 1且x 0时 ex x2 2ax 1 思路分析 2 中构造函数g x ex x2 2ax 1 转化为求证g x 恒大于零 解 1 由f x ex 2x 2a x r知f x ex 2 x r 令f x 0 得x ln2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 而g 0 0 从而对任意x 0 都有g x 0 即ex x2 2ax 1 0 故ex x2 2ax 1 规律小结 对于类似本题中不等式证明而言 我们可以从所证不等式的结构和特点出发 结合已有知识 构造一个新的函数 再借助导数确定函数的单调性 利用单调性实现问题的转化 从而使不等式得到证明 用导数方法证明不等式 其步骤一般是 构造可导函数 研究单调性或最值 得出不等关系 整理得出结论 计算简单定积分的步骤 1 把被积函数变为幂函数 正弦函数 余弦函数 指数函数与常数的和或差 2 利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差 3 分别用求导公式求出f x 使得f x f x 4 利用牛顿 莱布尼兹公式求出各个定积分的值 5 计算所求定积分的值 名师点评 1 求函数的原函数和求函数的导数恰好互为逆运算 注意它们在计算和求解中的不同 避免混淆 另外 一个函数的导数是惟一的 而其原函数则有无穷多个 这些原函数之间都相差一个常数 在利用微积分基本定理求定积分时 只要找到被积函数的一个原函数即可 并且一般使用不含常数的原函数 这样有利于计算 2 分段函数的定积分问题 绝对值函数的定积分问题都可以采用分段求解的方法 方法技巧1 函数的最值与极值的辨析最值是一个整体性概念 是指函数在给定区间 或定义域 内所有函数值中最大的值与最小的值 在求函数的最值时 要注意 最值与极值的区别 极值是指某一点附近函数值的比较 因此 同一函数在某一点的极大 小 值 可以比另一点的极小 大 值小 大 而最大 最小值是指闭区间 a b 上所有函数值的比较 因而在一般情况下 两者是有区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定是极大 小 值 但如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 2 求定积分的常用技巧 1 求被积函数 要先化简 再求积分 2 求被积函数为分段函数的定积分 依据定积分 对区间的可加性 分段积分再求和 3 对于含有绝对值符号的被积函数 要先去掉绝对值号才能积分 失误防范1 已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 然后检验参数的值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不恒为0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围确定 2 求函数最值时 要注意极值 端点值的比较 3 要强化导数的工具性作用 在处理方程的根 不等式恒成立等问题时 注意导数的应用 从近几年的高考试题来看 利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点 试题大多有难度 考查时多与函数的单调性 极值结合命题 考生学会做综合题的能力 预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性 极值与最值结合题目为主要考向 同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题 考向瞭望 把脉高考 本题满分12分 2010年高考天津卷节选 已知函数f x xe x x r 1 求函数f x 的单调区间和极值 2 已知函数y g x 的图象与函数y f x 的图象关于直线x 1对称 证明当x 1时 f x g x 解 1 f x 1 x e x 令f x 0 解得x 1 1分当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 2 证明 由题意可知g x f 2 x 得g x 2 x ex 2 令f x f x g x 即f x xe x x 2 ex 2 于是f x x 1 e2x 2 1 e x 9分当x 1时 2x 2 0 从而e2x 2 1 0 又e x 0 所以f x 0 从而函数f x 在 1 上是增函数 又f 1 e 1 e 1 0 所以x 1时 有f x f 1 0 即f x g x 12分 名师点评 本题考查了求函数的单调区间 极值和不等式证明 试题为中高档题 考生易在第 2