不等式的证明第一讲.doc

用“比较法”证明不等式第一课时 作差比较法教学目标1、使学生理解、掌握如何应用比较法证明不等式；2、培养学生应用转化、分类讨论等数学思想，提高分析问题、解决问题能力；3、培养学生的思维品质-思维的严谨性、灵活性、深刻性。教学重、难点重点：如何应用作差比较法证明不等式；难点：作差后，如何对“差式”进行适当变形，并准确判断符号。教学准备多媒体课件教学过程设计（一）、复习提问1、不等式的含义答：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫做不等式。例如2x2y2xy，sinx1，ax0 ，5x3，10x5等 。 不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号“”、小于号 “”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号“”）、不大于号（小于或等于号“”）连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。2、不等式有哪些性质？对称性传递性可加性；可乘性，可乘方、开方性，3、比较两数大小的一般方法有那些？作差变形判断（与0比较）；作商变形判断（与1比较）。（二）、课题引入什么是不等式证明？如何利用作差法证明不等式呢？我们举例说明例1 求证：（2x+1）（3x-2）（5x9）（x-2）分析：这道题含义是对任意实数x，这个不等式都成立，那么如何证明这个不等式呢？（求差）证明：（2x1）（3x-2）-（5x+9）（x-2）（6x2-x-2）-（5x2-x-18）x2+16160，（2x-1）（3x-2）（5x+9）（x-2）。注：这种证明的理论依据是：a-b0 ab a-b0 ab a-b=0 a=b（三）、问题探究1、利用配方法对差试进行等价变形，从而完成不等式的证明。例2 求证：x233x学生练习：、求证a2+3b22b(a+b) 、求证a2+b2+22a+2b证明：、因为a2+3b2-2b(a+b) 、因为a2+b2+2-2a-2b = a2+3b2-2ab-2b2 =（a2-2a+1）+（b2-2b+1） = a2-2ab+b2=(a-b)20 =(a-1)2+(b-1)20 所以a2+3b22b(a+b) 所以a2+b2+22a+2b2、利用因式分解法对差试进行等价变形，从而完成不等式的证明。例3 已知：a，bR求证：a5b5a3b2a2b3分析：道题含义是对于a，b属于任意正实数，不等式都成立。同学们思考如何用比较法证明。证明：因为a5b5-a3b2-a2b3=（a5-a3b2）-（a2b3-b5）=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）=（ab）（a-b）2（a2+ab+b2）又a，bR+，则ab0又a2abb20，（a-b）20，所以（ab）（a-b）2（a2abb2）0，即a5b5a3b2a2b3学生练习：已知a、b是正数，且ab,求证a3+b3a2b+ab2证明：因为a3+b3-a2b-ab2=(a3-a2b)-(ab2-b3)= a2(a-b)-b2(a-b)= (a-b)(a2-b2)= (a-b)2(a+b)又因a、b是正数，且ab,所以(a-b)2 0，(a+b) 0即(a-b)2(a+b) 0 所以a3+b3a2b+ab23、利用通分的思路对差试进行等价变形，从而完成不等式的证明。分析：这道题含义是对任意实数x，不等式都成立，但应该考虑左式分式有意义的条件，只不过在这道题中于对任意实数x，不等式都是成立的。学生练习：、已知a2, 1， 、已知a,b,m都是正数，并且ab,求证证明：因为-1= =，又因为a2，所以-（a-2）20,即0,所以1、因为= =，由于a,b,m都是正数，并且ab,所以b-a0,b+m0, 因而0，即（四）归纳、小结这节课我们主要学习了用求差比较法证明不等式，它是不等式证明中最基本、最重要的证明方法，用这种方法的证明的理论依据是：a-b0 ab a-b0 ab a-b=0 a=b可以归纳为：（1）求差；（2）变形；（3）判断符号三步骤。并灵活运用了配方、因式分解和通分进行等价转化，从而达到证明的目的。因此，理解转化、使问题简化是求差比较法证明不等式中所蕴含的重要数学