2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第八章 82.doc

8.2空间的基本关系与公理1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内(即直线在平面内)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线2公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行3定理空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：.5直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况6平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于A点，并记作A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面()2已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A一定是异面直线 B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线答案C解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若bc，则ab，与已知a、b为异面直线相矛盾3下列命题正确的个数为()经过三点确定一个平面；梯形可以确定一个平面；两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合A0 B1 C2 D3答案C解析经过不共线的三点可以确定一个平面，不正确；两条平行线可以确定一个平面，正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，正确；命题中没有说清三个点是否共线，不正确4如图，l，A、B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过()A点AB点BC点C但不过点MD点C和点M答案D解析AB，MAB，M.又l，Ml，M.根据公理3可知，M在与的交线上同理可知，点C也在与的交线上5已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列判断：MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD)；MN(ACBD)其中正确的是_答案解析如图，取BC的中点O，连接MO、NO，则OMAC，ONBD，在MON中，MNOMON(ACBD)，正确题型一平面基本性质的应用例1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点思维启迪(1)两条相交直线或两条平行直线确定一个平面；(2)可以先证CE与D1F交于一点，然后再证该点在直线DA上证明(1)连接EF，CD1，A1B.E、F分别是AB、AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E、C、D1、F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE、D1F、DA三线共点思维升华公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据(1)以下四个命题中不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面正确命题的个数是()A0 B1C2 D3(2)a、b是异面直线，在直线a上有5个点，在直线b上有4个点，则这9个点可确定_个平面答案(1)B(2)9解析(1)假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形(2)a、b是异面直线，a上任一点与直线b确定一平面，共5个，b上任一点与直线a确定一平面，共4个，一共9个题型二判断空间两直线的位置关系例2如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由思维启迪第(1)问，连接MN，AC，证MNAC，即AM与CN共面；第(2)问可采用反证法解(1)不是异面直线理由如下：连接MN、A1C1、AC.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1.又A1A綊C1C，A1ACC1为平行四边形，A1C1AC，MNAC，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：ABCDA1B1C1D1是正方体，B、C、C1、D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，D1、B、C、C1，与ABCDA1B1C1D1是正方体矛盾假设不成立，即D1B与CC1是异面直线思维升华(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；(3)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行(1)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行(2)在图中，G、N、M、H分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案(1)D(2)解析(1)连接B1C，B1D1，则点M是B1C的中点，MN是B1CD1的中位线，MNB1D1，CC1B1D1，ACB1D1，BDB1D1，MNCC1，MNAC，MNBD.又A1B1与B1D1相交，MN与A1B1不平行，故选D.(2)图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点共面，但M面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H面GMN，因此GH与MN异面所以图、中GH与MN异面题型三求两条异面直线所成的角例3空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小思维启迪取AC中点，利用三角形中位线的性质作出所求角解取AC的中点G，连接EG、FG，则EG綊AB，GF綊CD，由ABCD知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.思维升华(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90答案C解析如图，可补成一个正方体，AC1BD1.BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形，A1BD160.即BA1与AC1成60的角求解两条直线所成角问题概念不准确致误典例：(5分)过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作()A1条 B2条C3条 D4条易错分析忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系解析如图，连接体对角线AC1，显然AC1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.联想正方体的其他体对角线，如连接BD1，则BD1与棱BC、BA、BB1所成的角都相等，BB1AA1，BCAD，体对角线BD1与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，同理，体对角线A1C、DB1也与棱AB、AD、AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1、A1C、DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条答案D温馨提醒求空间直线所成的角时，常犯以下错误：(1)不能挖掘题中的平行关系，找不到其所成的角；(2)线多、图形复杂、空间想象力不够，感觉无从下手方法与技巧1主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解失误与防范1正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”2不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件答案A解析“两条直线为异面直线”“两条直线无公共点”“两直线无公共点”“两直线异面或平行”故选A.2若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c()A一定平行B一定相交C一定是异面直线D平行、相交、是异面直线都有可能答案D解析当a，b，c共面时，ac；当a，b，c不共面时，a与c可能异面也可能相交3设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是()A(0，) B(0，)C(1，) D(1，)答案A解析此题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体，长为a的棱长一定大于0且小于.选A.4四棱锥PABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案B解析因为四边形ABCD为正方形，故CDAB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为PAB.在PAB内，PBPA，AB2，利用余弦定理可知cosPAB，故选B.5设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()Pa，PaabP，baab，a，Pb，Pbb，P，PPbA BC D答案D解析当aP时，Pa，P，但a，错；aP时，错；如图，ab，Pb，Pa，由直线a与点P确定唯一平面，又ab，由a与b确定唯一平面，但经过直线a与点P，与重合，b，故正确；两个平面的公共点必在其交线上，故正确二、填空题6平面、相交，在、内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面答案1或4解析若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面7a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线；若a，b与c成等角，则ab.上述命题中正确的命题是_(只填序号)答案解析由公理4知正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故不正确；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故不正确8若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有_对答案24解析正方体如图，若要出现所成角为60的异面直线，则直线为面对角线，以AC为例，与之构成黄金异面直线对的直线有4条，分别是AB，BC，AD，CD，正方体的面对角线有12条，所以所求的黄金异面直线对共有24(对)三、解答题9如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEEBCFFB21，CGGD31，过E、F、G的平面交AD于点H.(1)求AHHD；(2)求证：EH、FG、BD三线共点(1)解2，EFAC，EF平面ACD，而EF平面EFGH，平面EFGH平面ACDGH，EFGH，ACGH.3.AHHD31.(2)证明EFGH，且，EFGH，EFGH为梯形令EHFGP，则PEH，而EH平面ABD，又PFG，FG平面BCD，平面ABD平面BCDBD，PBD.EH、FG、BD三线共点10如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA底面ABCD，OA2，M为OA的中点(1)求四棱锥OABCD的体积；(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小解(1)由已知可求得，正方形ABCD的面积S4，所以，四棱锥OABCD的体积V42.(2)连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，则EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角)，由已知，可得DE，EM，MD，()2()2()2，DEM为直角三角形，tanEMD.B组专项能力提升(时间：30分钟)1 l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面答案B解析当l1l2，l2l3时，l1与l3也可能相交或异面，故A不正确；l1l2，l2l3l1l3，故B正确；当l1l2l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确2如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；B