高考文科数学总复习知识点整理.pdf

1 一 集合 一 集合 主要是选择题 填空题 基础题 1 2 3 4 12n xAxBABAB AnA 元素与集合的关系 属于 和不属于 集合中元素的特性 确定性 互异性 无序性 集合与元素 集合的分类 按集合中元素的个数多少分为 有限集 无限集 空集 集合的表示方法 列举法 描述法 自然语言描述 特征性质描述 图示法 区间法 子集 若 则 即 是 的子集 若集合 中有 个元素 则集合 的子集有个 注 关系 集合 集合与集合 00 2 1 2 3 4 n AA A B CABBCAC ABABxBxAAB ABABAB ABx xAxB AAAAABBAAB 真子集有个 任何一个集合是它本身的子集 即 对于集合如果 且那么 空集是任何集合的 真 子集 真子集 若且 即至少存在但 则 是 的真子集 集合相等 且 定义 且 交集 性质 运算 U UUUUUUU A ABBABABA ABx xAxB AAAAAABBAABAABBABABB Card ABCard ACard BCard AB C Ax xUxAA C AAC AAUCC AACABC AC B 定义 或 并集 性质 定义 且 补集 性质 UUU CABC AC B 1 集合的含义与表示1 集合的含义与表示 1 集合的概念 集合中的元素具有确定性 互异性和无序性 2 常用数集及其记法 N表示自然数集 N 或N 表示正整数集 Z表示整数集 Q表示有理数集 R表示实数集 3 集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是aM 或者aM 两者必居其一 4 集合的表示法 自然语言法 用文字叙述的形式来描述集合 列举法 把集合中的元素一一列举出来 写在大括号内表示集合 描述法 x x具有的性质 其中x为集合的代表元素 图示法 用数轴或韦恩图来表示集合 5 集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集有限集 含有无限个元素的集合叫做无限集无限集 不含有任 何元素的集合叫做空集空集 全集全集 2 2 集合间的基本关系2 集合间的基本关系 6 子集 真子集 集合相等 名称记号意义性质示意图 子集 BA 或 AB A 中的任一元素都 属于 B 1 A A 2 A 3 若BA 且BC 则AC 4 若BA 且BA 则AB A B 或 BA 真子集 A B 或 B A BA 且 B 中至 少有一元素不属于 A 1 A A 为非空子集 2 若AB 且BC 则AC BA 集合 相等 AB A 中的任一元素都 属于 B B 中的任 一元素都属于 A 1 A B 2 B A A B 7 已知集合A有 1 n n 个元素 则它有2n个子集 它有21 n 个真子集 它有21 n 个非空子集 它 有22 n 非空真子集 3 集合的基本运算3 集合的基本运算 8 交集 并集 补集 名称记号意义性质韦恩图 交集 AB x xA 且 xB 1 AAA 2 A 3 ABA ABB 并集 AB x xA 或 xB 1 AAA 2 AA 3 ABA ABB 补集 ACU x xUxA 且 ACA U UACA U BCACBAC UUU BCACBAC UUU A 3 二 函数及导数 二 函数及导数 函数的影子几乎出现在每到题中 考生要牢记基本函数的图像与性质 重视函数与不等 式 方程 数形结合 转化与划归 分类讨论等数学思想与方法在解题中的应用 导数属于选修内容 是 高中数学的一个重要的交汇点 命题范围非常广泛 重难点章 1 函数的概念1 函数的概念 1 函数的概念 设A B是两个非空的数集 如果按照某种对应法则f 对于集合A中任何一个数x 在集合 B中都有唯一确定的数 f x和它对应 那么这样的对应 包括集合A B以及A到B的对应法则f 叫做集合A到B的一个函数 记作 fAB 函数的三要素 定义域 值域和对应法则 只有定义域相同 且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 2 区间的概念及表示法 设 a b是两个实数 且ab 满足axb 的实数x的集合叫做闭区间 记做 a b 满足 axb 的实数x的集合叫做开区间 记做 a b 满足axb 或axb 的实数x的集合叫 做半开半闭区间 分别记做 a b a b 满足 xa xa xb xb 的实数x的集合分别记做 aabb 注意 注意 对于集合 x axb 与区间 a b 前者a可以大于或等于b 而后者必须ab 3 求函数的定义域时 一般遵循以下原则 f x 是整式时 定义域是全体实数 f x 是分式函数时 定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时 定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零 当对数或指数函数的底数中含变量时 底数须大于零且不等于 1 tanyx 中 2 xkkZ 零 负 指数幂的底数不能为零 若 f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时 则其定义域一般是各基本初等函 数的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题 一般步骤是 若已知 f x 的定义域为 a b 其复合函数 f g x 的定义域应由不等式 ag xb 解出 对于含字母参数的函数 求其定义域 根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问题确定的函数 其定义域除使函数有意义外 还要符合问题的实际意义 4 4 求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的 事实上 如果在函数的值域中存在 一个最小 大 数 这个数就是函数的最小 大 值 因此求函数的最值与值域 其实质是相同的 