高考专题复习之三角函数.doc

专题复习（三角函数）三角函数一、高考考向分析三角函数是中学教材中一种重要的函数，它的定义和性质有很多独特的表现，是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一。2009年江苏高考中三角函数为一大一小两个考查题，所占分值19分，从2009年全国各地考卷看，三角必考大题，位置均在前三，属容易题。也就是说，在高考中，三角函数题要拿到全分。从考查的内容看主要分四类：1.与三角函数的性质（如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性）有关的问题；2.与三角函数的图像有关的问题；3.应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；4.解三角形或实际应用问题。二、具体复习建议（一）立足课本、对照考纲、把握基础建议同学们在复习中一定要把握好教材，对教材中的基本概念和公式要求准确理解记忆，并能熟练解决课本习题，规范解题的思路和书写过程。（二）强化目标意识、简缩思维过程（三）加强运算能力、规范解题过程1.深刻理解三角函数的定义（1）三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量间的映射。三角函数的坐标定义是研究三角函数的基础。如三角函数的符号、同角公式的推导、三角函数的图象都是与定义或其几何意义紧密联系的。复习中要注意加强理解知识间的内在联系。BAxyO例（2008江苏） 如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于两点已知两点的横坐标分别是，（1）求的值；（2）求的值分析：由三角函数的定义，结合已知条件得，第（1）问求的值，运用正切的和角公式；第（2）问求的值，先求出的值，再根据范围确定角的值。（2）务必重视三角函数线的作用。它揭示了三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系：“正弦”即“纵坐标”、“余弦”即“横坐标”、“正切”即“纵坐标除以横坐标之商”。 如利用单位圆比较三角函数值，求解三角函数的定义域等。2.灵活使用三角变换公式（1） 明确每个公式的作用、正确应用公式同角三角函数关系式揭示的是角的不同三角函数值之间的关系。要注意公式的正确使用，在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.诱导公式的本质是揭示（kZ)与角之间的三角函数关系。求任意角的三角函数值时，可以利用诱导公式达到“负角正化，大角小化，钝角锐化”的化简目的。正确使用诱导公式的关键是公式中符号和名称的确定如sin(k+)=(-1)ksin；cos(k+)=(-1)kcos(kZ)两角和与差的三角函数公式的本质是揭示同名不同角的三角函数的运算规律，常用于解决求值、化简和证明题.公式使用过程中要注意观察差异，寻找联系，实现转化，要熟悉公式的正用、逆用和变形使用，要注意公式成立的条件.二倍角公式的本质是揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律。要明确“倍角”的相对性，如是的二倍角，是的二倍角。（2）增强目标意识，利用解题目标进行思维导向三角函数公式多，变换的形式和方法多，如何确定正确的变形方法和方向是解题的关键。重视异化同的思想进行思路分析和探索，寻找题目中条件与目标、各个部分在结构、函数名称、角的形式、次数等方面的差异，然后探寻消除差异的途径，实现结构同化。利用角之间的倍半和差等关系进行变角，将条件角化为目标角、将目标角用条件角表示、降次与升次、切化弦、常值代换等，都是这种思想方法的体现。例1.已知已知锐角, 满足 , 则_ .2.已知则_ .3.求证.（三）熟练掌握三角函数的性质、图象1. 三角函数的定义域（1）定义域是研究其它一切性质的前提。（2）求定义域实质上是解简单的三角不等式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域。可用三角函数图象或三角函数线解不等式（组）。2. 三角函数的值域求三角函数的值域是常见题型.一类是型，这要变形成；一类是含有三角函数的复合函数，如，可利用换元、配方等方法转换成一元二次函数或二次分式函数等。3.三角函数的单调性（1）单调性的确定，基本方法是将看作整体，如求增区间可由解出的范围。若的系数为负数，通常先通过诱导公式处理。（2）利用单调性比较函数值的大小，往往先利用对称性或周期性转化成同一单调区间上的两个同名函数。重视三角函数性质的灵活应用。如有界性：求函数的值域，可以这样处理：由得，故存在角，使得，即，因为，所以，解得。再如周期性的应用：已知，求。可以先研究的周期性：周期是4，故共有25个周期，而每个周期的和，所以。（4）三角函数的图象用“五点法”作图时，将看作整体，取，来求相应的值及对应的值，再描点作图.+中，及对正弦曲线的图象变换是对自变量而言的. 如：向右平移个单位，应得，而不是。重视函数图象在解题中的应用，如的图象的对称轴、对称中心问题，又如运用三角函数图象研究给定区间上的三角函数的值域等。另一方面，图象上的特征点对确定函数图象的位置、性态的影响，在研究函数图象、性质时是很值得重视的。4.关注三角形中的三角变换（1）三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点（2009湖南）在锐角中，则的取值范围为 . 解析: 设由正弦定理得由锐角得，又，故，（2）解斜三角形的主要依据是：设ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C（1）角与角关系：，结合诱导公式可减少角的个数. 如sin(A+B)=sinC；tan(A+B)=-tanC；（2）边与边关系：a + b c，b + c a， a+ c b（3）边与角关系：正弦定理: （指ABC外接圆的半径）余弦定理: a2b2c22bccosA，b2c2a22cacosB，c2a2b22abcosC（2009全国）在中，内角A、B、C的对边长分别为、，已知，且 求 b 。解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,。所以又，即由正弦定理得，故由，解得。练习1（2010年高考福建卷文科2）计算的结果等于( )A. B. C. D.2（2010年高考上海卷文科16）“”是“”成立的 （ ）（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.（C）充分条件. （D）既不充分也不必要条件.3（2010年高考辽宁卷文科6）设,函数的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是（A） （B） （C） （D） 34（2010年高考陕西卷文科3）函数f (x)=2sinxcosx是(A)最小正周期为2的奇函数（B）最小正周期为2的偶函数(C)最小正周期为的奇函数（D）最小正周期为的偶函数5（2010年高考湖北卷文科2）函数f(x)= 的最小正周期为A. B.xC.2D.46（ 2010年高考全国卷文科1）(A) (B)- (C) (D) 7（2010年高考广东卷文科13）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sinA= . w_w w. k#s5_u.c o*m8. (2010年高考浙江卷文科18)（本题满分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为ABC的面积，满足。（）求角C的大小；（）求的最大值。9（2010年高考湖南卷文科16）（本小题满分12分）已知函数（I）求函数的最小正周期。(II) 求函数的最大值及取最大值时x的集合。11、（2010陕西）在ABC中，已知B=45，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长10、（2010浙江）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=14（I）求sinC的值；（）当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长答案1-6 BACCDC78 ()解：由题意可知absinC=,2abcosC.所以tanC=.因为0C，所以C=.（)解：由已知sinA+sinB=sinA+sin(-C-A)=sinA+sin(-A)=sinA+cosA+sinA=sin(A+).当ABC为正三角形时取等号，所以sinA+sinB的最大值是.910解：（）解：因为cos2C=12sin2C=14，及0C 所以 sinC=104（）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理asinA=csinC，得：c=4由cos2C=2cos2C1=14，及0C 得cosC=64由余弦定理 c2=a2+b22abcosC，得b26b12=0解得b=6或26所