数列的概念与简单表示法(优秀课件).pptx

第二章数列 2 1数列的概念与简单表示法 1 人们在1740年发现了一颗彗星 并推算出这颗彗星每隔83年出现一次 那么从发现那次算起 这颗彗星出现的年份依次为 2 一尺之棰 日取其半 万世不竭 的意思为 一尺长的木棒 每日取其一半 永远也取不完 如果将 一尺之棰 视为一份 那么每日剩下的部分依次为 1 考察下面的问题 1740 1823 1960 1989 2072 问题创设 古希腊毕达哥拉斯学派数学家曾研究过三角形数 1 3 6 10 类似地 1 4 9 16 25 被称为正方形数 这些数有什么共同特点 一 数列的概念 按一定次序排列的一列数叫做数列 思考1 拿 1 2 3 这三个数来排 能排出几个数列 例如 三角形数1 3 6 10 正方形数1 4 9 16 1 2 32 1 33 1 21 3 22 3 13 2 1 注意 每个数列中的数都有特定的顺序 但不一定要有特殊的规律 一 数列的概念 按一定次序排列的一列数叫做数列 注 数列中的每一个数都叫做这个数列的项 各项依次叫做这个数列的第1项 或首项 第2项 第n项 我们常把数列的一般形式写成a1 a2 a3 an n N 简记作 an 例如 若用 an 来表示 2 1 3 这个数列 则a2 1 思考2 能不能把数列 2 1 3 记为 2 1 3 不行 2 1 3 是一个集合 集合中的元素是没有顺序的 一 数列的概念 按一定次序排列的一列数叫做数列 注 数列中的每一个数都叫做这个数列的项 各项依次叫做这个数列的第1项 或首项 第2项 第n项 我们常把数列的一般形式写成a1 a2 a3 an n N 简记作 an 思考3 an 与an的意思一样吗 an 表示一个数列 a1 a2 a3 an an表示数列 an 中的第n项 各项都相等的数列从第2项起 有些项大于它的前一项 有些项小于它的前一项的数列 二 数列的分类 1 以项数来分类 1 有穷数列 2 无穷数列 2 以各项的大小关系来分类 1 递增数列 2 递减数列 3 常数列 4 摆动数列 项数有限的数列项数无限的数列 对任意n N 总有an 1 an 或an 1 an 0 对任意n N 总有an 1 an 或an 1 an 0 从第2项起 每一项都大于它的前一项的数列 从第2项起 每一项都小于它的前一项的数列 思考 观察下列数列的特点 用适当的数填空 并猜想这些数列的第n项an是什么 1 1 9 16 25 49 2 2 4 16 32 128 3 1 1 1 1 1 1 4 36 8 64 1 1 1 2 2 2 3 1 1或 1 1 三 数列的通项公式 如果数列 an 的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式就叫做这个数列的通项公式 简称通项 例如 an n2就是数列1 4 9 16 的一个通项公式 注意 通项公式的主要作用是 知序号可求项 如 数列 n2 的第11项是 一些数列的通项公式不是唯一的 如 数列1 1 1 1 不是每一个数列都能写出它的通项公式 如 1 24 8 3 19 121 例1 试写出下面数列的一个通项公式 使它的前4项分别是下列各数 变题 4 6 8 10 变题 3 1 1 3 1 2 4 6 8 2 1 3 5 7 an 2n an 2n 2 an 2n 1 an 2n 5 变题 5 55 555 5555 4 9 99 999 9999 1 2 2 2 2 3 2 0 2 0 拓展 试写出下面数列的一个通项公式 使它的前4项分别是下列各数 练习 课本P31第1 4题 an an an 小结 观察法求通项公式 1 常见数列 正整数列 奇数列 偶数列 平方数列 三角形数列 2 分数列 观察分子 分母的特点 3 指数数列 观察底数 指数的特点 4 各项符号一正一负 或 例1 已知数列 an 的通项公式是an n2 4n 1 1 写出这个数列的前4项 2 你能判断出这个数列哪一项最大吗 为什么 注意 an n2 4n 1可看成以n为自变量的一个函数 2 an n2 4n 1 n 2 2 3 当n 2时 an取到最大值3 思考 上述数列的通项an n2 4n 1与函数f x x2 4x 1有什么不同 3 13是这个数列中的项吗 递增数列 递减数列 对任意n N 总有an 1 an 或an 1 an 0 对任意n N 总有an 1 an 或an 1 an 0 例2 已知数列 an 的通项公式为an n2 n 其中n N 求证 an 是个递增数列 证明 对任意n N an 1 an n 1 2 n 1 n2 n 2n 2 0 an 是个递增数列 四 数列与函数的关系 从函数的观点看 数列可以看成以正整数集N 或它的有限子集 1 2 n 为定义域的函数an f n 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时 所对应的一列函数值 数列的其他表示方法 如 数列2 4 6 2n 列表法 图象法 例4 下图中的三角形称为谢宾斯基三角形 在下图4个三角形中 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项 请写出这个数列的一个通项公式 并在直角坐标系中画出它的图象 1 2 3 4 思考 如果一个数列 an 的首项a1 1 从第2项起每一项都等于它的前一项的2倍再加1 即an 2an 1 1 n 2 则该数列的第5项是什么 已知数列 an 的第1项 或前几项 且任意一项an与前一项an 1 或前几项 间的关系可以用一个公式来表示 那么这个公式叫做数列的递推公式 练习 试写出数列1 3 6 10 的一个递推公式 练习 写出下列数列 an 的前5项 1 a1 5 an an 1 3 n 2 2 a1 2 an 2an 1 n 2 思考 你能否利用上面两题的条件求出数列 an 的通项公式 1 5 8 11 14 17 2 2 4 8 16 32 总结 检测反馈 1 根据数列的通项公式填表 21 69 12 2 基础题组 2 下面对数列的理解有四种 数列可以看成一个定义在上的函数 数列的项数是无限的 数列若用图象表示 从图象上看都是一群孤立的点 数列的通项公式是唯一的 其中说法正确的序号是 A B C D C 3 在数列1 2 3 5 8 x 21 34 55