2014希望杯五年级1-2试 参考答案.doc

1第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第1试试题1.201403165，余数是.【考点】数论，整除特征【答案】1【分析】5的整除特征是看个位除以5的余数即可.6除以5余1，故原数除以5也余1.2.用1、5、7组成各位数字不同的三位数，其中最小的质数是2.【考点】数论，质数判别，最值【答案】157【分析】首先考虑百位为1；多位数质数的个位不可能为5，故若1在百位，则5只能在十位，进而7在个位.检验157是否为质数：157不是2、3、5、7、11的倍数，故157是质数.3.10个2014相乘，积的末位数是3.【考点】数论，余数性质【答案】6【分析】末尾即为此数除以10的余数.根据余数的可乘方性，101025520144(4)66(mod10)，4.有一列数：1、2、2、3、3、3、4、4、4、4、每个数n都写了n次.当写到20的时候，数字1出现了.【考点】计算，数列，页码问题变型【答案】157【分析】出现过1的数有：1（1个）、10（10个）、11（21122=个）、12（12个）、13（13个）、19（19个），共有11011212131912(1011121319)157+=+=LLLL.5.一个小数，若去掉小数点，则得到的整数与原小数的和是201.3，那么这个小数是.【考点】数论，位值原理【答案】18.3【分析】和是201.3，说明原小数的小数部分必定为0.3.故当去掉小数点时，此数扩大到了原来的10倍；再加上自身，得到的和应为原来的11倍，故此数原来是201.31118.3=.6.已知三位数abc与cba的差198abccba-=，则abc最大是.【考点】数论，位值原理，最值【答案】997【分析】用位值原理将条件式按数位拆开：(10010)(10010)9999198abccbaac+-+=-=，故2ac-=.要abc最大，则要a最大，令9a=，则7c=.b没有限制，故令9b=.abc最大是997.7.若将20表示成若干个互不相同的奇数的和，那么，不同的表示方法有种.（加数相同，相加的次序不同，算作同一种表示方法.如119+与191+算作同一种表示方法.）【考点】计数，整数分拆，奇偶性【答案】7【分析】20是偶数，故只能分拆成偶数个奇数的和，但6个不同的奇数相加至少是135791136+=，故知20最多只能分拆成4个不同的奇数相加.字典排列法：20119317515713911=+=+=+=+=+135111379=+=+.共7种.8.A、B两家面包店销售同样的面包，售价相同.某天，A面包店的面包售价打八折，A面包店这天的营业额是B面包店营业额的1.2倍，则A面包店售出的面包数量是B面包店的倍.【考点】应用题，经济问题【答案】1.5【分析】售价数量营业额B：111=；A：0.8?1.2=.故知答案是1.20.81.5=倍.9.甲桶内有水4升，乙桶内有水13升，向两个桶内加入同样多的水后，乙桶内的水是甲桶内的水的3倍（水不溢出），那么，向每个桶内加入的水是升.【考点】应用题，列方程解应用题【答案】0.5（或可写作12）【分析】设每个桶内加入的水是x升，则有方程133(4)xx+=+，解得0.5x=.10.一只蚂蚁从墙根竖直向上爬到墙头用了4分钟，从墙头沿原路返回到出发点用了3分钟.若蚂蚁第二分钟比第一分钟多爬1分米，第三分钟比第二分钟多爬1分米，整个过程中，每分钟爬过的路程都比前一分钟多爬1分米，则墙高米.【考点】应用题，列方程解应用题，等差数列【答案】4.2【分析】设第一分钟爬了x分米，则有方程(1)(2)(3)(4)(5)(6)xxxxxxx+=+，即46315xx+=+，解得9x=，故墙高910111242+=分米，即4.2米.11.如图，五边形ABCDE内有一点O，O点到五条边的垂线段的长都是4厘米，五边形的周长是30厘米，则五边形ABCDE的面积是平方厘米.44444EDCBAO【考点】几何，图形分割，三角形面积公式 3【答案】60【分析】连接OA、OB、OC、OD、OE，则ABCDEOABOBCOCDODEOEASSSSSS=+4242424242ABBCCDDEEA=+()42ABBCCDDEEA=+3042=60=（平方厘米）12.一天，小华去一栋居民楼做社会调查，这栋楼有15层，每层有35个窗户，每两户人家有5个窗户.