普通高等学校招生全国统一考试数学文（辽宁卷解析版）.doc

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学文（辽宁卷，解析版）一、 选择题：本大题12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合mx|3x5,nx|x5或x5，则mn(a) x|x5或x3 (b) x|5x5(c) x|3x5 (d) x|x3或x5【解析】直接利用并集性质求解,或者画出数轴求解.【答案】a（2）已知复数，那么（a） （b） （c） （d）【解析】【答案】c(3)已知为等差数列，且21, 0,则公差d（a）2 （b） （c） （d）2【解析】a72a4a34d2(a3d)2d1 d【答案】b（4）平面向量a与b的夹角为，a(2,0), | b |1，则 | a2b |（a） （b）2 （c）4 （d）12【解析】由已知|a|2,|a2b|2a24ab4b24421cos60412 【答案】b（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为（a）0.8 （b）0.75 （c）0.5 （d）0.25【解析】设地球半径为r,则北纬纬线圆的半径为rcos60r 而圆周长之比等于半径之比,故北纬纬线长和赤道长的比值为0.5.【答案】c(6) 已知函数满足：x4,则；当x4时，则（a） （b） （c） （d）【解析】32log234,所以f(2log23)f(3log23) 且3log234 f(3log23) 【答案】a(7) 已知圆c与直线xy0 及xy40都相切，圆心在直线xy0上，则圆c 的方程为（a） (b) (c) (d) 【解析】圆心在xy0上,排除c、d,再结合图象,或者验证a、b中圆心到两直线的距离等于半径即可.【答案】b（8）已知，则（a） （b） （c） （d）【解析】 【答案】d（9）abcd为长方形，ab2，bc1，o为ab的中点，在长方形abcd内随机取一点，取到的点到o的距离大于1的概率为（a） （b） （c） （d） 【解析】长方形面积为2,以o为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为 因此取到的点到o的距离小于1的概率为2 取到的点到o的距离大于1的概率为【答案】b(10）某店一个月的收入和支出总共记录了 n个数据，。，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用右边的程序框图计算月总收入s和月净盈利v，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（a）a0,vst (b) a0,vst (c) a0, vst（d）a0, vst【解析】月总收入为s,因此a0时归入s,判断框内填a0 支出t为负数,因此月盈利vst【答案】c（11）下列4个命题 1/2x1/3x1/2x 1/3x其中的真命题是（a） （ b） （c） （d）【解析】取x,则1/2x1,1/3xlog321,p2正确 当x(0,)时,()x1,而1/3x1.p4正确【答案】d（12）已知偶函数在区间单调增加，则满足的x 取值范围是（a）（，） (b) ，） (c)（，） (d) ，）【解析】由于f(x)是偶函数,故f(x)f(|x|) 得f(|2x1|)f(),再根据f(x)的单调性 得|2x1| 解得x【答案】a2009年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（文科类）第ii卷二填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）在平面直角坐标系xoy中，四边形abcd的边abdc,adbc,已知点a(2，0)，b（6，8），c(8,6),则d点的坐标为_.【解析】平行四边形abcd中, (2,0)(8,6)(6,8)(0,2) 即d点坐标为(0,2)【答案】（0，2）（14）已知函数的图象如图所示， 则 【解析】由图象可得最小正周期为 t 【答案】（15）若函数在处取极值，则 【解析】f(x) f(1)0 a3【答案】3（16）设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。 则该几何体的体积为 【解析】这是一个三棱锥,高为2,底面三角形一边为4,这边上的高为3, 体积等于2434【答案】4三解答题：本大题共6小题，共70分。解答应用写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分10分）等比数列的前n 项和为，已知,成等差数列 （1）求的公比q； （2）求3，求 （17）解： （）依题意有 由于 ，故 又，从而 5分 （）由已知可得 故 从而 10分（18）（本小题满分12分）如图，a,b,c,d都在同一个与水平面垂直的平面内，b，d为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为，于水面c处测得b点和d点的仰角均为，ac0.1km。试探究图中b，d间距离与另外哪两点距离相等，然后求b，d的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） （18）解： 在中，30，6030， 所以cdac0.1 又180606060， 故cb是底边ad的中垂线，所以bdba 5分 在中， 即ab 因此， 故b、d的距离约为0.33km。 12分（19）（本小题满分12分）如图，已知两个正方形abcd 和dcef不在同一平面内，m，n分别为ab，df的中点。（i）若cd2，平面abcd 平面dcef，求直线mn的长；（ii）用反证法证明：直线me 与 bn 是两条异面直线。 （19）解 （）取cd的中点g连结mg，ng. 因为abcd，dcef为正方形，且边长为2， 所以mgcd，mg2，. 因为平面abcd平面dcef， 所以mg平面dcef，可得mgng. 所以 6分（）假设直线me与bn共面， .8分则平面mben，且平面mben与平面dcef交于en，由已知，两正方形不共面，故平面dcef.又abcd，所以ab平面dcef.而en为平面mben与平面dcef的交线，所以aben.又abcdef,所以enef，这与矛盾，故假设不成立。 所以me与bn不共面，它们是异面直线。 .12分（20）（本小题满分12分） 某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表： 甲厂（1） 试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；（2） 由于以上统计数据填下面列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。甲 厂 乙 厂 合计优质品 非优质品 合计附： （20）解：（）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为；6分乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为（） 甲厂乙厂合计优质品360320680非优质品140180320合计5005001000 8分 所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。12分（21）（本小题满分12分）设，且曲线yf（x）在x1处的切线与x轴平行。（i） 求a的值，并讨论f（x）的单调性；（ii） 证明：当 （21）解： （）.有条件知， ，故. 2分 于是. 故当时，0； 当时，0. 从而在，单调减少，在单调增加. 6分 （）由（）知在单调增加，故在的最大值为，最小值为. 从而对任意，有. 10分 而当时，. 从而 12分（22）（本小题满分12分）已知，椭圆c以过点a（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）。（1） 求椭圆c的方程；（2） e,f是椭圆c上的两个动点，如果直线ae的斜率与af的斜率互为相反数，证明直线ef的斜率为定值，并求出这个定值。