青少年数学国际城市邀请赛队际赛试题及答案.pdf

上海 中学 数学 2 0 0 9年 第 1 2期 青少年数学 国际城 市邀请赛 队际赛试题及 答案 2 0 0 9 年 7月 8日 南非德 班 答题时 间 6 0分钟 1 有一叠 编号 为 1 1 5的牌 按 某种顺 序 叠好后 进行如下两个操作 将 最上 面的第 一张 牌放到桌面上 再把 第二 张牌 放 到整 叠 牌 的最 下面 不断重复 这 两个 操作 直 到所 有 1 5张牌 都依次叠放在 桌面 上 为止 如果 桌上 的牌 的编 号从上到下恰好 是 1 1 5顺 次 排列 请 问原 来 的那叠牌 从最 底下 第一 张算 起 的第 四张牌 是 什 么 解答 假设 牌依次 自上而下 的排 布次序 按照下 表 从 左往 右所示 原先 的第一 张成 了最底下的牌 所 以一定 是 1 5 第 三 张牌 一定 是 1 4 以 此类 推 可得 5分 由于上 面的 8张牌拿掉 了 所 以标记为 的牌成 了 8之后 的牌 应该 放 到 底 下 所 以标 记 为 的牌是 7 以此类推可得 1 0分 同样 的推 理 可得 原来 的牌的排 列是 所 以倒数 第四张是 5 3 0分 2 试求最小的正 整数 使得 它 的因数 中有 末 位数是 0 1 2 3 4 5 6 7 8和 9的数至 少 各 一 个 解答 若有一 因子末位是 0 则其必含 质因子 2和 5 显然它有末位为 1 的因子 再含有 因子 3 0 即 可 此时该数为 2 3 0 5 2 7 0 有 因子 3 2 3 0 5 4 2 3 6 3 a 一2 7 2 3 2 1 8 和 3 2 9 2 0分 下证 此数的确是最小 的 如 果它不含因子 3 0 以 9或以 7结 尾的 因子 最 小 为 9 7 这 几 个 数是互 质 的 则 9 7 2 5 2 7 0 4 0分 3 在 图 1方格 中填 人数字 2 l I 4 2 6 5 l 3 图 1 1 6 使得每 行 每列及两条 主对角 线上 的方格 中 1 2 3 4 5 6都恰好各 出现一 次 解答 如 图 2 将每一行 由下往 上从 1标示到 6 将 每 N 由左 往右 从 a标 示 到 e 可 以观察 出 厂 1 与 厂6 分别 为 5或 6 故 厂4一定是 3而 厂3一 定是 2 在 第 2行上 2一 定在 d 2而 3一定 在 e 2 在第 b列 上 3一 定在 b 3上 也 因此 可推 得 第 6行 的 3在 c 6 第 5行 的 3 在 d 5 接着便 可 再判断 出第 5 行 的 2在 e 5 而第 1 行的 2在 f 1 如此便可得 到全部 2与 3所在 的位 置 如 图 2 2 3 3 2 2 3 3 6 2 5 2 3 l 3 2 3 4 l 6 3 2 2 5 3 l 5 6 4 5 2 3 5 2 l 图 2 图 3 若第 厂 列的 6 在 f 6 上 继续填下 去则会 得 到矛盾 的结果 故第 厂列 的 6在 1上 且继续 填下去便可得到如 图 3的解 在不违反规则 的情 况下 每个正 确的方格 得 1分 错 误的方格扣 1分 直到 0分为止 违 反 规则 的一律得 0分 4 如 图 4是一 个 商业 中心 的示 意 图 其 中标 记有 字母 P的 区域 是 三个 停 车 场 其 它七 个涂 上 阴影部 分 是 广场 图 中的箭头 标示 该 小段街 道是单 行道 箭头 方 向指 明 了的遵 行方 向 没 有 图 4 箭头 的小段 则 不受 此 限制 请绘 出一 条路 径 从其 中一个停 车场 出发 经 过所有 的广场 最 后 再 回到另一个停 车场 请注意 此条路 径不可 以 通 过 任 何 路 口或 点 两 次 或 两 次 以上 解答 将这七栋 商店 依右图所示编上号码 如 图 5 上海 中学数 学 2 0 0 9年 第 1 2期 所示 并 假 设 右 方 为 东 边 并从最东侧 的停车场 出发 因 4号商 店 只能 从 该商 店 的西边 出口出来 而 7号商 店 只能从 该 商 店 的北 边 出 口出来 故知 5号商 店必须 紧跟在 4号 商店 之 后 而位 图 5 于最西侧 的停 车场 必须 紧跟在 7号商 店之 后 也 因此可知从 5号商 店 的北 边进入 后必须 从 5 号商店 的东边 出 口出来 在 由此 可 知到达 4号 商店必须是从 4号商 店 的东边 进入 且是 紧 跟 在 3号商店之后 判断 出以上这些路径后 便 可 判断出其余可 走 的路 径 并 可得 到 唯一满 足题 意 的路径 从最东侧 的停 车场 出发 并照着 如图 5所示 的路径从 1号商店一直到 7号商店 最后 回到最西侧的停车场 每奈正确 的路 线得 2分 错误 的路 