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1 5 3定积分的概念 通过求曲边梯形的面积 汽车行驶的路程 了解定积分的背景 借助于几何直观体会定积分的基本思想 了解定积分的概念 能用定义求简单的定积分 本节重点 定积分的定义与性质 本节难点 定积分定义的理解 1 定积分定义中 关于区间 a b 的分法是任意的 不一定是等分 只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以 采用等分的方式是为了便于作和 关于 i的取法也是任意的 实际在用定积分的定义计算定积分时为了方便 常把 i都取为每个小区间的左 或右 端点 2 定积分的几何意义即由直线x a x b x轴和曲线y f x 围成的曲边梯形的面积 从定积分的几何意义不难理解定的积分性质 即曲边梯形面积的和与差 1 定积分的概念 定积分的性质 称为定积分的线性性质 定积分的性质 称为定积分对积分区间的可加性 这个性质表明 求f x 在区间 a b 上的定积分 可以通过f x 在区间 a c 与 c b 上的定积分去实现 点评 求定积分的四个步骤 分割 近似代替 求和 取极限 关键环节是求和 体现的基本思想就是先分后合 化曲为直 通过取极限 形成整体图形的面积 分析 由于所给定积分为曲线y x3 3x与x 1 x 1及y 0围成的曲边梯形面积 故由定义可求 但注意被积函数及积分上 下限特点可采用几何意义解决 解析 y x3 3x为 1 1 上的奇函数 图象关于原点对称 曲边梯形在x轴上方部分面积与在x轴下方部分面积相等 由积分的几何意义知 x3 3x dx 0 点评 当曲边梯形在x轴下方时 积分值为负 在x轴上方时 积分值为正 故定积分的几何意义是在区间 a b 上 曲线与x轴所围成图形的面积的代数和 解析 1 由直线x 1 x 3 y 0以及y 3x 1所围成的图形 如图所示 分析 由题目可获取以下主要信息 被积函数形式上较为复杂 积分的上 下限明确 解答本题可先根据积分的几何意义求出相关函数的定积分 再根据定积分的性质进行加减运算 解析 1 如图 例4 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积 点评 用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的步骤是 1 准确画出各曲线围成的平面区域 2 把平面区域分割成容易表示的几部分 同时要注意x轴下方有没有区域 3 解曲线组成的方程组 确定积分的上 下限 4 根据积分的性质写出结果 一 选择题1 求由曲线y ex 直线x 2 y 1围成的曲边梯形的面积时 若选择x为积分变量 则积分区间为 a 0 e2 b 0 2 c 1 2 d 0 1 答案 b 2 下列式子中不成立的是 答案
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