偏导数与高阶导数(2).ppt

Chapter2 2 偏导数与高阶偏导数 目的要求 一 理解多元函数的偏导数的概念 二 熟练掌握求一阶和二阶偏导数的方法 重点 一 一阶 二阶偏导数计算 三 熟练掌握偏导数在经济分析中的应用 二 偏导数的经济应用 与一元函数类似 二元函数关于自变量的变 数学上 人们将这种变化率称之为偏导数 第二节偏导数与高阶偏导数 而对另一个自变量求变化率 我们可按实际需要 把其中的一个自变量视为常数 情况下 二元函数的自变量都是彼此无关的 化率仍然是一个十分重要的概念 由于在通常的 所以 繁 啦 烦 多元函数的偏导数是一元函数导数的推广 其计算往往是借用一元函数的导数计算公式和方法 但实际计算往往较繁 在推广中有一些东西将起质的变化 我们通常介绍二元函数的情形 所得结果可以推广到更高元的函数中 一般不会遇到原则性问题 第二节偏导数与高阶偏导数 一 偏导数的定义及其计算 在西方经济学中 柯布 道格拉斯生产函 这里为常数 当劳动力投入不变时 产量对资本投入的变化率为 当资本投入不变时 产量对劳动力投入的变化率 该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下 Q表示产量 别表示投入的劳动力数量和资本数量 分 数为 引例 对另一个变量的变化率 第二节偏导数与高阶偏导数 1 函数的偏改变量 偏增量 及 第二节偏导数与高阶偏导数 第二节偏导数与高阶偏导数 2 函数的全改变量 全增量 或 第二节偏导数与高阶偏导数 2 偏导数概念 设函数z f x y 在点 x0 y0 的某一邻域内有定义 则称此极限值为z f x y 在点 x0 y0 处对x的 记为 一元函数导数 如果极限存在 函数有增量 相应 1 定义 当y固定在y0 而x在x0处有增量 x时 偏导数 第二节偏导数与高阶偏导数 即 类似地 函数z f x y 在点 x0 y0 处对y的偏导数为 也可记为 变量x和y的偏导数均存在 则称函数 在点 可偏导 2 偏导数概念 内可偏导 处均可偏导 与一元函数的情况类似 函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数 2 二元函数的偏导函数 偏导数 分别记作 函数在区域上的偏导数 一般仍称为 第二节偏导数与高阶偏导数 偏导数的概念可以推广到二元以上的多元函数 如函数在处 第二节偏导数与高阶偏导数 注意 全导数 第二节偏导数与高阶偏导数 函数导数的定义进行的 实质上是 2 偏导数的计算 忘记了 请赶快复习一下 如果一元函数的求导方法和公式 2 偏导数的计算 多元函数的偏导数的计算方法 没有任何技术性的新东西 求偏导数时 只要将n个自变量 中的某一个看成变量 自变量均视为常数 的求导方法进行计算即可 方法 其余的n 1个 然后按一元函数 2 偏导数的计算 将y看成常数时 将x看成常数时 解 是对幂函数求导 是对指数函数求导 例1求函数的偏导数 2 偏导数的计算 例2求函数的偏导数 例2求函数的偏导数 解 2 偏导数的计算 例3求函数在点 1 3 处对x和y的偏导数 例3求函数在点 1 3 处对x和y的偏导数 解 将点 1 3 代入上式 得 可得 所以 在求定点处的导数时 先代入固定变量取值 然后再求导 可简化求导计算 2 偏导数的计算 或 例4设 求 解 所以 二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算 例求函数的偏导数 对x求偏导数就是视y z为常数 对x求导数 同理 因为 解 2 偏导数的计算 例5 解 求分界点 不连续点处的偏导数要用定义求 由偏导数定义可知 故 2 偏导数的计算 小结 二 多元函数的偏导数的概念与计算 一 多元函数的连续性 Chapter2 3 2 4 一 偏导数与高阶偏导数二 全微分 P523 确定并画出下列函数的定义域 解 函数的定义域为 要使函数有意义须满足 作业讲评 Solution 所求定义域为 作业讲评 Solution P581 求下列极限 由夹逼准则 即 P59 4 讨论下列函数的连续性 解 Chapter2 3 2 4 一 偏导数与高阶偏导数二 全微分 复习 二 多元函数的偏导数的概念与计算 一 多元函数的连续性 二元初等函数在其定义区域内处处连续 3 二元函数偏导数的几何意义 当y y0时 曲面z f x y 与平面y y0的交线方程为 在点M0 x0 y0 z0 处 由一元函数导数的几何意义知 fx x0 y0 几何意义是 对x轴的切线斜率 同理 二元函数z f x y 的图形表示空间一张曲面 曲线 即 fx x0 y0 第二节偏导数与高阶偏导数 4 偏导数与连续的关系 对于二元函数偏导数与连续的关系如何 连续 解 一元函数可导与连续的关系 可导 由偏导数定义 例 第二节偏导数与高阶偏导数 所以 函数在 0 0 处对变量x y的偏导数存在 让沿直线而趋于 0 0 它将随k的不同而具有不同的值 结论 二元函数偏导数存在 但未必连续 则有 所以函数在 0 0 处不连续 不存在 因此极限 求分界点 不连续点处的偏导数要用定义求 4 偏导数与连续的关系 例说明二元函数 在点 0 0 处是连续的 但在 0 0 点偏导数不存在 解 所以 函数在点处 0 0 连续 又因为 极限不存在 因为 所以偏导数不存在 结论 二元函数连续 但偏导数未必存在 4 偏导数与连续的关系 偏导数存在连续 一元函数中在某点可导连续 可见 多元函数的理论除了与一元函数的理论有许多类似之处 也是还有一些本质的差别 二 高阶偏导数 设函数z f x y 在区域D内有偏导函数与 有下列四个二阶偏导数 按求导顺序不同 偏导数 则称其偏导数为二阶 且其偏导数仍存在 一个多元函数的n 1阶偏导数的偏导数 例1求的二阶偏导数 解 高阶偏导数的求导原则是逐阶求导 二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数 同样可定义三阶 四阶以至n阶偏导数 n阶偏导数 称为原来函数的 1 先求一阶偏导数 2 再求二阶偏导数 称为一阶偏导数 低阶偏导数 二 高阶偏导数 解 二 高阶偏导数 原函数图形 偏导函数图形 偏导函数图形 二阶混合偏导函数图形 观察上例中原函数 偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系 二 高阶偏导数 解 例3求的二阶混合偏导数 此例中两个二阶混合偏导数相等 如果函数z f x y 在开区域D上二阶混合偏导数连续 在什么条件下两个混合偏导数相等 两个混合偏导数也未必一定相等 数运算的次序不同 但是由于求偏导 定理 则在该区域上任一点处必有 即 二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关 这给混合偏导数的计算带来了方便 二 高阶偏导数 问题 混合偏导数都相等吗 解 问题 混合偏导数都相等吗 显然 Solution 例5 二 高阶偏导数 Proof 例6 二 高阶偏导数 证明 这是因为连续只保证当点 x y 以任意方式趋于点 x0 y0 时 二元函数连续与偏导数之间关系 x0 y0 点时 变化率存在 但不能保证点 x y 函数f x y 趋于f x0 y0