高三数学高考应考宝典三：课本回扣篇立体几何课件.ppt

1 一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正 主 视图下面 长度与正 主 视图一样 侧 左 视图放在正 主 视图右面 高度与正 主 视图一样 宽度与俯视图一样 即 长对正 高平齐 宽相等 在画一个物体的三视图时 一定注意实线与虚线要分明 2 简单几何体的表面积和体积 1 s直棱柱的侧面积 c h c为底面的周长 h为高 2 s正棱锥侧 c为底面周长 h 为斜高 第7讲立体几何与空间向量 3 s正棱台侧 c c h c与c 分别为上 下底面周长 h 为斜高 4 圆柱 圆锥 圆台的侧面积公式s圆柱侧 2rl r为底面半径 l为母线 s圆锥侧 rl 同上 s圆台侧 r r l r r分别为上 下底的半径 l为母线 5 体积公式 v柱 s h s为底面面积 h为高 v锥 s h s为底面面积 h为高 v台 s s h s s 为上 下底面面积 h为高 6 球的表面积和体积s球 4r2 v球 r3 3 空间直线的位置关系 相交直线 有且只有一个公共点 平行直线 在同一平面内 没有公共点 异面直线 不在同一平面内 也没有公共点 如 1 空间四边形abcd中 e f g h分别是四边上的中点 则直线eg和fh的位置关系 2 给出下列四个命题 异面直线是指空间既不平行又不相交的直线 两异面直线a b 如果a平行于平面 那么b不平行平面 两异面直线a b 如果a 平面 那么b不垂直于平面 两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 其中正确的命题是 相交 4 异面直线的判定 反证法 如 1 a b为异面直线 是指 a b 但a不平行于b a 面 b 面且a b a 面 b 面且 a 面 b 面 不存在平面 能使a 面且b 面成立 上述结论中 正确的是 2 在空间四边形abcd中 m n分别是ab cd的中点 设bc ad 2a 则mn与a的大小关系是 3 若e f g h顺次为空间四边形abcd四条边ab bc cd da的中点 且eg 3 fh 4 则ac2 bd2 mn a 50 4 如果a b是异面直线 p是不在a b上任一点 下列四个结论 过点p一定可以作直线l与a b都相交 过点p一定可以作直线l与a b都垂直 过点p一定可以作平面与a b都平行 过点p一定可以作直线l与a b都平行 其中正确的结论是 5 如果两条异面直线称作一对 那么正方体的十二条棱中异面直线的对数为 5 异面直线所成角的求法 1 范围 2 求法 计算异面直线所成角的关键是平移 中点平移 顶点平移以及补形法 把空间图形补成 24 熟悉的或完整的几何体 如正方体 平行六面体 长方体等 以便易于发现两条异面直线间的关系 转化为两相交直线的夹角 如正四棱锥p abcd的所有棱长相等 e是pc的中点 那么异面直线be与pa所成的角的余弦值等于 3 在正方体ac1中 m是侧棱dd1的中点 o是底面abcd的中心 p是棱a1b1上的一点 则op与am所成的角的大小为 4 已知异面直线a b所成的角为50 p为空间一点 则过p且与a b所成的角都是30 的直线有且仅有条 5 若异面直线a b所成的角为且直线c a 则异面直线b c所成角的范围是 90 2 6 两直线平行的判定 1 定理4 平行于同一直线的两直线互相平行 2 线面平行的性质 如果一条直线和一个平面平行 那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行 3 面面平行的性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 那么它们的交线平行 4 线面垂直的性质 如果两条直线都垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 7 两直线垂直的判定 1 转化为证线面垂直 2 三垂线定理及逆定理 8 直线与平面的位置关系 1 直线在平面内 2 直线与平面相交 其中 如果一条直线和平面内任何一条直线都垂直 那么这条直线和这个平面垂直 注意 任一条直线并不等同于无数条直线 3 直线与平面平行 其中直线与平面相交 直线与平面平行都叫作直线在平面外 如 下列命题中 正确的是 a 若直线a平行于平面内的一条直线b 则a b 若直线a垂直于平面的斜线b在平面内的射影 则a bc 若直线a垂直于平面 直线b是平面的斜线 则a与b是异面直线d 若一个棱锥的所有侧棱与底面所成的角都相等 且所有侧面与底面所成的角也相等 则它一定是正棱锥 正方体abcd a1b1c1d1中 点p在侧面bcc1b1及其边界上运动 并且总保持ap bd1 则动点p的轨迹是 d 线段b1c 9 直线与平面平行的判定和性质 1 判定 判定定理 如果平面外一条直线和这个平面的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 面面平行的性质 若两个平面平行 则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行 2 性质 如果一条直线和一个平面平行 那么经过这条直线的平面和这个平面相交的交线和这条直线平行 在遇到线面平行时 常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面 