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1 2矩阵可对角化的条件 一 相似矩阵及其性质二 矩阵可对角化的条件 P2 11 2相似矩阵可对角化的条件 一 相似矩阵及其性质 定义3 3设A B均为n阶方阵 若 可逆矩阵P 使得P 1AP B 3 8 则称A与B相似 记作A B 性质3 1基本性质1 反身性 定理3 5若A B 则 A B 2 R A R B 3 A 1 B 1 A B均可逆 2 对称性 3 传递性 P3 11 2相似矩阵可对角化的条件 若 推论3 2 定理3 6若A B 则A与B的特征多项式相同 从而A与B的特征值亦相同 证明A B 可逆阵P 使得P 1AP B 则l1 l2 ln是A的n个特征值 推论3 3若A B 则Am Bm m Z P4 11 2相似矩阵可对角化的条件 定理3 7A与对角矩阵相似 A有n个线性无关的特征向量 证明 设 可逆阵P 使P 1AP L为对角阵 将P按列分块 P p1 p2 pn 因而有于是有Api lipi i 1 2 n 二 矩阵可对角化的条件 P5 11 2相似矩阵可对角化的条件 设p1 p2 pn为A的n个线性无关的特征向量 则有Api lipi i 1 2 n 即即AP PL 又P可逆 则有P 1AP L为对角阵 P6 11 2相似矩阵可对角化的条件 推论3 4若An的n个特征值互不相等 则A与对角阵相似 注1A可对角化 但A未必有n个相异的特征值 如aE可对角化 但其只有一个n重特征值 注2若A的特征方程有重根 此时不一定有n个线性无关的特征向量 从而A不一定可对角化 但若能找到n个线性无关的特征向量 则A仍可对角化 定理3 8设li为An的ni重特征值 i 1 2 m n1 n2 nm n 则An L 对角矩阵 R liE A n ni 证明 An L 可逆阵P使P 1AP L P7 11 2相似矩阵可对角化的条件 即 即pij i 1 m j 1 ni是方程组 的解 P8 11 2相似矩阵可对角化的条件 则 的基础解系有ni个线性无关的向量 矛盾 因A L 由定理3 7知A有n个线性无关的特征向量 若 P9 11 2相似矩阵可对角化的条件 A能否对角化 若能对角化 则求出可逆矩阵P 使P 1AP为对角阵 例3 3设 解 故A的全部特征值为l1 l2 1 l3 2 P10 11 2相似矩阵可对角化的条件 将l1 l2 1代入方程组 lE A x 0 解之得基础解系x1 2 1 0 T x2 0 0 1 T 将l3 2代入方程组 lE A x 0 其基础解系为x3 0 1 1 1 T 由于x1 x2 x3线性无关 则A可对角化 令 故 注若令 即P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要对应 P11 11 2相似矩阵可对角化的条件 例3 4x y为何值时 解 与对角矩阵相似 则l1 1 l2 l3 1 x y 0 由定理4 8知 l2E A
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