若每户人家需要一份调查表，则小华至少应带调查表份.【考点】应用题【答案】210【分析】每层有355214=户人家，故共有1415210=户人家.13.如图，一个四边形花园的四条边长分别是63米、70米、84米、98米，规定：在花园的四角和边上种树，相邻两棵树的间距是相等的整数（单位：米），则至少植树棵.84米70米63米98米【考点】数论，最大公因数，间隔问题【答案】45【分析】由于是首尾相连的图形，故树的棵数与间隔数相等，而(63,70,84,98)7=，故相邻两棵树的最大间距是7.总间隔数最少是(63708498)7910121445+=+=个，即至少植树45棵.14.小红和小亮玩“石头剪刀布”的游戏，约定：在每个回合中，如果赢了就得3分，输了就扣2分，每个回合都分出胜负.游戏开始前，两人各有20分，玩了10个回合后，小红的得分是40分，则小红赢了个回合.【考点】应用题，鸡兔同笼型问题【答案】8【分析】方法一（算术）：如果小红全输，最终应得202100-=分，与实际得分相差40分；一个回合之内，赢比输多得325+=分，故知小红赢了4058=个回合.方法二（代数）：设小红赢了x个回合，则小红输了(10)x-个回合，故有方程2032(10)40xx+-=，解得8x=.15.如图，线段AB和CD垂直且相等，点E、F、G是线段AB的四等分点，点E、H是线段CD的三等分点，从A、B、C、D、E、F、G、H这8个点中任选3个作为顶点构成三角形，其中，面积与CFE面积相等的三角形（不包括CFE）有个. 4HGFEDCBA【考点】组合，几何，计数【答案】10【分析】设3AEEFFGGB=，则4CHHEED=.则283CEFSCEEF=，同样为83型的三角形还有CEA、HDF、HDA；但246CEFS=，46型的三角形有CHG、HAF、HEG、HFB、DAF、DEG、DFB.共有10个.16.一个长方体的长、宽、高都是两位数（其中长的值最大），并且它们的和是偶数.若这个长方体的体积是2772、2380、3261、4125这四个数中的一个，则这个长方体的长是.【考点】数论，奇偶性，分解质因数【答案】21【分析】长、宽、高不可能都是奇数，否则和不可能是偶数.所以这三个数中必有偶数，乘积必为偶数，故体积只可能是2772和2380这两个数中的一个.但2238025717=，故知2380分拆成三个两位数相乘只有一种拆法：2380101417=，但此时长、宽、高的和不是偶数，所以体积是2772.22277223711=，分拆成三个两位数相乘有两种拆法：111418（舍，和不是偶数）或111221，故知长为21.17.如图，用35个棱长为1的小正方体堆成一个大的几何体，这个几何体的表面积（含底面积）是.【考点】立体几何，三视图法求表面积【答案】90【分析】三视图法：()2=+堆叠体表面积正视图面积俯视图面积侧视图面积凹槽数(1415160)2=+90=18.若115、200、268被某个大于1的自然数除，得到的余数都相同，那么，用2014除以这个自然数，得到的余数是.【考点】数论，同余定理【答案】8【分析】设这个自然数为x，则(200115)x-，且(268200)x-，即85x且68x，故知x是85和68的公因数.(85,68)17=，故17x.又x是大于1的自然数，故17x=.2014171188=LL. 519.一辆汽车从甲地开往乙地，若每小时行45千米，则将比原计划迟到1小时；若每小时行60千米，则将比原计划早到1小时.那么，甲、乙两地的距离是千米.【考点】行程问题，列方程解行程【答案】360【分析】设原计划用时为x小时，以两地全长为等量关系列方程：45(1)60(1)xx+=-，解得7x=.故两地全长为45(71)360+=千米.20.若算式11(10001001100220132014)(111111)mLLLL144424443个的得数是整数，则m的值最大是.【考点】数论，质因数分解【答案】102【分析】2014！中11的数量：201411183=，1831116=，16111=，共183161200+=个；999！中11的数量：9991190=，90118=，共90898+=个；则2014!999!100010012014=LL中11的数量为20098102-=个2014年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2试详细解答一、填空题（每题5分，共60分。）