高中数学 3.3.2函数的极值与导数精品课件同步导学 新人教A版选修11.ppt

3 3 2函数的极值与导数 1 理解极值的有关概念 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 3 会用导数求函数的极大值和极小值 1 利用导数求函数的极大值 极小值 重点 2 本课时内容常与单调性 最值等综合命题 3 导数等于0的点与极值点的关系 易混点 横看成岭侧成峰 远近高低各不同 说的是庐山的高低起伏 错落有致 在群山之中 各个山峰的顶端 显然不一定是群山的最高处 但它却是其附近的最高点 那么 在数学上 这种现象如何来刻画呢 1 极值点与极值概念 f x0 f x f x0 f x y极大植 f x0 y极小值 f x0 极大值点与极小值点 x0 2 求可导函数y f x 的极值的步骤 1 求导数f x 2 求方程的所有实数根 3 判断 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极小值 f x 0 1 下列结论中 正确的是 a 导数为零的点一定是极值点b 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是极大值答案 b 2 函数y 1 3x x3有 a 极小值 2 极大值2b 极小值 2 极大值3c 极小值 1 极大值1d 极小值 1 极大值3解析 y 3 3x2 3 1 x 1 x 令y 0 得x1 1 x2 1 当x 1时 y 0 函数y 1 3x x3是减函数 当 1 x 1时 y 0 函数y 1 3x x3是增函数 当x 1时 y 0 函数y 1 3x x3是减函数 所以当x 1时 函数y 1 3x x3有极小值 1 当x 1时 函数y 1 3x x3有极大值3 故选d 答案 d 答案 13 解题过程 1 y 4x3 4x 4x x 1 x 1 令y 0 解得x1 0 x2 1 x3 1 当x变化时 y y的变化情况如下表 题后感悟 1 求可导函数f x 极值的步骤 求函数的导数f x 令f x 0 求出全部的根x0 列表 方程的根x0将整个定义域分成若干个区间 把x f x f x 在每个区间内的变化情况列在这个表格内 判断得结论 若导数在x0附近左正右负 则在x0处取得极大值 若左负右正 则取得极小值 2 注意事项 不要忽略函数的定义域 要正确地列出表格 不要遗漏区间和分界点 已知函数y ax3 bx2 当x 1时 有极大值3 1 求a b的值 2 求函数y的极小值 先求导数f x 然后根据极值列出关于a b的方程组 求解a b 2 f x 18x2 18x 18x x 1 8分当f x 0时 x 0或x 1 当f x 0时 01 10分 函数f x 6x3 9x2的极小值为f 0 0 12分 题后感悟 已知函数极值情况 逆向应用确定函数的解析式 进而研究函数性质时 注意两点 1 常根据极值点处导数为0和已知极值 或极值之间的关系 列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 2 已知函数f x x5 ax3 bx 1 仅当x 1 x 1时取得极值 且极大值比极小值大4 1 求a b的值 2 求f x 的极大值和极小值 解析 1 f x x5 ax3 bx 1的定义域为r f x 5x4 3ax2 b x 1时有极值 5 3a b 0 b 3a 5 考查f x f x 随x的变化情况 2 a 1 b 2 f x x5 x3 2x 1 f x 的极大值f x 极大 f 1 3 f x 的极小值f x 极小 f 1 1 已知a为实数 函数f x x3 3x a 1 求函数f x 的极值 并画出其图象 草图 2 当a为何值时 方程f x 0恰好有两个实数根 策略点睛 解题过程 1 由f x x3 3x a 得f x 3x2 3 令f x 0 得x 1或x 1 当x 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 所以函数f x 的极小值为f 1 a 2 极大值为f 1 a 2 由单调性 极值可画出函数f x 的大致图象 如图所示 这里 极大值a 2大于极小值a 2 2 结合图象 当极大值a 2 0时 有极小值小于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰有两个实数根 所以a 2满足条件 当极小值a 2 0时 有极大值大于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰好有两个实数根 所以a 2满足条件 综上 当a 2时 方程恰有两个实数根 题后感悟 1 如何利用导数画函数的大致图象 求出函数的极值点和极值 结合函数的单调性及x 时 f x 值的变化趋势 可画出函数的大致图象 2 如何利用导数判断方程根的个数 用求导的方法确定方程根的个数 是一种很有效的方法 它通过函数的变化情况 运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数 从而判断方程根的个数 3 已知f x x3 bx2 cx 2 1 若f x 在x 1时有极值 1 求b c的值 2 在 1 的条件下 若函数y f x 的图象与函数y k的图象恰有三个不同的交点 求实数k的取值范围 1 函数极值的理解 1 函数的极值是函数的局部性质 它反映了函数在某一点附近的大小情况 2 在一个给定的区间上 函数可能有若干个极值点 也可能不存在极值点 函数可以只有极大值 没有极小值 或者只有极小值没有极大值 也可能既有极大值 又有极小值 3 极大值不一定比极小值大 极小值也不一定比极大值小 2 求可导函数f x 极值的步骤 1 确定函数的定义域 2 求导数f x 3 求方程f x 0的所有实数根 4 检查f x 在方程根左右的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 特别提醒 导数为零的点是该点为极值点的既不充分也不必要条件 其充分条件是在这点连续且这点两侧的导数异号 举例如下 导数为0是极值点 f x x2 f 0 0 x 0是极小值点 导数为0但不是极值点 f x x3 f 0 0 x 0不是极值点 已知f x x3 3ax2 bx a2在x 1时有极值0 求常数a b的值 错因 根据极值的定义 函数先减后增为极小值 函数先增后减为极