以便运用线面平行的性质 如表示平面 a b表示直线 则a 的一个充分不必要条件是 a b 且a b c a b且b d 且 d 10 直线和平面垂直的判定和性质 判定 1 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 那么这条直线和这个平面垂直 2 两条平行线中有一条直线和一个平面垂直 那么另一条直线也和这个平面垂直 性质 1 如果一条直线和一个平面垂直 那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直 2 如果两条直线都垂直于同一个平面 那么这两条直线平行 如 如果命题 若x y y z 则x z 不成立 那么字母x y z在空间所表示的几何图形一定是 已知a b c是直线 是平面 下列条件中能得出直线a 平面的是 a a b a c其中c d a b b a b b d x y是直线 z是平面 11 直线和平面所成的角 1 定义 平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫这条直线和这个平面所成的角 2 范围 0 90 3 求法 作出直线在平面上的射影 4 斜线与平面所成的角的特征 斜线与平面中所有直线所成角中最小的角 12 平面与平面的位置关系 1 平行 没有公共点 2 相交 有一条公共直线 13 两个平面平行的判定和性质 判定 如果一个平面内有两条相交直线和另一个平面平行 则这两个平面平行 性质 如果两个平行平面同时与第三个平面相交 那么它们的交线平行 如 1 是两个不重合的平面 在下列条件中 不能判定平面的条件是 a m n是内一个三角形的两条边 且b 内有不共线的三点到的距离都相等c 都垂直于同一条直线ad m n是两条异面直线 b 2 给出以下六个命题 垂直于同一直线的两个平面平行 平行于同一直线的两个平面平行 平行于同一平面的两个平面平行 与同一直线成等角的两个平面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行 则这两个平面平行 两个平面分别与第三个平面相交所得的两条交线平行 则这两个平面平行 其中正确的序号是 14 二面角 1 平面角的三要素 顶点在棱上 角的两边分别在两个半平面内 角的两边与棱都垂直 2 作平面角的主要方法 定义法 直接在二面角的棱上取一点 特殊点 分别在两个半平面内作棱的垂线 得出平面角 用定义法时 要认真观察图形的特性 三垂线法 过其中一个面内一点作另一个面的垂线 用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角 垂面法 过一点作棱的垂面 则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角 3 二面角的范围 0 4 二面角的求法 转化为求平面角 面积射影法 利用面积射影公式s射 s原 cos 其中为平面角的大小 对于一类没有给出棱的二面角 应先延伸两个半平面 使之相交出现棱 然后再选用上述方法 尤其可考虑面积射影法 如 正方体abcd a1b1c1d1中 二面角b a1c1 a的大小为 将 a为60 的菱形abcd沿对角线bd折叠 使a c的距离等于bd 则二面角a bd c的余弦值是 60 15 两个平面垂直的判定和性质 1 判定 判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线 那么这两个平面互相垂直 定义法 即证两个相交平面所成的二面角为直二面角 2 性质 如果两个平面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 如 三个平面两两垂直 它们的交线交于一点o p到三个面的距离分别为3 4 5 则op的长为 在四棱锥p abcd中 pa 底面abcd 底面各边都相等 m是pc上的一动点 当点m满足时 平面mbd 平面pcd 立体几何中平行 垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化 即 线 线 线 面 面 面线 线 线 面 面 面线 线 线 面 面 面如 iii 已知直线l 平面 直线m 平面 给出下列四个命题 其中正确的命题是 判定 性质 bm pc 16 立体几何问题的求解策略是通过降维 转化为平面几何问题 具体方法表现为 1 求空间角 距离 归到三角形中求解 2 对于球的内接外切问题 作适当的截面 既要能反映出位置关系 又要反映出数量关系 如 甲球与某立方体的各个面都相切 乙球与这个立方体的各条棱都相切 丙球过这个立方体的所有顶点 则甲 乙 丙三球的半径的平方之比为 若正四面体的棱长为则此正四面体的外接球的表面积为 已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱 则这一正三棱柱的体积是 1 2 3 17 了解几个重要结论 1 三个平面两两相交得到三条交线 如果其中的两条交线交于一点 那么第三条交线也经过这一点 2 从一点o出发的三条射线oa ob oc 若 aob aoc 则点a在平面 boc上的射影在 boc的平分线上 3 ab和平面所成的角是1 ac在平面内 ac和ab的射影ab 成2 设 bac 3 则cos1cos2 cos3 4 如果两个相交平面都与第三个平面垂直 那么它们的交线也垂直于第三个平面 