一次函数、反比例函数与平面几何的综合题.doc

一次函数、反比例函数与平面几何的综合题1.已知反比例函数y=和一次函数y=2x1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两点。（1）求反比例函数的解析式（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求A点的坐标。（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。解：（1）依题可得得k2所以K等于二反比例函数解析式为y（2）由得经检验都是原方程组的解A点在第一象限；A点坐标为（1，1）（3）OA，OA与x轴所夹锐角为45当OA为腰时，由OAOP，得P1（，0），P2（，0）；由OAOP，得P3（2，0）当OA为底时，得P4（1，0）这样的点有4个，分另是（，0），（，0），（2，0），（1，0）2如图，直线AB过点A（3m，0）、B（0，n）（m0，n0），反比例函数的图像与直线AB交于C、D两点，P为双曲线上任意一点，过P点作PQx轴于Q，PRy轴于R（1）用含m、n的代数式表示AOB的面积S；（2）若mn10，n为何值时S最大？并求出这个最大值；（3）若BDDCCA，求出C、D两点的坐标；（4）在（3）的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为时，矩形PROQ的面积是多少？解：（1）S（2）由mn10，得m10n代入（1），当时，S最大（3）过C、D作x轴的垂线，垂足分别为E、F由BDCDCA，根据平行线等分线段定理得OEEFFA又OA3m，OE2m，OFm可设C、D两点坐标分别为C（2m，y1），D（m，y2）又C、D在反比例函数的图像上，C（2m，），D（m，1）（4）设过O、D、C三点的抛物线的解析式为，将O、D、C三点坐标代入解析式得：解这个方程组得，该抛物线的对称轴为x，m1P点在反比例函数的图像上，S矩形OQPRm13如图，直线yx2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PBx轴，B为垂足，SABP9（1）求点P的坐标；（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RTx轴，T为垂足，当BRT与AOC相似时，求点R的坐标.解：（1）由题意，得点C（0，2），点A（4，0）（2分）设点P的坐标为（a，a2），其中a0由题意，得SABP（a4）（a2）9（1分）解得a2或a10（舍去）（1分）而当a2时，a23，点P的坐标为（2，3）（1分）（2）设反比例函数的解析式为y点P在反比例函数的图象上，3，k6 反比例函数的解析式为y，（1分）设点R的坐标为（b，），点T的坐标为（b，0）其中b2，那么BTb2，RT当RTBAOC时，即，（1分），解得b3或b1（舍去）点R 的坐标为（3，2）（1分）当RTBCOA时，即，（1分），解得b1或b1（舍去）点R 的坐标为（1，）（1分）综上所述，点R的坐标为（3，2）或（1，）4. 如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数的图象交于C、D两点。如果A点的坐标为（2，0），点C、D分别在第一、三象限，且OA=OB=AC=BD；试求一次函数和反比例函数的解析式。解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k0) 4分 6分 设反比例函数的解析式为， 由于点在反比例函数的图象上， 8分5、已知：矩形ABCD在平面直角坐标系中，顶点A、B、D的坐标分别为A（0，0），B （m，0），D（0，4），其中m0（1）写出顶点C的坐标和矩形ABCD的中心P点的坐标（用含m的代数式表示）；（2）若一次函数ykx1的图象l把矩形ABCD分成面积相等的两部分，求此一次函数的解析式（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的前提下，l又与半径为1的M相切，且点M（0，1），求此时矩形ABCD的中心P的坐标解：（1）C点坐标为（m，4）（1分）P点坐标为（，2）（3分）（2）直线l把矩形ABCD分成面积相等两部分：l必过中心点P（，2）（4分）4km2（5分）m0，k（6分）yx1 （7分）（3）设直线l与y轴相交于点FF点坐标为（0，1）M的半径为1，sinEFDEFD30（8分）过P作PGy轴于G tanEFDtan30PGFG m（10分）P点坐标为（，2）或（，2）（12分）（m值与P点缺一各扣1分）6.已知一次函数y=的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，且与反比例函数y=的图象在第一象限内交于点C（4，n），CDx轴于D。（1）求m、n的值，并在给定的直角坐标系中作出一次函数的图象。（2）如果点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同的速度沿线段AD、CA向D、A运动，设AP=k。k为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似？k为何值时，APQ的面积取得最大值？并求出这个最大值。解：（1）m=3, n=6, 图象略（2）由题意可得或。分别解得k1=或作QMX轴于M，设QM=h, 则7. 在直角坐标系xoy中画出一次函数的图象，记作直线，与X轴的交点为C；画ABC，使BC在X轴上，点A在直线上（点A在第一象限），且BC=2，ABC=1200；写出点A、B、C的坐标将ABC绕点B在直角坐标系平面内旋转，使点A落在x轴上，求此时过点A、B、C的抛物线的解析式。