第八等比数列复习.doc

学校教学的得力助手 考取状元的必由之路 汪博教育 5398006高三数学VIP讲义第十一讲 等比数列复习一 知识回顾1等比数列的定义：q（q为不等于零的常数）2等比数列的通项公式： ana1qn1 anamqnm 3前n项和注:应用前n项和公式时,一定要区分的两种不同情况,必要的时候要分类讨论.4等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2 （或b ）5等比数列an的几个重要性质： m，n，p，qN*，若mnpq，则 Sn是等比数列an的前n项和且Sn0，则Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列若等比数列an的前n项和Sn满足Sn是等差数列，则an的公比q (4)等比数列中，6证明数列为等比数列的方法:(1)定义法:若(2)等比中项法:若(3)通项法:若 (4)前n项和法:若7解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题)(2)分类的思想运用等比数列的求和公式时,需要对讨论当 当二 典例精讲例1 已知等比数列an中，a1an66，a2an1128，Sn126，求项数n和公比q的值解：an是等比数列，a1ana2an1，解得或若a12，an64，则2qn164qn32q由Sn，解得q2，于是n6若a164，an2，则64qn12qn由Sn解得q，n6变式训练1.已知等比数列an中，a1a964，a3a720，则a11 解：由或 q2或q22， a11a7 q2， a1164或a111例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解：设这四个数为ad，a，ad， 依题意有： 解得： 或 这四个数为0，4，8，16或15，9，3，1变式训练3.设是等差数列的前项和，则等于（ ）A. 15 B. 16 C. 17 D. 18解析：由得，再由。例3已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。（I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得例4. 已知函数f(x)(x1)2，数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的等比数列(q1)，若a1f(d1)，a3f(d1)，b1f(q1)，b3f(q1)，(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 设数列cn对任意的自然数n均有：，求数列cn前n项和Sn解：(1) a1(d2)2，a3d2，a3a12d即d2(d2)22d，解之得d2a10，an2(n1)又b1(q2)2，b3q2，b3b1q2即q2(q2)2 q2，解之得q3b11，bn3n1(2) SnC1C2C3Cn4(13231332n3 n1)设1323332n3 3 n相减得：21332333 n1n3 n3 nnSn2n3n3n1例5设数列an前n的项和为 Sn，且其中m为常数， （1）求证：an是等比数列； （2）若数列an的公比满足q=f(m)且，为等差数列，并求解：（1）由，得两式相减，得是等比数列 点评：为了求数列的通项，用取倒数的技巧，得出数列的递推公式，从而将其转化为等差数列的问题例6设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列 （II）求数列的通项公式。解：（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以例7 设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列解：(1)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.(2)a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列例8 已知数列满足，.求数列的通项公式；求数列的前项和；【解析】方法一：由，得， 数列是常数列，即，得.数列是首项为，公比为的等比数列，故数列的通项公式为. 方法二：由，得，数列是首项为，公比为的等比数列，. （*）当时，也适合（*），故数列的通项公式为.方法三： 由，得，.是常数列，是首项为，公比为的等比数列.，且. 由上式联立消去，解得：为数列的通项公式. 解：.设， 则 . 得：，. 故.三 强化练习1（07重庆文）在等比数列an中，a18，a264，则公比q为（A）2（B）3（C）4（D）82（07重庆理）若等差数列的前三项和，则等于（ ）A3 B.4 C. 5 D. 63设为公比q1的等比数列，若和是方程的两根，则_.4（07天津理）设等差数列的公差不为0，若是与的等比中项，则（）24685设等差数列的公差是2，前项的和为，则7等差数列an中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100,则n=（ ）(A)9(B)10(C)11(D)128.等差数列an的前n项和为Sn，若（ ）（A）12（B）18（C）24（D）429（全国2文）已知数列的通项，则其前项和 10（07全国1理）等比数列的前项和为，已知，成等差数列，则的公比为 11已知是等差数列，其前10项和，则其公差（）12已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）32113已知是等差数列，其前5项和，则其公差14（07辽宁理）设等差数列的前项和为，若，则（ ）A63B45C36D2715已知数列对于任意，有，若，则 四 课后练习1（07江西文）已知等差数列的前项和为，若，则2（07湖南文）在等比数列（）中，若，则该数列的前10项和为（ ）ABCD3（07湖北理）已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）A2B3C4D54（07广东理）已知数列的前项和，第项满足，则 A B C. D5（07广东文）已知数列的前项和，则其通项 ；若它的第项满足，则 6数列的前项和为，若，则等于（ ）A1BCD7等比数列中，则等于（）8若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项9若数列的前项和，则此数列的通项公式为10（07安徽文）等差数列的前