（新课标）高考数学5年真题备考题库 第八章 第8节 曲线与方程 理（含解析）.doc

第8章 平面解析几何第8节 曲线与方程1（2014广东，14分）已知椭圆c：1(ab0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆c的标准方程；(2)若动点p(x0，y0)为椭圆c外一点，且点p到椭圆c的两条切线相互垂直，求点p的轨迹方程解：(1)依题意得，c，e，因此a3，b2a2c24，故椭圆c的标准方程是1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点p(x0，y0)的切线方程是yk(xx0)y0，则由得1，即(9k24)x218k(y0kx0)x9(y0kx0)240，18k(y0kx0)236(9k24)(y0kx0)240，整理得(x9)k22x0y0ky40.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k1，k2，于是有k1k21，即1，即xy13(x03)若两切线中有一条斜率不存在，则易得或或或经检验知均满足xy13.因此，动点p(x0，y0)的轨迹方程是x2y213.2（2014湖北，14分）在平面直角坐标系xoy中，点m到点f(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点m的轨迹为c.(1)求轨迹c的方程；(2)设斜率为k的直线l过定点p(2,1)，求直线l与轨迹c恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围解：(1)设点m(x，y)，依题意得|mf|x|1，即|x|1，化简整理得y22(|x|x)故点m的轨迹c的方程为y2(2)在点m的轨迹c中，记c1：y24x，c2：y0(x0)依题意，可设直线l的方程为y1k(x2)由方程组可得ky24y4(2k1)0.()当k0时，此时y1.把y1代入轨迹c的方程，得x.故此时直线l：y1与轨迹c恰好有一个公共点.()当k0时，方程的判别式为16(2k2k1)设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y1k(x2)，令y0，得x0.a若由解得k.即当k(，1)时，直线l与c1没有公共点，与c2有一个公共点，故此时直线l与轨迹c恰好有一个公共点b若或由解得k，或k0.即当k时，直线l与c1只有一个公共点，与c2有一个公共点当k时，直线l与c1有两个公共点，与c2没有公共点故当k时，直线l与轨迹c恰好有两个公共点c若由解得1k或0k0.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2，因为x轴是pbq的角平分线，所以，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入，得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，直线l过定点(1,0)4（2013四川，13分）已知椭圆c：1，(ab0)的两个焦点分别为f1(1,0)，f2(1,0)，且椭圆c经过点p.(1)求椭圆c的离心率；(2)设过点a(0,2)的直线l与椭圆c交于m，n两点，点q是线段mn上的点，且，求点q的轨迹方程解：本题考查椭圆的定义、离心率，直线与圆锥曲线的位置关系及轨迹方程等知识，意在考查函数与方程、转化与化归的数学思想，考查考生的运算求解能力(1)由椭圆定义知，2a|pf1|pf2|2，所以a.又由已知，c1，所以椭圆c的离心率e.(2)由(1)知，椭圆c的方程为y21.设点q的坐标为(x，y)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆c交于(0,1)，(0，1)两点，此时点q的坐标为.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2.因为m，n在直线l上，可设点m，n的坐标分别为(x1，kx12)，(x2，kx22)，则|am|2(1k2)x，|an|2(1k2)x.又|aq|2x2(y2)2(1k2)x2.由，得，即.将ykx2代入y21中，得(2k21)x28kx60.由(8k)24(2k21)60，得k2.由可知，x1x2，x1x2，代入中并化简，得x2.因为点q在直线ykx2上，所以k，代入中并化简，得10(y2)23x218.由及k2，可知0x2，即x.又满足10(y2)23x218，故x.由题意，q(x，y)在椭圆c内，所以1y1，又由10(y2)2183x2有(y2)2，)，且1y1，则y.所以点q的轨迹方程为10(y2)23x218，其中x，y.5（2011北京，5分）曲线c是平面内与两个定点f1(1,0)和f2(1,0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线c过坐标原点；曲线c关于坐标原点对称；若点p在曲线c上，则f1pf2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是_解析：因为原点o到两个定点f1(1,0)，f2(1,0)的距离的积是1，而a1，所以曲线c不过原点，即错误；因为f1(1,0)，f2(1,0)关于原点对称，所以|pf1|pf2|a2对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为sf1pf2|pf1|pf2|sinf1pf2|pf1|pf2|a2，即面积不大于a2，所以正确答案：6（2012湖南，13分）在直角坐标系xoy中，曲线c1上的点均在圆c2：(x5)2y29外，且对c1上任意一点m，m到直线x2的距离等于该点与圆c2上点的距离的最小值(1)求曲线c1的方程；(2)设p(x0，y0)(y03)为圆c2外一点，过p作圆c2的两条切线，分别与曲线c1相交于点a，b和c，d.证明：当p在直线x4上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值解：(1)法一：设m的坐标为(x，y)，由已知得|x2|3.易知圆c2上的点位于直线x2的右侧，于是x20，所以x5.化简得曲线c1的方程为y220x.法二：由题设知，曲线c1上任意一点m到圆心c2(5,0)的距离等于它到直线x5的距离因此，曲线c1是以(5,0)为焦点，直线x5为准线的抛物线故其方程为y220x.(2)当点p在直线x4上运动时，p的坐标为(4，y0)，又y03，则过p且与圆c2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为yy0k(x4)，即kxyy04k0.于是3.整理得72k218y0ky90.设过p所作的两条切线pa，pc的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程的两个实根，故k1k2. 由得k1y220y20(y04k1)0. 设四点a，b，c，d的纵坐标分别为y1，y2，y3，y4，则y1，y2是方程的两个实根，所以y1y2. 同理可得y3y4. 于是由，三式得y1y2y3y46 400.所以，当p在直线x4上运动时，四点a，b，c，d的纵坐标之积为定值6 400.7.（2012辽宁，12分）如图，椭圆c0：1(ab0，a，b为常数)，动圆c1：x2y2t12，bt1a.点a1，a2分别为c0的左，右顶点，c1与c0相交于a，b，c，d四点(1)求直线aa1与直线a2b交点m的轨迹方程；(2)设动圆c2：x2y2t22与c0相交于a，b，c，d四点，其中bt2a，t1t2.若矩形abcd与矩形abcd的面积相等，证明：t12t22为定值解：(1)设 a(x1，y1)，b(x1，y1)，又知a1(a,0)，a2(a,0)，则直线a1a的方程为y(xa)，直线a2b的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点a(x1，y1)在椭圆c0上，故1.从而yb2(1)，代入得1(xa，y1)的两条直线l1和l2与轨迹e都只有一个交点，且l1l2，求h的值解：(1)由题设知|x1|，a1(，0)，a2(，0)，则有直线a1p的方程为y(x)，直线a2q的方程为y(x)法一：联立解得交点坐标为x，y，即x1，y1，则x0，|x|1)，联立y21得(12k2)x24khx2h220.令1