解:（1）直线如左图; （2）ABC如左图; （3）A（3 , 2） B（1 , 0） C（1 , 0） （4）若ABC旋转到A1BC1位置,则A1（5 , 0）,B（1 , 0）C1（0 , ）可求过A1 , B ,C1三点的抛物线解析式为:y=若ABC旋转到A2BC2位置,则A2（3, 0）B（1, 0）C（2, ）可求过A2 , B ,C2三点的抛物线解析式为8已知：如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点DOB，tanDOB（1）求反比例函数的解析式：（2）设点A的横坐标为m，ABO的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）当OCD的面积等于时，试判断过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长能否等于3如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由解：（1）过点B作BHx轴于点H 1分在RtOHB中， HO3BH2分由勾股定理，得 BH2HO2OB2又OBBH2（3BH）2（）2 BH0，BH1，HO3点B（3，1）3分设反正比例函数的解析式为（k0）点B在反比例函数的图象上，反比例函数的解析式为4分（2）设直线AB的解析式为yk2xb（k0）由点A在第一象限，得m0又由点A 在函数的图象上，可求得点A的纵坐标为点B（3，1），点A（m，），解关于k2、b的方程组，得直线AB的解析式为5分令 y0，求得点D的横坐标为xm3过点A作AGx轴于点 GSSBDOSADODOBHDOGADO（BHGA）由已知，直线经过第一、三、四象限，b0时，即m0，3m0由此得0m36分S（3m）（1）即S（0m3）7分（3）过A、B两点的抛物点线在x轴上截得的线段长不能等于3证明如下：SOCDDOOCm3由SOCD，得解得m11，m23经检验，m11，m23都是这个方程的根0m3，m3不合题意，舍去，A（1，3）8分设过A（1，3）、B（3，1）两点的抛物线的解析式yax 2bxc（a0）由此得即yax 2（1+2a）x+23a 9分设抛物线与x轴两交点的横坐标为x1，x2则x1x2，x1x2令x1x23则（x1x2）4x1x29即整理，得7a24a10（4）2471120，方程7a24a10无实数根因此过A、B两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于310分9.已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点，且 （l）求反比例函数的解析式； （2）若抛物线经过M、N两点，证明：这条抛物线与轴一定有两个交点； （3）设（2）中的抛物线与轴的两个交点为A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连结AC、BC.若，求抛物线的解析式10.如图所示，已知反比例函数y=的图象经过点A（，b），过点A作ABOX轴于点B，AOB的面积为。（1）求k、b的值；（2）若一次函数y=ax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点M，求AOAM；（3）如果以AM为一边的正三角形AMP的顶点P在二次函数y=x2+mx+m9的图象上，求m的值。解：（1）A（，b），SAOB=b=b=2，A（，2），k=2=2 (2)y=ax+1过A（，2）,2= a+1,a=,直线为y=x+1,M(,0)AOAM=4（3）=AMB=300，若PAM为等边三角形P（，4）或（，2）所以4=3+3m+m9或2=33m+m9所以m=4或511.如图，直线AB过点A(m，0)，B(0，n)(m0，n0),反比例函数y=的图象与AB交于C、D两点。P为双曲线y=上任一点，过P作PQx轴于Q，PRy轴于R, 请分别按(1)、(2)、(3)各自的要求解答问题(1)若mn=10，n为何值时AOB面积最大？最大值是多少？(2)若SAOC=SCOD=SDOB，求n的值(3)在(2)的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当该抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少？当SAOC=SCOD=SDOB时，有AC=CD=DB12.如图，已知C、D是双曲线y=在第一像限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，连结OC、OD。（1）求证：y1OCy1+ ；（2）若BOC=AOD=，tan=，OC=，求直线CD的解析式；（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得SPOC=SPOD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由。解：（1）证明：过点C作CGx轴，垂足为G，则CG=y1，OG=x1。点在双曲线y=上， 。在RtOCG中，CGOCCG+OG, 。（2）解：在RtGCO中，GCO=BOC=，即：，。OC2=OG2+CG2，OC=， 10=x12+y12，即。10=x12+(3x1)2解之，得x1=1， 负值不合题意，x1=1,y1=3点C的坐标为（1，3）。点C在双曲线y=上。3=，即m=3。所以，双曲线的解析式为y=。过点D作DHx轴，垂足为H。则DH=y2,OH=x2。在RtODH中，tan=，即：。 又y2=，则3y22=3，解之，得负值不合题意，y2=1,x2=3。点D的坐标为（3，1）。设直线CD的解析式为y=kx+b。则有：，解得。直线CD的解析式为y=-x+