5 若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则如 长方体中若一条对角线与过同一顶点的三个面中的两个面所成的角为30 45 则与第三个面所成的角为 若一条对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则的关系为 30 6 若正棱锥的侧面与底面所成的角为 则s底 s侧 cos 如若正三棱锥的一个侧面的面积与底面面积之比为则这个三棱锥的侧面和底面所成的二面角等于 7 在三棱锥中 侧棱长相等 侧棱与底面所成角相等 顶点在底上射影为底面外心 侧棱两两垂直 两对对棱垂直 顶点在底上射影为底面垂心 顶点到底面三角形各边的距离相等 侧面与底面所成角相等 且顶点在底面上的射影在底面三角形内 顶点在底上射影为底面内心 60 1 2009 福建文 5 如图 某几何体的正 主 视图与侧 左 视图都是边长为1的正方形 且体积为则该几何体的俯视图可以是 解析当俯视图为a中正方形时 几何体为边长为1的正方体 体积为1 当俯视图为b中圆时 几何体为底面半径为高为1的圆柱 体积为当俯视图为c中的三角形时 几何体为三棱柱 且底面为直角边长为1的等腰直角三角形 高为1 体积为当俯视图为d中扇形时 几何体为圆柱的且体积为答案c 2 如图 abcd a1b1c1d1为正方体 下面结论错误的是 a bd 平面cb1d1b ac1 bdc ac1 平面cb1d1d 异面直线ad与cb1所成的角为60 解析对于a bd b1d1 b1d1 平面cb1d1 bd 平面cb1d1 对于b ac1在平面abcd上的射影是ac 而ac bd ac1 bd 对于c 同b可证ac1 b1d1 ac1 b1c ac1 平面cb1d1 故选d 答案d 3 2008 辽宁文 12 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为棱aa1 cc1的中点 则在空间中与三条直线a1d1 ef cd都相交的直线 a 不存在b 有且只有两条c 有且只有三条d 有无数条解析如图所示 在平面add1a1内延长de与d1a1的延长线相交于一点h 则dh为所求直线 在平面dcc1d1内延长d1f与dc的延长线相交于点g 则d1g为满足条件的直线 取ef的中点o 则a1c一定经过o 这样就找到了满足条件的三条直线 若取dc的中点k oe的中点m a1h的中点n 则k m n三点共线 下面证明这个结论 以d1为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 设正方体的棱长为2 则k 0 1 2 e 2 0 1 o 1 1 1 n 3 0 0 m是oe的中点 kn kn km mn k m n三点共线 即直线kn满足条件 这已找到了四条满足题意的直线 同理还可以找到更多与三条直线a1d1 dc ef相交的直线 答案d 4 已知一个组合体的三视图如图 根据图中的数据计算该组合体的体积为 a b c d 解析由三视图可知此组合体的结构为 上部是一个圆锥 中部是一个圆柱 下部也是一个圆柱 由题中图中的尺寸可知 v圆锥v圆柱 v 圆柱 所以此组合体的体积为答案a 5 已知在棱长为a的正四面体abcd中有一内切球o 设该正四面体的中截面为 则点o到平面的距离为 a b c d 解析 运用等体积法求解 设内切球半径为r 由4vo bcd va bcd 得又正四面体的中截面到底面abc的距离为 点o到平面的距离为故选c c 6 2009 上海文 8 若等腰直角三角形的直角边长为2 则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 解析由题旋转后所得几何体为底面半径为2 高为2的圆锥 所以体积为 7 如图所示 ad 平面bcd bcd 90 cd a 则二面角c ab d的大小为 解析取bd的中点e 连接ce 如图所示 则ce 平面abd 再作ef ab 垂足为f 连接cf 由三垂线定理 得cf ab cfe为二面角c ab d的平面角 由题意 得在rt cef中 cfe 60 故填60 ad bc 60 8 有两个相同的直三棱柱 高为 底面三角形的三边长分别为3a 4a 5a a 0 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱 在所有可能的情形中 全面积最小的是一个四棱柱 则a的取值范围是 解析这是一道动手操作题 可拼成的三棱柱或四棱柱 共有四种情况 需逐一对比 两个相同的直三棱柱并排拼成一个三棱柱或四棱柱 有四种情况 边长为5a的边重合 表面积为24a2 28 边长为4a的边重合 表面积为24a2 32 边长为3a的边重合 表面积为24a2 36 两个相同的直三棱柱竖直放在一起 表面积为12a2 48 表面积最小的是一个四棱柱 12a2 48 24a2 28 答案 9 给出命题 若a与b共线 b与c共线 则a与c共线 向量a b c共面 则它们所在的直线也共面 若a与b共线 则存在唯一的实数 使b a 若a b c三点不共线 o是平面abc外一点 则点m一定在平面abc上 且在 abc内部 上述命题中的真命题是 解析 中b为零向量时 a与c可以不共线 故 是假命题 中a b c所在的直线其实都不确定 故 是假命题 中当a 0 而b 0时 则找不到实数 使b a 故 是假命题 可以证明 中a