1.能被2，3，7整除的最小的三位数是_。【答案】126【考点】因数与倍数【解析】找2,3,7的最小公倍数是237=42，最小的三位数42的3倍是126。2.在1-100的自然数中，数字和是5的倍数的数有_个。【答案】19【考点】计数之枚举法【解析】数字之和是5的有：5,50,14,41,23,32数字之和是10的有：19,91,28,82,37,73,46,64,55数字之和是15的有：69,96,78,87共有19个。3.如图1，有10克、25克、50克的砝码各一个，若在天平上只称量一次，则可以称出的重量有_种。【答案】10【考点】计数之枚举法【解析】单独放的：10,25,50和的有：35,60,75,85差的有：15,40，65共有10种。4.如图2，将黑、白两种小球从上到下逐层排列，每层都是从左到右逐个地排。当白球第一次比黑球多2013个时，恰好排完第_层的第_个。【答案】2014层的4026个【考点】计算之等差数列找规律【解析】观察规律是每两层，白球比黑球多2个20132=10061 小学五年级全科目课件教案习题汇总 语文 数学 英语 210062=2012，则前2012层，白球比黑球多2012个下一层2013层为全黑，共有20132-1=4025个小球2014层为白，要想比2013层多1个球，则为第4026个小球。因此是2014层的第2046个。5.有10个连续的偶数，其中最大的偶数是最小的偶数的4倍。在这10个偶数中，最小的是_。【答案】6【考点】数论之奇数与偶数【解析】最大偶数是最小偶数的4倍，则把最小偶数看成2,4,6，来试数，当最小偶数是6时，最大偶数24，这时刚好有10个连续的偶数。所以答案是6。6.小明的故事书的本数是小红的7倍，寒暇中，他们买了同样多的故事书。这时，小明的故事书的本数是小红的6倍；暑假中，他们又买了同样多的故事书，这时，小明的故事书的本数是小红的5倍。那么，最初小明和小红的故事书至少共有_本。【答案】80本【考点】不变量【解析】差不变列表得：小明小红差（不变，统一份数）7（70）1（10）6（60）6（72）1（12）5（60）5（75）1（15）4（60）从表格中能够看出，小明最初至少有70本书，小红至少有10本数，他们至少共有80本书。7.如图3.长方形ABCD由35个边长为1的小正方形拼成，线段MN过点P(P是其中一个小正方形的顶点)，两端分别在AB、DC上，它将长方形ABCD分为左、右两部分，则右边部分的面积最大是_。【答案】8.25【考点】比与几何【解析】让线段MN绕P点旋转，并将P点最上方和最下方的点分别标记为E、F，当MN和EF重合时右边面积为6；显然当线段顺时钟旋转时右面部分的面积会增大，在上面形成EMP，在下面形成NFP，显然EMP和NFP相似，高的比为1：2，底边的比也是1：2，所以面积比为1：4，当它们面积增大时，差也随着增大，则右半部分也增大；EMP最大时M点和B点重合，此时EB长度为2，则对应的FN长度为4，会超出长方形DC边，不符题意；NFP最大时N与D重合，此时对应的EM长度为1.5，没有超出AB，则EMP面积为1.512=0.75，NFP的面积为322=3,3-0.75=2.25。则右部分增加了2.25，所以右部分最大为6+2.25=8.25。8.小马在计算18个数的平均数时，误认为其中一个整数的个位和十位之间有小数点，得到的平均数比正确结果小7.8，那么，这个被看错的数原来是_。【答案】156【考点】应用题之平均数 3【解析】其他数字均无误，被误看的数字在计算中缩小了10倍，在平均数中应当计算该数字的十八分之一，错误计算中取了它的一百八十分之一，所以结果小了7.8，所以原数为7.8（）=156。9.如图4，有边长都是2的红、黄、蓝三张透明的正方形塑料片。先将红色塑料片平放于桌面，再放上黄色嫩料片，重叠部分是一个边长是1的橙色正方形；然后又放上蓝色塑料片，它和橙色正方形的重叠部分是一个边长是0.5的黑色正方形。此时，三张塑料片在桌面上覆盖的面积是_。【答案】9.75【考点】容斥原理【解析】三张塑料片的面积和是：223=12，重叠一次部分面积为：10.53+0.50.5=1.75，重叠两次部分（即黑色区域）面积为0.50.5=0.25，整个覆盖区域为：121.750.252=9.75。