2020届高考数学大二轮复习层级二专题六概率与统计第2讲计数原理二项式定理教学案（理）.docx

(理)第2讲计数原理二项式定理 考情考向高考导航1以实际生活为背景考查计数原理，排列与组合的简单应用，以客观题形式出现，难度中档2考查二项式的通项公式、二项展开式的系数等简单问题，以选择题的形式出现，难度低中档真题体验1(2018全国卷)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)解析：当有1位女生入选时，有CC12(种)，当有2位女生入选时，有CC4(种)，由分类加法计数原理可得不同选法共有12416(种)答案：162(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种B18种C24种 D36种解析：D只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作由此把4份工作分成3份再全排得CA36.3(2018全国卷)5的展开式中x4的系数为()A10 B20C40 D80解析：C5的第k1项为Tk1C2kx103k.令103k4，得k2.x4的系数为C2240.4(2019全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为()A12 B16C20 D24解析：A本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数由题意得x3的系数为C2C4812，故选A.主干整合1排列与组合公式(1)An(n1)(n2)(nm1).(2)C.(3)CC；CCC.(4)CCCC.2二项式定理(1)(ab)nCanCan1bCanrbrCbn，二项展开式的通项Tr1Canrbr.(2)在二项展开式中，CC(r0,1,2，n)(3)CCC2n.(4)相邻项的二项式系数的关系为CCC.热点一计数原理的简单应用题组突破1(2019石家庄质检)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_种解析：五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45种不同的报名方法五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54种获得冠军的可能性答案：45；542(2020大连模拟)现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有_种解析：分两类：第一道工序安排甲时有114312种；第一道工序不安排甲有124324种共有122436种答案：363(2020百校联盟联考)某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有()1234A.9种B18种C12种 D36种解析：B若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有326(种)种植方式；若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6318(种)种植方式(1)在应用分类加法计算原理和分步乘法计算原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化热点二排列与组合的应用数学建模素养数学建模排列组合问题中的核心素养用排列组合解决实际问题的关键是排列组合模型，将实际问题抽象为数学问题，充分体现了“数学建模”的核心素养.例1(1)(2020潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育：“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A120种B156种C188种 D240种解析A当“数”排在第一节时有AA48(种)排法，当“数”排在第二节时有AAA36(种)排法，当“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有AA12(种)排法；若“射”和“御”两门课程排在后三节时有AAA24(种)排法，所以满足条件的共有48361224120(种)排法(2)(2020吉林调研)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)解析法一：只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法由分步乘法计数原理，知共有CCA480(种)选法有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法由分步乘法计数原理，知共有CA180(种)选法所以依据分类加法计数原理知共有480180660(种)不同的选法法二：不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，而没有女生的选法有AC种故至少有1名女生的选法有ACAC840180660(种)答案660(3)(2018浙江卷)从1,3,5,7,9中任取2个数字，从0,2,4,6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)解析CCACCCA7205401 260.答案1 260求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列组合的应用题，通常有以下途径(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数解答计数问题多利用分类讨论思想分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”(1)(2020福州模拟)福州西湖公园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下的两个展区各安排两个人，不同的安排方案共有()A90种 B180种C270种 D360种解析：B可分两步：第一步，甲、乙两个展区各安排一个人，有A种不同的安排方案；第二步，剩下两个展区各两个人，有CC种不同的安排方案，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案的种数为ACC180.故选B.(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种解析：记5件产品为A、B、C、D、E，A、B相邻视为一个元素，先与D、E排列，有AA种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC26336种不同的摆法答案：36热点三二项式定理的应用与特定项有关的问题例21(1)(2020揭阳模拟)已知(x1)5的展开式中常数项为40，则a的值为()A2B2C2 D4解析C5展开式的通项公式为Tk1C(ax)5kk(1)ka5kCx52k，令52k1，可得k3，结合题意可得(1)3a53C40，即10a240，a2.(2)(2019汉中二模)5的展开式中整理后的常数项为_解析510的通项公式：Tr1C()10rrCx5r，令5r0，解得r5.所以常数项C252.答案252展开式中系数的和例22(1)(2020德州调研)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂的项的系数之和为32，则a_.解析设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，a3.