闭区间上连续函数性质的证明-2.ppt

2闭区间上连续函数性质的证明 一 有界性定理 二 最大 最小值定理 三 介值性定理 四 一致连续性定理 在闭区间上连续 正数 需应用有限覆盖定理将无限多个邻域转化为有限多个 对应的无限多个正数转化为有限多个 即在无限个邻域内都是有界的 此时有无限多个正数 连续函数具有局部有界性 在上有界 则 来证明第四章 2中给出的闭区间上连续函数的基本性质 在本节中 我们将利用关于实数完备性的基本定理 有界性定理 若函数 分析 为了能找到一个最大的 从而找到最大的一个 完成证明 首页 这就证得在上有界 由有限覆盖定理 存在的一个有限子集 显然是的 覆盖了 且存在正数 使得对一切 一个无限开覆盖 及正数 对每一点 都存在邻域 使得 证 证法一 应用有限覆盖定理 由连续函数的局部有界性 定理4 2 考虑开区间集 有 令 则对任何 必属于某 首页 类似地可证 在上有下界 利用在点 倘若在 则对任何正整数 证法二 应用致密性定理 上无界 存在 使得 依次取 则得到数列 由致密性定理 它含有收敛子列 记 由 及数列极限的保不等式性 连续 推得 从而在上有界 所以在上有上界 另一方面 由的选取方法又有 这与上式相矛盾 首页 从而将局部有界转化为了整体有界 注1 在证法一中 能被有限个邻域覆盖时 中求得最大的一个 有限覆盖定理的作用在于当一闭区间 可以在有限个区域上的 经常在反证法中对选出的有界数列应用致密性定理 注2 首页 由有界性定理知 即在上有最大值 设是的一个上界 故在上有上界 易见在上连续 倘若不然 对一切都有 存在 使 的值域有上确界 记为 由于已证得在上有界 在 上连续 在 则 定理4 6 最大 最小值定理 若函数 在闭区间 上有最大值与最小值 分析 上有界 由确界原理知 有上 下确界 的值域 只要证明上下确界分别为最大 最小值即可 证 证 应用确界原理 故由确界原理 以下我们证明 令 则 从而推得 但这与为的上确界 最小上界 相矛盾 所以必存在 使 同理可证在上有最小值 首页 则也是 若为介于 设函数在闭区间上连续 且 定理4 7 介值性定理 与 之间的任何实数 则存在 使得 证 证法一 应用确界原理 不妨设 令 连续函数 上的 且 于是定理的结论转化为 存在 使得 这个简化的情形称为根的存在性定理 定理4 7的推论 记 显然 为非空有界数集 故由确界原理 有下确界 记 因由连续函数的局部保号性 在内 存在使得在内 由此可见 即 首页 当时 记 若 则即为所求 将等分为两个子区间 即若函数在上连续 但这与矛盾 故必有 下证 倘若 不妨设 则又由局部保号性 存在 使在其内 特别有 证法二 应用区间套定理 同上述证法一 我们把问题转化为证明根的存在性定理 则存在 使得 若则 于是有 且 当时 记 再从区间出发 重复上述过程 得到 或者在的中点上有 或者有闭区间 满足 且 首页 而由定理7 1的推论 当充分大时有 倘若 不妨设 则由局部保号性 存在 使在其内有 在任一区间的中点上均 则得到闭区间列 在某一区间的中点上有 则即为所求 将上述过程不断地进行下去 可能出现两种情形 满足 且 由区间套定理 存在点 下证 但这与选取时应满足的相矛盾 因而有 故必有 注 上面证法二中的方法是计算方法中用二分法求函数方程 的根的理论基础 首页 则在上一致连续 任给 对每一点 若函数在闭区间上连续 定理4 9 一致连续性定理 证 证法一 应用有限覆盖定理 由在上的连续性 都存在 使得当时有 考虑集合 显然是的一个开覆盖 由有限覆盖定理 存在的一个有限子集 覆盖了 记 首页 设 即 对任何必属于中某开区间 此时有 故由 式同时有 由此得 所以在上一致连续 首页 当取遍所有正整数时 得数列与 令 n为正整数 与它相应的两点记为 则存在某对任何都存在相应的两点 倘若在上不一致连续 证法二 应用致密性定理 用反证法 尽管但