工程力学20-j8b(例题).ppt

工程力学 C 北京理工大学理学院力学系韩斌 20 8 4虚位移原理 虚位移原理 具有双面理想约束的质点系 在某一位置能继续保持静止平衡的充要条件是 虚位移原理是分析 静 力学的基本原理 虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题 对于理想约束 且无弹簧连接的刚体系统 对于有弹簧连接的刚体系统或变形体 对于非理想约束 可将其约束力视为主动力 若系统全部为有势力作功时 虚功方程为 8 33 比较 7与 8 2 虚位移原理的应用 1 对自由度为k的系统 机构 有k个独立的广义坐标 k个独立的广义虚位移 j 1 k 2 对自由度为零的系统 静定结构 求约束处的约束力 自由度为零 系统无虚位移 解除一个约束 代之以相应的待求约束力 视为未知大小的主动力 系统变为k 1的机构 按 1 求解未知约束力 若求多个约束力 可依次解除相应约束 每次求出一个约束力 解题指导 1 对系统 正确写出虚功方程 8 32 是全部作功的力的虚功之和 正确找出全部作功之力 正确写出虚功 2 虚功方程中的虚位移 必须表示为独立的虚位移的形式 3 整理虚功方程 令虚功方程中各独立虚位移前面的系数为零 例题5 8虚位移原理 例题 杆OD CE CB DB 弹簧AB 刚度为k 弹簧未变形时 OA AE AD AC CB DB l 求当 角为平衡位置时 P 解 1 分析 拆除弹簧AB 用 表示弹簧对刚体系统的作用 系统为理想约束系统 各铰处的约束力不作功 例题5 8虚位移原理 例题 系统自由度为1 可选 为广义坐标 2 列虚功方程 系统中作功的力 主动力 弹簧力 弹簧伸长量 故弹簧力的大小为 方法一 l l l l l l 例题5 8虚位移原理 例题 建立坐标系Oxy 各力的虚功表示为 利用解析法建立虚位移的关系 l l l l l l 例题5 8虚位移原理 例题 系统的虚功方程为 即 由于 例题5 8虚位移原理 例题 方法二 不拆除弹簧 弹簧包括在系统内 有内力作功 虚功方程为 由 同理可得 例题6 8虚位移原理 例题 AB BC CD为三根等长 等重的均质杆 与铅垂墙壁连成正方形ABCD 并用柔绳EH拉住 E H分别为AB BC的中点 各杆重Q 求柔绳的拉力 例题6 8虚位移原理 例题 解 1 分析 系统的自由度为0 静定结构 2 列虚功方程 几何法 例题6 8虚位移原理 例题 且 代入上式 此机构中 杆AB DC为定轴转动 杆BC为平动 可判断E G H各点的虚位移方向 拉力 例题7 8虚位移原理 例题 杆AB CD由光滑铰链C相连 在AB杆的B端作用一铅垂力 在CD杆上作用一力偶 其力偶矩为M 不计杆重 求A端的约束反力 例题7 8虚位移原理 例题 解 系统的自由度为0 可依次拆除A端的几个约束 将相应约束力看作主动力求解 例题7 8虚位移原理 例题 1 求 去掉A端的转动约束 用约束力偶矩MA代替 AB定轴转动 CD一般平面运动 瞬心为P P AB的虚转角 CD的虚转角为 则 例题7 8虚位移原理 例题 列虚功方程 代入 例题7 8虚位移原理 例题 2 求 去掉A端的水平约束 用约束力FAx代替 AB CD只能作平动 例题7 8虚位移原理 例题 3 求 去掉A端的铅垂约束 系统自由度为1 主动力 AB平动 CD瞬心为P P 设CD的虚转角为 则有 列虚功方程 例题7 8虚位移原理 例题 即 9 5质点系平衡的广义力 1 广义力以广义力表示的系统平衡条件 虚功方程 称为广义坐标对应的广义力 因此 虚功方程可写为 2 广义力的计算 由于各个独立 这组虚位移下系统的虚功为 3 有势力场质点系的平衡问题 设系统的主动力全部为有势力 则系统存在势能V 或选取广义坐标 与相应的广义力 各有势力直角坐标下的投影Fi与势能的关系 则系统的元功 选取直角坐标xi 平衡条件 或 4 有势力场中质点系平衡的稳定性 例如 考虑自重的杆的平衡问题 即对于保守系统 质点系的平衡位形一定出现在势能取驻值 或 的位形处 以下仅讨论单自由度系统 当q在附近时 略去二阶以上小量 注意到 因处于平衡位置 所以 则 在平衡位置处势能取驻值包括以下几种情况 1 取极小值 2 取极大值 3 拐点 4 不变化 q对应的广义力 则 a 当时 有 势能V在处取极小值 广义力Q与广义位移的增量的符号相反 Q可使质点恢复到平衡位置 b 当时 有 势能V在处取极大值 广义力Q与广义位移的增量的符号相同 Q可使质点离开平衡位置 q对应的广义力 c 当时 需考察V V q 更高阶导数 d 当V V q0 const时 广义力为零 随遇平衡 在稳定的平衡位形处 质点系的总势能为最小 称为最小势能原理 三铰刚架受力如图 求C端的约束力 例题8 8虚位移原理 例题 系统的自由度为2 主动力 例题8 8虚位移原理 例题 解 此为静定结构 自由度为0 C端约束力有 去掉C端约束 计算这两个广义坐标相应的广义力Q1和Q2 例题8 8虚位移原理 例题 计算系统的虚功 1 令 此时BC相对于AB静止 整个系统绕A定轴转动 AB不动 BC以B点为基点定轴转动 例题8 8虚位移原理 例题 2 令 系统的虚功为 例题8 8虚位移原理 例题 3 广义力平衡条件 均质杆OA OB以光滑铰链连接 OA杆O端与固定铰支座铰接 两杆长分别为 重分别为 现在B端作用一水平力 试求平衡时角 各为多少 例题9 8虚位移原理 例题 解 系统自由度为2 主动力 1 广义坐标 计算广义力 例题9 8虚位移原理 例题 2 令 相当于OAB为刚体绕O点转动 O为基点 例题9 8虚位移原理 例题 3 令 相当于刚体OA不动 刚体AB绕A点转动 A为基点 例题9 8虚位移原理 例题 4 平衡条件 例题9 8虚位移原理 例题 由 由 例题10 8虚位移原理 例题 取为广义坐标 即BD与铅直轴夹角 拆除弹簧 用弹簧力代替 设AC在水平位置时两弹簧的初压缩量 例题10 8虚位移原理 例题 的零势点取为B 弹簧的零势点取其自然状态 系统的势能 由 0为平衡位置 例题10 8虚位移原理 例题 稳定平衡的条件为 例题10 8虚位移原理 例题 由求导 例题11 8虚位移原理 例题 放在固定半圆柱体上的均质半圆柱和均