高考数学一轮复习 第二章 第3讲 函数的奇偶性及周期性资料（艺术班）.doc

第二章函数、导数及其应用第3讲 函数的奇偶性及周期性一、必记2个知识点1函数的奇偶性奇偶性定义图像特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数t，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xt)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称t为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期二、必明3个易误区1判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(x)f(x)，而不能说存在x0使f(x0)f(x0)、f(x0)f(x0)3分段函数奇偶性判定时，f(x0)f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的三、必会2个方法1判断函数奇偶性的两个方法(1)定义法：(2)图像法：2周期性常用的结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则t2a；(2)若f(xa)，则t2a；(3)若f(xa)，则t2a.(a0)考点一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性(1)f(x)； (2)f(x)；(3)f(x)3x3x； (4)f(x)；(5)f(x)解：(1)由得x1，f(x)的定义域为1,1又f(1)f(1)0，f(1)f(1)0，即f(x)f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数(2)函数f(x)的定义域为，不关于坐标原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(3)f(x)的定义域为r，f(x)3x3x(3x3x)f(x)，所以f(x)为奇函数(4)由得2x2且x0.f(x)的定义域为2,0)(0,2，f(x)，f(x)f(x)，f(x)是奇函数(5)易知函数的定义域为(，0)(0，)关于原点对称，又当x0时，f(x)x2x，则当x0，故f(x)x2xf(x)；当x0时，x0时， f(x) x2，则f(1)()a2b0c1 d2(2)已知奇函数f(x)的定义域为2,2，且在区间2,0上递减，求满足f(1m)f(1m2)0时，f(x)x2，f(1)122.f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.答案a解(2)f(x)的定义域为2,2，解得1m.又f(x)为奇函数，且在2,0上递减，f(x)在2,2上递减，f(1m)m21，即2m1. 综合可知，1m1m.即m1或m2.由例(2)知10时，由f(a)f(2)可得a2，当a0时，由f(a)f(2)f(2)，可得a2.所以实数a的取值范围是(，22，)答案：(，22，)考点三函数的周期性及其应用典例定义在r上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 012)()a335 b338c1 678 d2 012解析由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338.答案b 类题通法函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f(xt)f(x)(t0)便可证明函数是周期函数，且周期为t，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若t是函数的周期，则kt(kz且k0)也是函数的周期针对训练设f(x)是定义在r上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x2)f(x)当x0,2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2,4时，求f(x)的解析式解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)是周期为4的周期函数(2)x2,4，x4，2，4x0,2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8.又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2,4课后作业 试一试1(2013广东高考)定义域为r的四个函数yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函数的个数是()a4b3c2 d1解析：选c由奇函数的概念可知，yx3，y2sin x是奇函数2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab 的值是()a b.c. d解析：选bf(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a.又f(x)f(x)，b0，ab.练一练3已知定义在r上的函数f(x)满足f(x)f，且f(1)2，则f(2 014)_.解析：f(x)f，f(x3)fff(x)f(x)是以3为周期的周期函数则f(2 014)f(67131)f(1)2.答案：24设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f()abc. d.解析：选af(x)是周期为2的奇函数，ffff2.做一做5(2014大连测试)下列函数中，与函数y3|x|的奇偶性相同，且在(，0)上单调性也相同的是()ay bylog2|x|cy1x2 dyx31解析：选c函数y3|x|为偶函数，在(，0)上为增函数，选项b的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项c符合要求6设函数f(x)x3cos x1.若f(a)11，则f(a)_.解析：观察可知，yx3cos x为奇函数，且f(a)a3cos a111，故a3cos a10.则f(a)a3cos a11019.答案：97若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：法一：f(x)f(x)对于xr恒成立，|xa|xa|对于xr恒成立，两边平方整理得ax0对于xr恒成立，故a0.法二：由f(1)f(1)，得|a1|a1|得a0.答案：08设定义在2,2上的偶函数f(x)在区间2,0上单调递减，若f(1m)f(m)，求实数m的取值范围解：由偶函数性质知f(x)在0,2上单调递增，且f(1m)f(|1m|)，f(m)f(|m|)，因此f(1m)f(m)等价于解得：0在1,3上的解集为()a(1,3) b(1,1)c(1,0)(1,3) d(1,0)(0,1)解析：选cf(x)的图像如图当x(1,0)时，由xf(x)0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)10设函数f(x)是定义在r上的偶函数，且对任意的xr恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)1x，则：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数f(x)