阶微分方程及其建模方法.ppt

微分方程基础及其数学模型 一阶微分方程和微元分析法二阶微分方程基础常见微分方程模型 解 一 微分方程的基本概念 解 代入条件后知 故 开始制动到列车完全停住共需 微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 例 实质 联系自变量 未知函数以及未知函数的某些导数 或微分 之间的关系式 2 微分方程的定义 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之 分类1 常微分方程 偏微分方程 一阶微分方程 高阶 n 微分方程 分类2 分类3 线性与非线性微分方程 分类4 单个微分方程与微分方程组 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 微分方程的解的分类 3 主要问题 求方程的解 1 通解 微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 2 特解 确定了通解中任意常数以后的解 解的图象 微分方程的积分曲线 通解的图象 积分曲线族 初始条件 用来确定任意常数的条件 过定点的积分曲线 一阶 二阶 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题 解 所求特解为 补充 微分方程的初等解法 初等积分法 求解微分方程 求积分 通解可用初等函数或积分表示出来 可分离变量的微分方程 解法 为微分方程的解 分离变量法 1 可分离变量的微分方程 二 一阶微分方程的求解 例1求解微分方程 解 分离变量 两端积分 解 由题设条件 衰变规律 整理可得 的微分方程称为齐次方程 2 解法 作变量代换 代入原式 可分离变量的方程 1 定义 2 齐次方程 例1求解微分方程 微分方程的解为 解 例2求解微分方程 解 微分方程的解为 一阶线性微分方程的标准形式 上方程称为齐次的 上方程称为非齐次的 例如 线性的 非线性的 3 一阶线性方程 齐次方程的通解为 1 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 使用分离变量法 2 线性非齐次方程 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质 未知函数的变量代换 作变换 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为 对应齐次方程通解 非齐次方程特解 解 例1 微元分析法举例及其特点湖水污染和净化化学反应动力学模型 三 微元分析建模方法 如图所示 一容器内 原有100毫升盐水 其中含盐50g 现以流速3毫升 分钟的速度向容器注入盐水 每毫升含盐量为2g 假定流入的盐水和容器内的盐水因搅拌而能瞬时混合均匀 并以同样的速度流出 建立微分方程 描述容器中含盐量的变化过程 由此计算半小时后容器内剩多少公斤盐 微元分析法举例 解 设t时刻对应的含盐量为y t y 0 50 单位 g 在任意一段时间内 都有平衡式 容器内的盐的改变量 流进的盐量 流出的盐量 在t t t时间段考虑容器内含盐量变化情况 对应的盐的改变量 y y t t y t 流进盐量 流出盐量 3 t 2 3 t y t 100 所以 y 6 3 y t 100 t y t 6 3 y t 100 令 t 0 得微分方程y 6 3y 100 且y 0 50利用分离变量法 可求出通解为y 200 ce 3t 100 由初始条件y 0 50 代入得c 150 所以容器含盐量的变化规律为 y 200 150e 3t 100 当t 30分钟 y 30 139克 上述过程中 为什么要令 t 0 微元分析法的建模特点在建立关于函数y y t 的微分方程时 常常让自变量在 t t t 的微小区间内活动 区间长度 t也可记作dt 称为微元 而方程两端通常用来描述函数y从t t t的改变量 左 y y t t y t 函数增量右 f t y t t 利用问题所涉及的相关知识 将函数值在 t t t 内的改变量用 t的一次形式近似表示出来 则 y t f t y t 令 t 0 得微分方程dy dt f t y t 由于我们描述的函数常常以时间为自变量 因此 用微元分析法建立的微分方程的左端项dy dt的实际含义通常可理解为 速率 即函数相对于时间的变化率 如 移动速率 温度的冷却速率 化学反应速率 繁殖速率等等 在这个意义上 微元分析法建立的微分方程又称 速率 方程 如上例中 可直接建立盐量改变的速率方程 左 盐量的变化速率 dy dt 右 盐量的流入速率 流出速率则有 y 6 3y 100 一热水瓶内装有100摄氏度的热水 