只是提问的角度不同 求函数值域与最值的常用方法 观察法 对于比较简单的函数 我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法 将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和 然后根据变量的取值范围确定函 数的值域或最值 判别式法 若函数 yf x 可以化成一个系数含有 y 的关于x的二次方程 2 0a y xb y xc y 则在 0a y 时 由于 x y 为实数 故必须有 2 4 0bya yc y 从而确定函数的值域或最值 不等式法 利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法 通过变量代换达到化繁为简 化难为易的目的 三角代换可将代数函数的最值问题转 化为三角函数的最值问题 反函数法 利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法 利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法 5 函数的表示方法 表示函数的方法 常用的有解析法 列表法 图象法三种 解析法 就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 列表法 就是列出表格来表示两个变量之 间的对应关系 图象法 就是用图象表示两个变量之间的对应关系 6 映射的概念 设A B是两个集合 如果按照某种对应法则f 对于集合A中任何一个元素 在集合B中都有 唯一的元素和它对应 那么这样的对应 包括集合A B以及A到B的对应法则f 叫做集合A到B 的映射 记作 fAB 给定一个集合A到集合B的映射 且 aA bB 如果元素a和元素b对应 那么我们把元素b叫 做元素a的象 元素a叫做元素b的原象 5 y xo 2 函数的基本性质2 函数的基本性质 1 函数的单调性单调性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 函数的 单调性 如果对于属于定义域I内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1 x2 当 x x 1 1 x x 2 2 时 都有 f x f x 1 1 f x f x 2 2 那么就说 f x 在这个区 间上是增函数增函数 x1x2 y f X x y f x 1 f x 2 o 1 利用定义 2 利用已知函数 的单调性 3 利用函数图象 在某个区间图 象上升为增 4 利用复合函数 如果对于属于定义域I内 某个区间上的任意两个 自变量的值 x1 x2 当 x x 1 1 f x f x 2 2 那么就说 f x 在这个区 间上是减函数减函数 y f X y x o xx2 f x f x 2 1 1 1 利用定义 2 利用已知函数 的单调性 3 利用函数图象 在某个区间图 象下降为减 4 利用复合函数 在公共定义域内 两个增函数的和是增函数 两个减函数的和是减函数 增函数减去一个减函数为 增函数 减函数减去一个增函数为减函数 对于复合函数 在公共定义域内 两个增函数的和是增函数 两个减函数的和是减函数 增函数减去一个减函数为 增函数 减函数减去一个增函数为减函数 对于复合函数 yf g x 令 令 ug x 若 若 yf u 为增 为增 ug x 为增 则为增 则 yf g x 为增 若 为增 若 yf u 为减 为减 ug x 为减 则为减 则 yf g x 为增 若为增 若 yf u 为增 为增 ug x 为减 则为减 则 yf g x 为减 若为减 若 yf u 为减 为减 ug x 为增 则为增 则 yf g x 为减 为减 2 打 函数 0 a f xxa x 的图象与性质 f x分别在 a a 上为增函数 分别在 0 a 0 a上为减函数 3 最大 小 值定义 一般地 设函数 yf x 的定义域为I 如果存在实数M满足 1 对于任意的xI 都有 f xM 2 存在 0 xI 使得 0 f xM 那么 我们称M是函数 f x的最大值 记作 max fxM 6 一般地 设函数 yf x 的定义域为I 如果存在实数m满足 1 对于任意的xI 都有 f xm 2 存在 0 xI 使得 0 f xm 那么 我们称m是函数 f x的最小值 记作 max fxm 4 函数的奇偶性奇偶性 定义及判定方法 函数的 性 质 定义图象判定方法 函数的 奇偶性 如果对于函数 f x 定义 域内任意一个 x 都有 f x f x f x 那么函数 f x 叫做奇函数奇函数 1 利用定义 要 先判断定义域是否 关于原点对称 2 利用图象 图 象关于原点对称 如果对于函数 f x 定义 域内任意一个 x 都有 f x f x f x 那 么 函 数 f x 叫做偶函数偶函数 1 利用定义 要 先判断定义域是否 关于原点对称 2 利用图象 图 象关于 y 轴对称 若函数 f x为奇函数 且在0 x 处有定义 则 0 0f 奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同 偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内 两个偶函数 或奇函数 的和 或差 仍是偶函数 或奇函数 两个偶函数 或 奇函数 的积 或商 是偶函数 一个偶函数与一个奇函数的积 或商 是奇函数 3 函数的图象3 函数的图象 1 作图 利用描点法作图 确定函数的定义域 化解函数解析式 讨论函数的性质 奇偶性 单调性 画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图 要准确记忆一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 幂函数 三角函数等各种基本 初等函数的图象 