线扣 2 分 直到 0分 5 请在图 6中绘 出一 条 通过 每一个小 方格一次且 不 与 自身 相交 的封 闭 路 径 使 得路径 上的两个相 邻的 圆圈 之间的线段满足下列条件 I 若 两个 圆圈 同色 则它们 之间 由一 条直 线段相 连 接 一 图 6 若两个 圆圈异 色 则它 们之 间由相交 为直角的二条直线段相连接 所 绘 出的 封 闭 路 径 必 须 由 水 平 线 段 或 垂 直 线段 所 构 成 解 答 可先从位于 四个角落 的方格 都必须是 由二 条互交 为直角的直线段相连接而 成来判断 出图 7中第一 阶段 的连接方式 接着便 可依序判 断出 第二 阶段 第三阶段而完成绘 图 0 I f 一 l 一 L一 第 一阶段 图 7 i r r Z 0 l I I l 斗 f 斗 二 4 4 L 1 第二阶段 图 8 第 三阶段 图 9 每 两个 圈之 间的连接 线段 正确得 1分 错 误 扣 1分 6 已知 a 2 2 n 1 2 n 1 2 n 1 其 中 n 一 一 一I 7 为正整数 证 明 口 l a 2 十 a z o o 9 1 解答 注意到 2 n 1 一 1 2 一 1 2 一 1 2 0分 所以n 1 a 2 a 2 o o 9 一 兰 一 一 一 1 4 0分 7 请找出所有满足下列 条件 的正整数 的分 划方法 将所 有 的正整 数分 为 冷 数 与 热数 两类 使得任意 热数 与 冷数 之和 为 热数 而乘积为 冷数 解答 我们证 明所有的 冷数 是某 个最小 冷数 的倍数 这个 最 小 冷数 可 以任意 选取 大 予 1 的整数 设 1 7 l 和 为 冷数 k为 热数 则 k 是 热数 是 是 冷数 另一方 面 七 是 冷数 由 仇 志 一 m k n 知 2 是 冷数 结合题设条 件知 冷数 的倍数都是 冷数 2 0分 设 优是最小的 冷数 是任 意的 冷数 则 q r O r m一1 由于 是 最小 冷 数 所以 r是 热 数 那 么 g r也 是 热 数 矛 盾 2 0分 故 冷数 均为 的倍数 结合两方面 知对于某个 整数 所 有的分 类方法就是按 照整数被 除时 能否 整除分 为 两类 举 出特例给 5分 8 图 1 O中指 出可将一个正八 边形切成 一 块 1 1的正方形 和四块 全等 的五边形 而它们 可重组成一个正方形 试求每块五边形的周长 上 海 中学数 学 2 0 0 9年 第 1 2期 G C 图 1 1 图 1 2 解答如 图 l 1所示 令正方形 的边长为 n 则可知 AB B C C G BC 口 5分 可知正八边 形 的边 长 为 1 可 将 正八 边形 依 图 1 2所示切割 则可得正八边形 的面积 为 1 1 T 2 X 4 t 1 v 2 4 2 2 即有 口 2 2 2 口 2 2 1 o分 因 此 AB BC C G B C 2 2 1 5分 又因 AE DC 即为 正 八 边 形 的 边 长 故 AE DC一 1 所 以 可 得 AB B C C D DE E A一2 2 2 2 2 0分 9 每局桥牌都 有 四位 玩 家一起 玩 已知玩 过的局数恰 等于 玩家人 数 且任 意两 位 玩 家都 至少在一起玩过一局 试求玩家人数 的最大值 解答 设 有 玩 家 n人 每 局 游 戏 产 生 6对 玩 家 由 6 n推出 2 1 3 厶 1 0分 下 证 一 1 3是 可 行 的 如 图 1 3将 1 3名 玩 家 0至 1 2编号 每 局对 局 者 如下 0 2 3 7 1 图 i 3 3 4 3 4 8 2 4 5 9 3 5 6 l O 4 6 7 1 1 5 7 8 1 2 6 8 9 o 7 9 1 0 1 8 l O 1 1 2 9 l 1 1 2 3 1 O 1 2 o 4 1 1 o 1 5 和 1 2 1 2 6 满足 条件 2 0分 1 0 试 问 2 0 0 8 2 0 0 9 2 0 1 0这 三个 数 中 哪些能 写 成 z y 一3 x y z的形 式 其 中 Y 均 为正整数 解答 当 z一6 7 0 一6 6 9时 可得 2 0 0 8 1 0分 当 一6 6 9 一6 7 0时 可得 2 0 0 9 2 0分 2 0 1 0不能表示为这样 的形式 2 5分 下证 若 3 l t 且 9不能整 除 t 则 t 不能写成 Iz y 0 3 x y z的形 式 考虑反证法 反设其成立 则 因为 3 l t 故 3I z z或 3 l z y 一 一2 但是 3 l z z 等价于 3 l 3 l Lz y 2 一 z z z 故任 一 形式 均 可推 出 9 I t 矛 盾 4 0分 综 上所述 2 0 0 8 2