高中数学 3章末同步练习 新人教B版选修21.doc

3章末一、选择题1四棱锥pabcd中，底面abcd是平行四边形，(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)，则pa与底面abcd的关系是()a相交b垂直c不垂直 d成60角答案b解析0，0，平面abcd.2在正三棱柱abca1b1c1中，若abbb1，则ab1与c1b所成的角为()a60b90c105d75答案b解析如图，建立空间直角坐标系oxyz，设高为h，则abh，可得a，b，b1，c1，这样(0，h，h)，由空间向量的夹角公式即可得到结果3在正三棱柱abca1b1c1中，已知ab1，d在bb1棱上，且bd1.若ad与平面aa1c1c所成角为，则等于()a. b.carcsin darcsin答案d解析建立如图所示的直角坐标系，则a(，0,0)，b(0，0)，d(0，1)ob平面aa1c1c，平面aa1c1c的法向量为(0，0)，又(，1)，|，|，由向量夹角公式知cos，sinsin(，)cos，.arcsin.4如图所示，平行六面体abcda1b1c1d1中，以顶点a为端点的三条棱，两两夹角都为60，且ab2，ad1，aa13，m、n分别为bb1、b1c1的中点，则mn与ac所成角的余弦值为()a.b.c.d.答案b解析如图，本题考查异面直线所成的角易知d1ac即为所求，即为向量与所成的角设a，b，c，则由条件知|a|2，|b|1，|c|3，bc211，ac233，bc13.bc，ab，|21232213，|22212217.，cos，.故选b.二、解答题5如图所示，已知四棱锥pabcd的底面为直角梯形，abdc，dab90，pa底面abcd，且paaddcab1，m是pb的中点(1)证明：面pad面pcd；(2)求ac与pb所成角的余弦值；(3)求面amc与面bmc所成二面角的余弦值解析因为paad，paab，adab，以a为坐标原点，ad长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为a(0,0,0)、b(0,2,0)、c(1,1,0)、d(1,0,0)、p(0,0,1)、m.(1)证明：(0,0,1)，(0,1,0)，故0，apdc.又由题设知：addc，且ap与ad是平面pad内的两条相交直线，由此得dc面pad.又dc在面pcd上，故面pad面pcd.(2)解：(1,1,0)，(0,2，1)，|，2，cos，.由此得ac与pb所成角的余弦值为.(3)解：在mc上取一点n(x，y，z)，则存在r，使，(1x,1y，z)，x1，y1，z.要使anmc，只需0，即xz0，解得.可知当时，n点坐标为，能使0.此时，有0.由0，0，得anmc，bnmc.anb为所求二面角的平面角|，|.cos，.故所求的二面角的余弦值为.6已知正方体abcda1b1c1d1，求证：(1)ad1平面bdc1；(2)a1c平面bdc1.证明以d为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系dxyz.设正方体的棱长为1，则有d(0,0,0)，a(1,0,0)，d1(0,0,1)，a1(1,0,1)，c(0,1,0)，b(1,1,0)，c1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1，1)设n(x，y，z)为平面bdc1的法向量，则n，n.所以，所以.令x1，则n(1，1,1)(1)n(1，1,1)(1,0,