要准确记忆一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 幂函数 三角函数等各种基本 初等函数的图象 平移变换 0 0 hh hh yf xyf xh 左移 个单位 右移 个单位 0 0 kk kk yf xyf xk 上移 个单位 下移 个单位 伸缩变换 01 1 yf xyfx 伸 缩 01 1 A A yf xyAf x 缩 伸 对称变换 7 x yf xyf x 轴 y yf xyfx 轴 yf xyfx 原点1 y x yf xyfx 直线 y yy yf xyfx 去掉 轴左边图象 保留 轴右边图象 并作其关于 轴对称图象 x x yf xyf x 保留 轴上方图象 将 轴下方图象翻折上去 2 识图 对于给定函数的图象 要能从图象的左右 上下分别范围 变化趋势 对称性等方面研究函数的定义 域 值域 单调性 奇偶性 注意图象与函数解析式中参数的关系 3 用图 函数图象形象地显示了函数的性质 为研究数量关系问题提供了 形 的直观性 它是探求解题途径 获得问题结果的重要工具 要重视数形结合解题的思想方法 4 基本初等函数 基本初等函数 1 指数函数 1 指数函数 1 根式的概念 如果 1 n xa aR xR n 且nN 那么x叫做a的n次方根 当n是奇数时 a的n次 方根用符号 n a表示 当n是偶数时 正数a的正的n次方根用符号 n a表示 负的n次方根用符号 n a 表示 0 的n次方根是 0 负数a没有n次方根 式子 n a叫做根式 这里n叫做根指数 a叫做被开方数 当n为奇数时 a为任意实数 当n为 偶数时 0a 根 式 的 性 质 n n aa 当n为 奇 数 时 nn aa 当n为 偶 数 时 0 0 nn aa aa aa 2 分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是 0 m nm n aaam nN 且1 n 0 的正分数指数幂等于 0 正数的负分数指数幂的意义是 11 0 mm m nn n aam nN aa 且1 n 0 的负分数 指数幂没有意义 注意口诀 注意口诀 底数取倒数 指数取相反数 3 分数指数幂的运算性质 0 rsr s aaaar sR 0 rsrs aaar sR 0 0 rrr aba b abrR 8 4 指数函数 函数名称指数函数 定义函数 0 x yaa 且1 a 叫做指数函数 图象 1a 01a 定义域R 值域 0 过定点图象过定点 0 1 即当0 x 时 1y 奇偶性非奇非偶 单调性在R上是增函数在R上是减函数 函数值的 变化情况 1 0 1 0 1 0 x x x ax ax ax 1 0 1 0 1 0 x x x ax ax ax a变化对图象的影响在第一象限内 a越大图象越高 在第二象限内 a越大图象越低 2 对数函数 2 对数函数 1 对数的定义 若 0 1 x aN aa 且 则x叫做以a为底N的对数 记作logaxN 其中a叫做底数 N叫 做真数 负数和零没有对数 对数式与指数式的互化 log 0 1 0 x a xNaN aaN 2 几个重要的对数恒等式 log 10 a log1 aa log b aa b 3 常用对数与自然对数 常用对数 lg N 即 10 logN 自然对数 lnN 即logeN 其中2 71828e 4 对数的运算性质如果0 1 0 0aaMN 那么 x ay x y 0 1 O 1y x ay x y 0 1 O 1y 9 加法 logloglog aaa MNMN 减法 logloglog aaa M MN N 数乘 loglog n aa nMMnR logaN aN loglog 0 b n a a n MM bnR b 换底公式 log log 0 1 log b a b N Nbb a 且 5 对数函数 函数 名称 对数函数 定义函数log 0 a yx a 且1 a 叫做对数函数 图象 1a 01a 定义域 0 值域R 过定点图象过定点 1 0 即当1x 时 0y 奇偶性非奇非偶 单调性在 0 上是增函数在 0 上是减函数 函数值的 变化情况 log0 1 log0 1 log0 01 a a a xx xx xx log0 1 log0 1 log0 01 a a a xx xx xx a变化对图象的影响在第一象限内 a越大图象越靠低 在第四象限内 a越大图象越靠高 3 幂函数 3 幂函数 1 幂函数的定义 一般地 函数yx 叫做幂函数 其中x为自变量 是常数 2 幂函数的图象 x y O 1 0 1x logayx x y O 1 0 1x logayx 10 3 幂函数的性质 图象分布 幂函数图象分布在第一 二 三象限 第四象限无图象 幂函数是偶函数时 图象分布在第 一 二象限 图象关于y轴对称 是奇函数时 图象分布在第一 三象限 图象关于原点对称 是非奇非 偶函数时 图象只分布在第一象限 过定点 所有的幂函数在 0 都有定义 并且图象都通过点 1 1 单调性 如果0 则幂函数的图象过原点 并且在 0 上为增函数 如果0 则幂函数的图 象在 0 上为减函数 在第一象限内 图象无限接近x轴与y轴 奇偶性 当 为奇数时 幂函数为奇函数 当 为偶数时 幂函数为偶函数 当 q p 其中 p q互 质 p和qZ 若p为奇数q为奇数时 则 q p yx 是奇函数 若p为奇数q为偶数时 则 q p yx 是偶 函数 若p为偶数q为奇数时 则 q p yx 是非奇非偶函数 图象特征 幂函数 0 yxx 当1 时 若01x 其图象在直线yx 下方 若1x 其图象在直线yx 上方 当1 时 若01x 其图象在直线yx 上方 若1x 其图象在直线 yx 下方 11 4 二次函数 4 二次函数 1 二次函数解析式的三种形式 一般式 2 0 f xaxbxc a 顶点式 2 0 f xa xhk a 两根式 12 0 f xa xxxxa 2 求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时 宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 小 值有关时 常使用顶点式 若已知抛物线与x轴有两个交点 且横线坐标已知时 选用两根式求 f x更方便 3 二次函数图象的性质 二次函数 2 0 f xaxbxc a 的图象是一条抛物线 对称轴方程为 2 b x a 顶点坐标 2 4 24 bacb aa 当0a 时 抛物线开口向上 函数在 2 b a 上递减 在 2 b a 上递增 当 2 b x a 时 2 min 4 4 acb fx a 当0a 时 抛物线开口向下 函数在 2 b a 上递增 在 2 b a 上递减 当 2 b x a 时 2 max 4 4 acb fx a 二次函数 2 0 f xaxbxc a 当 2 40bac 时 图象与x轴有两个交点 11221212 0 0 M xM xMMxx a 4 一元二次方程 2 0 0 axbxca 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容 这部分知识在初中代数中虽有所涉及 但尚不够系统和完整 且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理 韦达定理 的运用 下面结合二次函数图象的性质 系 统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程 2 0 0 axbxca 的两实根为 12 x x 且 12 xx 令 2 f xaxbxc 从以下四个方 面来分析此类问题 开口方向 a 对称轴位置 2 b x a 判别式 端点函数值符号 k x1 x2 af k 0 x y 1 x 2 x 0 a O a b x 2 0 kf k x y 1 x 2 x O a b x 2 k 0 a 0 kf 12 x1 x2 k af k 0 x y 1 x 2 x 0 a O a b x 2 k 0 kf x y 1 x 2 x O a b x 2 k 0 a 0 kf x1 k x2 af k 0 0 kf x y 1 x 2 x 0 a O k x y 1 x 2 x O k 0 a 0 kf k1 x1 x2 k2 f k1 f k2 0 x y 1 x2 x 0 a O 1 k 2 k 0 1 kf 0 2 kf a b x 2 x y 1 x 2 x O 0 a 1 k 2 k 0 1 kf 0 2 kf a b x 2 有且仅有一个根 x1 或 x2 满足 k1 x1 或 x2 k2 f k1 f k2 0 x y 1 x 2 x 0 a O 1 k 2 k 0 1 kf 0 2 kf x y 1 x 2 x O 0 a 1 k 2 k 0 1 kf 0 2 kf 5 二次函数 2 0 f xaxbxc a 在闭区间 p q上的最值 设 f x在区间 p q上的最大值为最大值为M 最小值为 最小值为m 令 0 1 2 xpq 13 当0a 时 开口向上 若 2 b p a 则 mf p 若 2 b pq a 则 2 b mf a 若 2 b q a 则 mf q 若 0 2 b x a 则 Mf q 0 2 b x a 则 Mf p 当0a 时 开口向下 若 2 b p a 则 Mf p 若 2 b pq a 则 2 b Mf a 若 2 b q a 则 Mf q 若 0 2 b x a 则 mf q 0 2 b x a 则 mf p f p f q 2 b f a f p f q 2 b f a f p f q 2 b f a f p f q 2 b f a 0 x f p f q 2 b f a 0 x f p f q 2 b f a f p f q 2 b f a f p f q 2 b f a 0 x f p f q 2 b f a f p f q 2 b f a 0 x 14 5 函数的应用5 函数的应用 一 方程的根与函数的零点 1 函数零点的概念 对于函数 Dxxfy 把使0 xf成立的实数x叫做函数 Dxxfy 的零点 2 函数零点的意义 函数 xfy 的零点就是方程 0 xf 实数根 亦即函数 xfy 的图象 与x轴交点的横坐标 即 方程0 xf有实数根 函数 xfy 的图象与x轴有交点 函数 xfy 有零点 3 函数零点的求法 求函数 xfy 的零点 1 代数法 求方程0 xf的实数根 2 几何法 对于不能用求根公式的方程 可以将它与函数 xfy 的图象联系起来 并利用 函数的性质找出零点 4 二次函数的零点 二次函数 0 2 acbxaxy 方程0 2 cbxax有两不等实根 二次函数的图象与x轴有两个交点 二次函数 有两个零点 方程0 2 cbxax有两相等实根 二重根 二次函数的图象与x轴有一个交点 二次函数有一个二重零点或二阶零点 方程0 2 cbxax无实根 二次函数的图象与x轴无交点 二次函数无零点 6 导数及其应用6 导数及其应用 1 函数 f x从 1 x到 2 x的平均变化率 平均变化率 21 21 f xf x xx 2 导数定义 导数定义 f x在点 0 x处的导数记作 x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 3 函数 yf x 在点 0 x处的导数的几何意义是曲线导数的几何意义是曲线 yf x 在点在点 00 xf x 处的切线的斜率处的切线的斜率 4 常见函数的导数公式 常见函数的导数公式 C0 1 nn nxx xxcos sin xxsin cos aaa xx ln xx ee ax x a ln 1 log x x 1 ln 5 导数运算法则 导数运算法则 1 f xg xfxgx 2 f xg xfx g xf x gx 3 2 0 f xfx g xf x gx g x g x g x 6 在某个区间 a b内 若若 0fx 则函数 则函数 yf x 在这个区间内单调递增 若 在这个区间内单调递增 若 0fx 则函数 则函数 yf x 