【5年高考3年模拟】高考数学二轮复习 高考分类汇编 推理与证明.doc

第十三章推理与证明考点一合情推理与演绎推理1.(2013湖南,15,5分)对于e=a1,a2,a100的子集x=,定义x的“特征数列”为x1,x2,x100,其中=1,其余项均为0.例如:子集a2,a3的“特征数列”为0,1,1,0,0,0.(1)子集a1,a3,a5的“特征数列”的前3项和等于;(2)若e的子集p的“特征数列”p1,p2,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1i99;e的子集q的“特征数列”q1,q2,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1j98,则pq的元素个数为.答案(1)2(2)172.(2013陕西,13,5分)观察下列等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此规律,第n个等式可为.答案(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)3.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐标系中,若点p(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点p为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为s,其内部的格点数记为n,边界上的格点数记为l.例如图中abc是格点三角形,对应的s=1,n=0,l=4.(1)图中格点四边形defg对应的s,n,l分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为s=an+bl+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的n=71,l=18,则s=(用数值作答).答案(1)3,1,6(2)794.(2013江西,21,14分)设函数f(x)=a为常数且a(0,1).(1)当a=时,求f;(2)若x0满足f(f(x0)=x0,但f(x0)x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中的x1,x2,设a(x1, f(f(x1),b(x2, f(f(x2),c(a2,0),记abc的面积为s(a),求s(a)在区间上的最大值和最小值.解析(1)当a=时, f=,f=f=2=.(2)f(f(x)=当0xa2时,由x=x解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当a2xa时,由(a-x)=x解得x=(a2,a),因f=,故x=为f(x)的二阶周期点;当axa2-a+1时,由(x-a)=x解得x=(a,a2-a+1),因f=,故x=不是f(x)的二阶周期点;当a2-a+1x1时,由(1-x)=x解得x=(a2-a+1,1),因f=,故x=为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=,x2=.(3)由(2)得a,b,则s(a)=,s(a)=,因为a,a2+a0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g(a)=3a2-4a-2=3,因a(0,1),g(a)0,故对于任意a,g(a)=a3-2a2-2a+20,s(a)=0则s(a)在区间上单调递增,故s(a)在区间上的最小值为s=,最大值为s=.考点二直接证明与间接证明5.(2013四川,10,5分)设函数f(x)=(ar,e为自然对数的底数).若存在b0,1使f(f(b)=b成立,则a的取值范围是()a.1,eb.1,1+ec.e,1+ed.0,1答案a6.(2013陕西,21,14分)已知函数f(x)=ex,xr.(1)求f(x)的反函数的图象上点(1,0)处的切线方程;(2)证明:曲线y=f(x)与曲线y=x2+x+1有唯一公共点;(3)设ab,比较f与 的大小,并说明理由.解析(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x,设所求切线的斜率为k,g(x)=,k=g(1)=1,于是在点(1,0)处切线方程为y=x-1.(2)解法一:曲线y=ex与y=x2+x+1公共点的个数等于函数(x)=ex-x2-x-1零点的个数.(0)=1-1=0,(x)存在零点x=0.又(x)=ex-x-1,令h(x)=(x)=ex-x-1,则h(x)=ex-1,当x0时,h(x)0时,h(x)0,(x)在(0,+)上单调递增.(x)在x=0处有唯一的极小值(0)=0,即(x)在r上的最小值为(0)=0.(x)0(仅当x=0时等号成立),(x)在r上是单调递增的,(x)在r上有唯一的零点,故曲线y=f(x)与y=x2+x+1有唯一的公共点.解法二:ex0,x2+x+10,曲线y=ex与y=x2+x+1公共点的个数等于曲线y=与y=1公共点的个数,设(x)=,则(0)=1,即x=0时,两曲线有公共点.又(x)=0(仅当x=0时等号成立),(x)在r上单调递减,(x)与y=1有唯一的公共点,故曲线y=f(x)与y= x2+x+1有唯一的公共点.(3)-f=-=-(b-a).设函数u(x)=ex-2x(x0),则u(x)=ex+-22-2=0,u(x)0(仅当x=0时等号成立),u(x)单调递增.当x0时,u(x)u(0)=0.令x=,则得-(b-a)0,f.7.(2013湖北,20,13分)如图,某地质队自水平地面a,b,c三处垂直向地下钻探,自a点向下钻到a1处发现矿藏,再继续下钻到a2处后下面已无矿,从而得到在a处正下方的矿层厚度为a1a2=d1.同样可得在b,c处正下方的矿层厚度分别为b1b2=d2,c1c2=d3,且d1d2d3.过ab,ac的中点m,n且与直线aa2平行的平面截多面体a1b1c1-a2b2c2所得的截面defg为该多面体的一个中截面,其面积记为s中.(1)证明:中截面defg是梯形;(2)在abc中,记bc=a,bc边上的高为h,面积为s.在估测三角形abc区域内正下方的矿藏储量(即多面体a1b1c1-a2b2c2的体积v)时,可用近似公式v估=s中h来估算.已知v=(d1+d2+d3)s,试判断v估与v的大小关系,并加以证明.解析(1)依题意a1a2平面abc,b1b2平面abc,c1c2平面abc,所以a1a2b1b2c1c2.又a1a2=d1,b1b2=d2,c1c2=d3,且d1d2d3,因此四边形a1a2b2b1、a1a2c2c1均是梯形.由aa2平面mefn,aa2平面aa2b2b,且平面aa2b2b平面mefn=me,可得aa2me,即a1a2de.同理可证a1a2fg,所以defg.又m、n分别为ab、ac的中点,则d、e、f、g分别为a1b1、a2b2、a2c2、a1c1的中点,即de、fg分别为梯形a1a2b2b1、a1a2c2c1的中位线.因此de=(a1a2+b1b2)=(d1+d2),fg=(a1a2+c1c2)=(d1+d3),而d1d2d3,故defg,所以中截面defg是梯形.(2)v估v.证明如下:由a1a2平面abc,mn平面abc,可得a1a2mn.而ema1a2,所以emmn,同理可得fnmn.由mn是abc的中位线,可得mn=bc=a,即为梯形defg的高,因此s中=s梯形defg=(2d1+d2+d3),即v估=s中h=(2d1+d2+d3).又s=ah,所以v=(d1+d2+d3)s=(d1+d2+d3).于是v-v估=(d1+d2+d3)-(2d1+d2+d3)=(d2-d1)+(d3-d1).由d1d20,d3-d10,故v估v.8.(2013湖南,21,13分)已知函数f(x)=ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)证明:当f(x1)=f(x2)(x1x2)时,x1+x20.解析(1)函数f(x)的定义域为(-,+).f (x)=ex+ex=ex=ex.当x0;当x0时, f (x)0.所以f(x)的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为(0,+).(2)当x0,ex0,故f(x)0;同理,当x1时, f(x)0.当f(x1)=f(x2)(x1 x2)时,不妨设x1x2,由(1)知,x1(-,0),x2(0,1).下面证明:x(0,1), f(x)f(-x),即证exe-x.此不等式等价于(1-x)ex-0.令g(x)=(1-x)ex-