10.有9个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是2,3,4，9,10。将这些正方体都锯成棱长是1的小正方体，在得到的小正方体中，至少有一个面是红色的有_个。【答案】1728【考点】立体图形染色【解析】至少有一个面染色的包括一个面的染色的、两个面染色的、三个面染色的三种情况，分类求相对麻烦，本题求其对立面，即无色的正方体个数，再用总数去减。11.有20枚2分硬币，15枚5分硬币，用这些硬币组成多于0元，不超过0.5元的币值，不同的币值有_种。【答案】48【考点】计数排除法【解析】此题用排除法，可以这样来想，如果用2和5来组合出1-50这50个自然数，只有1和3取不到，所以，其余48种情况都是符合题意的。（下面说明除了1和3外，其他情况都能取到。首先偶数和个位为5的都能取到，个位为1的可以通过取3个2和1个5得到，个位为3的可以通过取4个2和1个5得到，同理，个位和7和9的也都能取到。）12.图5中有6个圆圈，每个圆圈内各有一个数。若在同一条直线上的三个圆圈，中间圆圈内的数是它两侧圆圈内的数的平均数，则x=_。【答案】13 4【考点】巧填数字【解析】根据图形的对称性和等量关系，可知x=y=(11+15)2=13.二、解答题(每题15分，共60分。)每题都要写出推算过程。13.如图6，在一个圆周上有3个1，进行如下操作：在相邻的两个数之间写上它们的和，如：第1次操作后，圆周上有6个数：1，2，1，2，1，2。如此操作3次。问：（1）此时圆周上有多少个数？（2）此时圆周上的所有数的和是多少？【答案】（1）24个；（2）81【考点】操作题【解析】（1）进行每次操作之后，新出现的数字的个数与操作前数字个数相同。进行第一次操作之后，圆周上有3+3=6个数字；进行第二次操作之后，圆周上有6+6=12个数字；进行第三次操作之后，圆周上有12+12=24个数字。（2）进行每次操作之后，新出现的数字是原先相邻的两个数字之和，原来的每个数字都被加了两次，从而发现新增加的数字之和是原先数字之和的2倍，则每进行一次操作之后圆周上面的数字之和都为操作前数字之和的3倍。进行第一次操作之后，圆周上的所有数字之和：33=9；进行第二次操作之后，圆周上的所有数字之和：93=27；进行第三次操作之后，圆周上的所有数字之和：273=81。14.甲、乙、丙三人同时、同向、从同一地点出发，沿周长是360米的环形路行走，甲每分钟走30米，乙每分钟走50米，丙每分钟走90米。（1）出发几分钟后，甲、丙第一次同时回到出发点?（2）出发几分钟后，三人第一次同时回到出发点?（3）出发几分钟后，三人第一次同时到达同一地点?【答案】（1）12分钟；（2）36分钟；（3）18分钟【考点】因数与倍数【解析】（1）由题意，可知：甲走一圈，所用时间为：36030=12（分钟）；丙走一圈，所用时间为：36090=4（分钟）。根据因数倍数知识，可得：12与4的最小公倍数为12，则出发12分钟时后，甲、丙第一次同时回到出发点。（2）乙走一圈，所用时间为：36050=7.2（分钟）。被除数分别除以12、7.2、4，所得到的商均为大于0的整数，这个被除数的最小值为36，则出发36分钟后，三人第一次同时回到出发点。（3）设出发x分钟后，三人第一次同时到达同一地点，则甲走了30x米，乙走了50x米，丙走了90x米。由于三人同时到达同一地点，则三人所走的路程除以环形路一圈的长度360米所得的余数相同。根据同余的性质，可得出：360|（50x-30x）；360|（90x-50x）；360|（90x-30x）。从而推出，18|x；9|x；6|x，即x为18、9、6的最小公倍数18。出发18分钟后，三人第一次同时到达同一地点。15.甲、乙两支篮球队进行比赛，赛前两队的积分都不到25分。本场比赛的胜者将加分，负者则减同样的分。若甲队胜，则甲队的积分是乙队的3倍；若乙队胜.则甲队的积分是乙队的2倍。那么，赛前甲队、乙队的积分各是多少分?(注:两队赛前、赛后的积分 5都是整数。)【答案】甲、乙两队的积分分别是17分和7分【考点】体育比赛【解析】根据题意，两队积分都不到25分，胜者加分，负者减同样的分，可得出两只篮球队的积分之和是不变的并且积分之和小于50分。甲队获胜，甲积分是乙积分