在这个区间内单调递减 在这个区间内单调递减 15 7 求函数求函数 yf x 的极值的方法是 的极值的方法是 解方程 0fx 当 0 0fx 时 1如果在 0 x附近的左侧左侧 0fx 右侧 右侧 0fx 那么 0 f x是极大值 2如果在 0 x附近的左侧左侧 0fx 右侧 右侧 0fx 那么 0 f x是极小值 8 求函数求函数 yf x 在在 a b上的最大值与最小值的步骤是 上的最大值与最小值的步骤是 1求函数 yf x 在 a b内的极值 2将函数 yf x 的各极值与端点处的函数值 f a f b比较 其中最大的一个是最大值 最小的 一个是最小值 9 导数在实际问题中的应用 最优化问题 最优化问题 16 三 空间几何体三 空间几何体 主要考查三视图为载体的空间几何体的面积 体积及点线面的位置关系 1 1 柱 锥 台 球的结构特征柱 锥 台 球的结构特征 1 2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图 1 三视图 正视图 从前往后侧视图 从左往右俯视图 从上往下 2 画三视图的原则 长对齐 高对齐 宽相等 3 直观图 斜二测画法 了解即可 4 斜二测画法的步骤 1 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴 2 平行于 y 轴的线长度变半 平行于 x z 轴的线长度不变 3 画法要写好 5 用斜二测画法画出长方体的步骤 1 画轴 2 画底面 3 画侧棱 4 成图 1 3 空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 一 空间几何体的表面积 1 棱柱 棱锥的表面积 各个面面积之和 2 圆柱的表面积3 圆锥的表面积 2 rrlS 4 圆台的表面积 22 RRlrrlS 5 球的表面积 2 4 RS 二 空间几何体的体积 1 柱体的体积hSV 底 2 锥体的体积hSV 底 3 1 3 台体的体积hSSSSV 3 1 下下上上 4 球体的体积 3 3 4 RV 2 22rrlS 17 2 空间点 直线 平面的位置关系 空间点 直线 平面的位置关系 1 平面 平面 平面的概念 A 描述性说明 B 平面是无限伸展的 平面的表示 通常用希腊字母 表示 如平面 通 常写在一个锐角内 也可以用两个相对顶点的字母来表示 如平面 BC 点与平面的关系 点 A 在平面 内 记作A 点A不在平面 内 记作A 点与直线的关系 点 A 的直线 l 上 记作 A l 点 A 在直线 l 外 记作 A l 直线与平面的关系 直线 l 在平面 内 记作 l 直线 l 不在平面 内 记作 l 2 公理 公理 1 如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线是所有的点都在这个平面内 即直线在平面内 或者平面经过直线 应用 检验桌面是否平 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理 1 Al Bl ABl 3 公理 公理 2 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 推论 一直线和直线外一点确定一平面 两相交直线确定一平面 两平行直线确定一平面 公理 2 及其推论作用 它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依据 4 公理 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号 平面 和 相交 交线是 a 记作 a 符号语言 PABABl Pl 公理 3 的作用 它是判定两个平面相交的方法 它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系 交线必过公共点 它可以判断点在直线上 即证若干个点共线的重要依据 5 公理 公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行 6 空间直线与直线之间的位置关系 空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义 不同在任何一个平面内的两条直线 异面直线性质 既不平行 又不相交 异面直线判定 过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 异面直线所成角 直线 a b 是异面直线 经过空间任意一点 O 分别引直线 a a b b 则把直线 a 和 b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线 a 和 b 所成的角 两条异面直线所成角的范围是 0 90 若两条异面直线所成的角是直角 我们就说这两条异面直线互相垂直 说明 两条异面直线互相垂直 说明 1 判定空间直线是异面直线方法 根据异面直线的定义 异面直线的判定定理 2 在异面直线所成角定义中 空间一点 O 是任取的 而和点 O 的位置无关 求异面直线所成角步骤 A 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶点选在特殊的位 置上 B 证明作出的角即为所求角C 利用三角形来求角 7 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两角相等或互补 等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行 那么这两角相等或互补 8 空间直线与平面之间的位置关系 空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内 有无数个公共点 三种位置关系的符号表示 三种位置关系的符号表示 a a Aa 9 平面与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系 