答案3(2)(2019宁夏二模)已知(axb)6的展开式中含x4项的系数与含x5项的系数分别为135与18，则(axb)6的展开式中所有项系数之和为()A1 B1C32 D64解析D由二项展开式的通项公式可知含x4项的系数为Ca4b2，含x5项的系数为Ca5b，则由题意可得解得ab2，故(axb)6的展开式中所有项的系数之和为(ab)664，故选D.与二项式定理有关的类型及解法类型解法求特定项或其系数常采用通项公式分析求解系数的和或差常用赋值法近似值问题利用展开式截取部分项求解整除(或余数)问题利用展开式求解(1)(2019石家庄二模)设asin xdx，则6的展开式中常数项是()A160 B160C20 D20解析：A依题意得，a(cos cos 0)2，66的展开式的通项Tr1C(2)6rrC26r(1)rx3r.令3r0，得r3.因此6的展开式中的常数项为C23(1)3160，故选A.(2)(2019兰州二模)已知(x22x3y)5的展开式中x5y2的系数为()A60 B180C520 D540解析：D(x22x3y)5可看作5个(x22x3y)相乘，从中选2个y，有C种选法；再从剩余的三个括号里边选出2个x2，最后一个括号选出x，有CC种选法；所以x5y2的系数为32CC2C540.(3)(2019烟台三模)若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.解析：f(x)x5(1x1)5，它的通项为Tk1C(1x)5k(1)k，T3C(1x)3(1)210(1x)3，a310.答案：10限时40分钟满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1(2020济宁模拟)从4台甲型装载机和5台乙型装载机中任意取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型装载机各一台，则不同的取法共有()A84种 B80种C70种 D35种解析：C根据题意可分为以下2种情况进行考虑：(1)甲型装载机2台和乙型装载机1台，取法有CC30种；(2)甲型装载机1台和乙型装载机2台，取法有CC40种所以不同的取法共有304070种2(2019唐山二模)用两个1，一个2，一个0可组成不同四位数的个数是()A18 B16C12 D9解析：D若把两个1看作不同的数，先安排0有3种情况，安排第2个数有3种情况，安排第3个数有2种情况，安排第4个数有1种情况，一共有332118种情况，由于有两个1，所以其中一半重复，故有9个四位数3(全国卷)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()A80 B40C40 D80解析：C由(2xy)5展开式的通项公式：Tr1C(2x)5r(y)r可得：当r3时，x(2xy)5展开式中x3y3的系数为C22(1)340当r2时，y(2xy)5展开式中x3y3的系数为C23(1)280，则x3y3的系数为804040.本题选择C选项4(2020合肥调研)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有()A250个 B249个C48个 D24个解析：C当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A24(个)；当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A24(个)由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有242448(个)，故选C.5(2020龙岩模拟)若n的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数是()A462 B462C792 D792解析：Dn的展开式中只有第7项的二项式系数最大，n为偶数，展开式共有13项，则n12.12的展开式的通项公式为Tk1(1)kCx122k，令122k2，即k5.展开式中含x2项的系数是(1)5C792.6(2019渭南二模)已知n(nN*)展开式中所有项的系数的和为243，则该展开式中含项的系数为()A20 B20C640 D640解析：An(nN*)展开式中所有项的系数的和为3n243，n5，故n5，它的展开式的通项公式为Tr1C(1)r45rx.令2，得r4，展开式中含项的系数为C420.7现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同的取法种数是()A135 B172C189 D162解析：C由题意，不考虑特殊情况有C种取法，其中每一种卡片各取3张有4种取法，两张红色卡片共有CC种取法，故所求的取法种数为C4CC189，选C.8(2020惠州二调)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为()A6 B12C18 D19解析：D在物理、政治、历史中选一科的选法有CC9(种)；在物理、政治、历史中选两科的选法有CC9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有1种所以学生甲的选考方法共有99119(种)，故选D.9(2020成都诊断)已知x5(x3)3a8(x1)8a7(x1)7a1(x1)a0，则7a75a53a3a1()A16 B8C8 D16解析：B对x5(x3)3a8(x1)8a7(x1)7a1(x1)a0两边求导，得5x4(x3)33x5(x3)28a8(x1)77a7(x1)6a1，令x0，得08a87a7a1，令x2，得5(2)4(23)33(2)5(23)28a87a72a2a1，两式左右分别相加，得162(7a75a53a3a1)，即7a75a53a3a18，选B.10(2020郑州模拟)5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有()A25种 B60种C90种 D150种解析：D因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，所以共有两种方法：一，一个单位1名，其他两个单位各2名，有A90(种)分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，有CA60(种)分配方法，共有9060150(种)分法，故选D.11(2019江西上饶三模)已知m3cosdx，则(x2y3z)m的展开式中含xm2yz项的系数等于()A180 B180C90 D15解析：B由于m3cosdx3sin xdx(3cos x) 6，所以(x2y3z)m(x2y3z)6(x2y)3z6，其展开式的通项为C(x2y)6k(3z)k，当k1时，展开式中才能含有x4yz项，这时(x2y)5的展开式的通项为Cx5S(2y)S，当S1时，含有x4y项，系数为10，故(x2y3z)6的展开式中含x4yz项的系数为C(10)3180.12(2019潍坊三模)为迎接建国七十周年，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为()A720 B768C810 D816解析：B由题意知结果有三种情况(1)甲、乙、丙三名同学全参加，有CA96(种)情况，其中甲、乙相邻的有CAA48(种)情况，所有当甲、乙、丙三名同学全参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻的有964848(种)情况；(2)甲、乙、丙三名同学恰有一人参加，不同的朗诵顺序有CCA288(种)情况；(3)甲、乙、丙三名同学恰有二人参加时，不同的朗诵顺序有CCA432(种)情况则选派的4名学生不同的朗诵顺序有28843248768(种)情况，故选B.二、填空题(本大题共4小