放在约20摄氏度的房间内 在24小时后 测得瓶内温度为50摄氏度 假定冷却的速率与温差成正比 试描述热水瓶温度的变化过程 并求出3小时后温度为多少 热水的冷却过程 解 设t时刻热水瓶内对应的温度为y t y 0 100 单位 摄氏度 由冷却定律 t时刻的冷却速率和当时热水瓶内温度与室内温度差成正比 设比例常数为k 则dy dt k y 20 易求得通解y t cekt 20 由条件y 0 100 得c 80 和y 24 50 得k 0 0409 所以y t 20 80e 0 0409t 当t 3小时 y 3 90 y t 20 80e 0 0409t 小时 摄氏度 湖水污染与净化某工厂常年向一河流排污 该河流径直流过附近的一个很大湖泊 湖泊的容积q约为1015升 且湖泊的水位几乎终年保持不变 在给出合理的假设条件下 回答下列问题 1 现环保部门在检测湖水质量时 发现湖水污染物的浓度p 0 03mol 升 并呈逐年上升趋势 而该工厂声称其每年向河流中排放污染物为m 1 0 1012mol 年 且开工至今以来从未改变 已知河流的流v为1 9 1014升 年 假设该声称属实 并且该河流为湖泊唯一水源 试推测该河流中还有其他未知污染源吗 2 若该工厂是湖泊的唯一污染源 按环保要求 湖水的污染物浓度不得超过0 001mol 升 则关闭该工厂 通过自然净化 至少需要多少年湖水才可能达到环保要求 模型的建立假设 i 流经湖泊的河流只有一条 湖水的水位终年不变 且不考虑蒸发 渗漏等因素 即流入水速和流出水速大致相等 iii 污染物易溶于水 且流入湖后 与湖水混合均匀所需的时间较短 本模型忽略不计 记号 q 湖泊容积 v 河水流速 p 环保部门测定的污染物浓度 m 工厂排污的速率 M 向湖泊排污的速率 包括工厂排污和其它排污 若有的话 设t时刻对应的污染物为y t 记环保部门测定污染物浓度的时刻t 0 y 0 pq 污染物含量单位 mol 则建立微分方程为dy dt M v y q 且y 0 pq 模型求解并分析求解微分方程可简化为dy dt M ky 且y 0 y0 其中k v q y0 pq 利用变量分离法 可求得通解y t M k ce kt 由初始条件y 0 y0 代入c M k pq 所以湖水的污染物含量为y t M k M k pq e kt 问题1的回答假定没有其它污染源 且工厂的声明属实 M m 代入m v q p的具体数值 得y t 5 3 1012 2 5 1013 e 0 19t其函数图象如右 很显然 湖中污染物的含量将呈逐年下降的趋势 这与环保部门监测结果矛盾 所以 没有其它污染源和工厂的声明属实的假定 二者至少有一不真 若工厂的声明属实 则有其它污染源 问题2的回答若已知该工厂是湖泊的唯一污染源 则其声称有假 为了达到湖水的污染物浓度不得超过0 01mol 升 则关闭该工厂对湖水进行自然净化 下面我们描述在自然净化的情况下 湖水污染物含量y t 即上述模型中 M 0的情形 方程变为 dy dt ky 且y 0 pq 其解为 y t pqe kt 即y t 3 1013 e 0 19t 要达到环保部门要求 3 1013 e 0 19t 1015 0 001解不等式 t 18年 可见污染容易 净化较难 左图为浓度变化曲线 年份 浓度 p t 0 03 e 0 19t 化学反应动力学模型在化学反应过程中 通常存在各化学成份的质的变化和量的变化 一般化学学科着重研究各化学成份性质的变化规律 而化学动力学则侧重于研究各化学成份数量的变化过程 一个非常有效的手段就是建立该化学反应的微分方程 其中涉及到化学反应的速率问题 不难理解 参加化学反应的各物质浓度越大 反应速度将越快 常见的如正比速度化学反应模型 即假定化学反应速度与各反应物的浓度成正比 1 一级反应由一分子反应物A生成一分子产物p的反应 A p 设t时刻A的浓度为y t 由正比速度反应的假定 其方程为dy dt kx x 0 x0 初始浓度 其解为 x t x0e kt 其中k称作反应速度常数 它决定各反应速度的快慢 是化学动力学研究的重要参数 2 二级反应由两分子反应物A B生成一分子产物p的反应 A B p 设t时刻A和B的浓度分别为x t y t 由正比速度反应的假定 可建立关于函数x t y t 的微分方程组 dx dt kxy x 0 x0dy dt kxy y 0 y0其解的性态应不难讨论 略 特别地 A与B相同时 其反应式 2A p 设t时刻A的浓度分别为y t 满足 dy dt ky2 y 0 y0 其解为 y t y0 1 ky0t 多级反应 以此类推 3 零级反应若化学反应速度与反应物的浓度无关 即以恒速进行 当反应物的浓度很大时 通常会出现零级反应 其反应物的浓度y t 的微分方程为 dy dt k y 0 y0 其解为