平行 没有公共点 相交 有一条公共直线 b DC BA 18 3 空间中的平行问题 空间中的平行问题 1 直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理 直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理 平面外一条直线与此平面内一条直线平行 则该直线与此平面平行 线线平行 线面平行 线面平行的性质定理 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和交线平行 线面平行 线线平行 2 平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理 1 如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 线面平行 面面平行 2 如果在两个平面内 各有两组相交直线对应平行 那么这两个平面平行 线线平行 面面平行 3 垂直于同一条直线的两个平面平行 两个平面平行的性质定理两个平面平行的性质定理 1 如果两个平面平行 那么某一个平面内的直线与另一个平面平行 面面平行 线面平行 2 如果两个平行平面都和第三个平面相交 那么它们的交线平行 面面平行 线线平行 4 空间中的垂直问题 空间中的垂直问题 1 线线 面面 线面垂直的定义 线线 面面 线面垂直的定义 两条异面直线的垂直 如果两条异面直线所成的角是直角 就说这两条异面直线互相垂直 线面垂直 如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直 就说这条直线和这个平面垂直 平面和平面垂直 如果两个平面相交 所成的二面角 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 是 直二面角 平面角是直角 就说这两个平面垂直 2 垂直关系的判定和性质定理 垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理 判定定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线垂直这个平面 性质定理 如果两条直线同垂直于一个平面 那么这两条直线平行 面面垂直的判定定理和性质定理 面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 性质定理 如果两个平面互相垂直 那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面 5 空间角问题 空间角问题 1 直线与直线所成的角 直线与直线所成的角 两平行直线所成的角 规定为 0 两条相交直线所成的角 两条直线相交其中不大于直角的角 叫这两条直线所成的角 两条异面直线所成的角 过空间任意一点 O 分别作与两条异面直线 a b 平行的直线ba 形成两 条相交直线 这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角 2 直线和平面所成的角 直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角 规定为 0 平面的垂线与平面所成的角 规定为 90 平面的斜线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫做这条直线和这个平 面所成的角 求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角 一作 二证 三计算 在 作角 时依定义关键作射影 由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线 在解题时 注意挖掘题设中两个主要信息 1 斜线上一点到面的垂线 2 过斜线上的一点或过斜线的 平面与已知面垂直 由面面垂直性质易得垂线 3 二面角和二面角的平面角 二面角和二面角的平面角 二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这 两个半平面叫做二面角的面 二面角的平面角 以二面角的棱上任意一点为顶点 在两个面内面内 分别作垂直于垂直于 棱的两条射线 这两条射 线所成的角叫二面角的平面角 直二面角 平面角是直角的二面角叫直二面角 两相交平面如果所组成的二面角是直二面角 那么这两个平面垂直 反过来 如果两个平面垂直 那么 19 所成的二面角为直二面角 求二面角的方法 定义法 在棱上选择有关点 过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法 已知二面角内一点到两个面的垂线时 过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面 角 6 空间直角坐标系 空间直角坐标系 1 定义 定义 如图 OBCDD A B C 是单位正方体 以 A 为原点 分别以 OD O A OB 的方向为正方向 建立三条数轴x轴 y轴 z轴 这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz 1 O 叫做坐标原点2 x 轴 y 轴 z 轴叫做坐标轴 3 过每两个坐标轴的平面叫做坐标面 2 右手表示法 右手表示法 令右手大拇指 食指和中指相互垂直时 可能形成的位置 大拇指指向为 x 轴正方向 食指指向为 y 轴正向 中指指向则为 z 轴正向 这样也可以决定三轴间的相位置 3 任意点坐标表示 任意点坐标表示 空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 x y z来表示 有序实数组 x y z叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标 记作 M x y z x 叫做点 M 的横坐标 y 叫做点 M 的纵坐标 z 叫做 点 M 的竖坐标 4 空间两点距离坐标公式 空间两点距离坐标公式 2 12 2 12 2 12 zzyyxxd 20 四 平面解析几何 四 平面解析几何 对解题能力 运算能力考查的层次要求较高 解决这一类问题的关键在于 通观全局 局 部入手 整体思维 关键在于把曲线的几何特征准确的代数化 解析化 坐标化 最重要的是 将题目中的每 一句条件都充分了解 掌握 挖掘 转化成代数形式 1 直线与方程 直线与方程 1 直线的倾斜角 直线的倾斜角 定义 x 轴正向正向与直线向上方向向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角 特别地 当直线与 x 轴平行或重合时 我们 规定它的倾斜角为 0 度 因此 倾斜角的取值范围是 0 180 2 直线的斜率 直线的斜率 定义 倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 直线的斜率常用 k 表示 即 tank 斜率反映直线与轴的倾斜程度 当 90 0 时 0 k 当 180 90 时 0 k 当 90 时 k不存在 过两点的直线的斜率公式 21 12 12 xx xx yy k 注意下面四点 1 当 21 xx 时 公式右边无意义 直线的斜率不存在 倾斜角为 90 2 k与P1 P2的顺序无关 3 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得 4 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到 3 直线方程 直线方程 点斜式 点斜式 11 xxkyy 直线斜率 k 且过点 11 y x 注意 注意 当直线的斜率为 0 时 k 0 直线的方程是y y1 当直线的斜率为 90 时 直线的斜率不存在 它的方程不能用点斜式表示 但因l上每一点的横坐 标都等于x1 所以它的方程是x x1 斜截式 斜截式 bkxy 直线斜率为k 直线在y轴上的截距为b 两点式 两点式 11 2121 yyxx yyxx 1212 xxyy 直线两点 11 y x 22 y x 截矩式 截矩式 1 xy ab 其中直线l与x轴交于点 0 a 与y轴交于点 0 b 即l与x轴 y轴的截距截距分别为 a b 一般式 一般式 0 CByAx A B 不全为不全为 0 注意 注意 1各式的适用范围 2 特殊的方程如 平行于 x 轴的直线 by b 为常数 平行于 y 轴的直线 ax a 为常数 4 直线系方程 即具有某一共同性质的直线 一 平行直线系 直线系方程 即具有某一共同性质的直线 一 平行直线系 平行于已知直线0 000 CyBxA 00 B A是不全为 0 的常数 的直线系 0 00 CyBxA C 为常数 二 过定点的直线系 二 过定点的直线系 斜率为k的直线系 00 xxkyy 直线过定点 00 y x 过两条直线0 1111 CyBxAl 0 2222 CyBxAl的交点的直线系方程为 0 222111 CyBxACyBxA 为参数 其中直线 2 l不在直线系中 5 两直线平行与垂直 两直线平行与垂直 当 111 bxkyl 222 bxkyl 时 212121 bbkkll 1 2121 kkll 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 注意 利用斜率判断直线的平行与垂直时 要注意斜率的存在与否 6 两条直线的交点 两条直线的交点 0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl相交 21 交点坐标即方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 的一组解 方程组无解 21 l l 方程组有无数解 1 l与 2 l重合 7 两点间距离公式 两点间距离公式 设 1122 A x yB xy 是平面直角坐标系中的两个点 则 22 2121 ABxxyy 8 点到直线距离公式 点到直线距离公式 一点 00 y xP到直线0 1 CByAxl的距离 22 00 BA CByAx d 9 两平行直线距离公式 两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点 再转化为点到直线的距离进行求解 2 圆的方程 圆的方程 1 圆的定义 圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆 定点为圆心 定长为圆的半径 2 圆的方程 圆的方程 1 标准方程 标准方程 2 22 rbyax 圆心 ba 半径为 r 2 一般方程 一般方程0 22 FEyDxyx 当04 22 FED时 方程表示圆 此时圆心为 2 2 ED 半径为 FEDr4 2 1 22 当04 22 FED时 表示一个点 当04 22 FED时 方程不表示任何图形 3 求圆方程的方法 一般都采用待定系数法 先设后求 求圆方程的方法 一般都采用待定系数法 先设后求 确定一个圆需要三个独立条件 若利用圆的标准方程 需求出 a b r 若利用一般方程 需要求出 D E F 另外要注意多利用圆的几何性质 如弦的中垂线必经过原点 以此来确定圆心的位置 另外要注意多利用圆的几何性质 如弦的中垂线必经过原点 以此来确定圆心的位置 3 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有相离 相切 相交三种情况 基本上由下列两种方法判断 1 设直线0 CByAxl 圆 2 22 rbyaxC 圆心 baC 到l的距离为 22 BA CBbAa d 则有相离与Clrd 相切与Clrd 相交与Clrd 2 设直线0 CByAxl 圆 2 22 rbyaxC 先将方程联立消元 得到一个一元二次 方程之后 令其中的判别式为 则有 相离与Cl 0 相切与Cl 0 相交与Cl 0 注 如果圆心的位置在原点 可使用公式 2 00 ryyxx 去解直线与圆相切的问题 其中 00 y x表示 切点坐标 r 表示半径 3 过圆上一点的切线方程 过圆上一点的切线方程 圆 x2 y2 r2 圆上一点为 x0 y0 则过此点的切线方程为 2 00 ryyxx 课本命题 圆 x a 2 y b 2 r2 圆上一点为 x0 y0 则过此点的切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 课本命题的推 广 4 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 通过两圆半径的和 差 与圆心距 d 之间的大小比较来确定 设圆 2 2 1 2 11 rbyaxC 2 2 2 2 22 RbyaxC 两圆的位置关系常通过两圆半径的和 差 与圆心距 d 之间的大小比较来确定 当rRd 时两圆外离 此时有公切线四条 当rRd 时两圆外切 连心线过切点 有外公切线两条 内公切线一条 当rRdrR 时两圆相交 连心线垂直平分公共弦 有两条外公切线 当rRd 时 两圆内切 连心线经过切点 只有一条公切线 当rRd 时 两圆内含 当0 d时 为同心圆 22 3 圆锥曲线3 圆锥曲线 1 平面内与两个定点 1 F 2 F的距离之和等于常数 大于 12 F F 的点的轨迹称为椭圆椭圆 即 2 2 2121 FFaaMFMF 这两个定点称为椭圆的焦点椭圆的焦点 两焦点的距离称为椭圆的焦距两焦点的距离称为椭圆的焦距 2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 焦点的位置焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 10 xy ab ab 22 22 10 yx ab ab 范围axa 且byb bxb 且aya 顶点 1 0a 2 0a 1 0 b 2 0 b 1 0 a 2 0 a 1 0b 2 0b 轴长短轴的长2b 长轴的长2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于x轴 y轴 原点对称 离心率 2 2 101 cb ee aa 3 平面内与两个定点 1 F 2 F的距离之差的绝对值等于常数 小于 12 F F 的点的轨迹称为双曲线双曲线 即 2 2 2121 FFaaMFMF 这两个定点称为双曲线的焦点双曲线的焦点 两焦点的距离称为双曲线的焦距两焦点的距离称为双曲线的焦距 4 双曲线的几何性质双曲线的几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 10 0 xy ab ab 22 22 10 0 yx ab ab 23 范围xa 或xa yR ya 或ya xR 顶点 1 0a 2 0a 1 0 a 2 0 a 轴长虚轴的长2b 实轴的长2a 焦点 1 0Fc 2 0Fc 1 0 Fc 2 0 Fc 焦距 222 12 2FFc cab 对称性关于x轴 y轴对称 关于原点中心对称 离心率 2 2 11 cb ee aa 渐近线方程 b yx a a yx b 5 实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线等轴双曲线 6 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线抛物线 定点F称为抛物线的焦点抛物线的焦点 定直线l称为抛物线的准线 7 抛物线的几何性质 标准方程 2 2ypx 0p 2 2ypx 0p 2 2xpy 0p 2 2xpy 0p 图形 顶点 0 0 对称轴x轴y轴 焦点 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 0 2 p F 准线方程 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 离心率1e 范围0 x 0 x 0y 0y 8 过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 两点的线段 称为抛物线的 通径 通径 即 24 2p 9 焦半径公式焦半径公式 若点 00 xy 在抛物线 2 20ypx p 上 焦点为F 则 0 2 p Fx 若点 00 xy 在抛物线 2 20 xpy p 上 焦点为F 则 0 2 p Fy 25 五 算法初步 五 算法初步 以算法的基本概念为基准 着重掌握程序框图及三种逻辑结构 算法语句 考查形式以选 择 填空题为主 1 算法的概念 算法的概念 在数学上 现代意义上的 算法 通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤 这些程 序或步骤必须是明确和有效的 而且能够在有限步之内完成 2 程序框图 程序框图 1 程序框图基本概念 一 程序构图的概念 程序框图又称流程图 是一种用规定的图形 指向线及文字说明来准确 直观地 表示算法的图形 一个程序框图包括以下几部分 表示相应操作的程序框 带箭头的流程线 程序框外必要文字说明 二 构成程序框的图形符号及其作用 程序框名称功能 起止框 表示一个算法的起始和结束 是任何流程图不 可少的 输入 输出框 表示一个算法输入和输出的信息 可用在算法 中任何需要输入 输出的位置 处理框 赋值 计算 算法中处理数据需要的算式 公 式等分别写在不同的用以处理数据的处理框 内 判断框 判断某一条件是否成立 成立时在出口处标明 是 或 Y 不成立时标明 否 或 N 学习这部分知识的时候 要掌握各个图形的形状 作用及使用规则 画程序框图的规则如下 1 使用标准的图形符号 2 框图一般按从上到下 从左到右的方向画 3 除判断框外 大多数流程图 符号只有一个进入点和一个退出点 判断框具有超过一个退出点