2019_2020学年高中数学第3章不等式3.2均值不等式学案新人教B版必修5.docx

3.2均值不等式学 习 目 标核 心 素 养1.了解均值不等式的证明过程2能利用均值不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小(重点、难点)3熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题(重点)1.通过均值不等式的证明过程的学习，体现了学生的逻辑推理的素养2借助利用不等式求最值的学习，培养学生的数学运算的素养.1重要不等式如果a，bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时取“”)2均值不等式(1)均值不等式成立的条件：a0，b0；(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号3算术平均值与几何平均值(1)设a0，b0，则a，b的算术平均值为，几何平均值为；(2)均值定理可叙述为两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值4用均值不等式求最值的规律(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值1若x0，则x的最小值是()A2B3C2D4Dx0，0，x24.当且仅当x，即x2时，等号成立2已知a，bR，且ab0，则下列结论恒成立的是()Aa2b22abBab2CD2D利用均值不等式需注意各数必须是正数，不等式a2b22ab的使用条件是a，bR.对于A，当ab时，a2b22ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab0，所以0，0，所以2，即2恒成立3若0ab且ab1，则下列四个数中最大的是()ABa2b2C2abDaBa2b2(ab)22ab(ab)222.a2b22ab(ab)20，a2b22ab0ab且ab1，a0，y0且xy1，则xy的最大值为_当x0，y0时，xy2，xy2.当且仅当xy时，等号成立利用均值不等式比较大小【例1】(1)已知ma(a2)，n22b2(b0)，则m，n之间的大小关系是()AmnBmq(1)a2，a20.又ma(a2)2，m224，即m4，)由b0得b20，2b22，22b24，即nn.(2)a，b，c互不相等，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac2(a2b2c2)2(abbcac)即a2b2c2abbcac，亦即pq.1在理解均值不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件2运用均值不等式比较大小时应注意成立的条件，即ab2成立的条件是a0，b0，等号成立的条件是ab；a2b22ab成立的条件是a，bR，等号成立的条件是ab1设a0，b0，试比较，的大小，并说明理由解a0，b0，即(当且仅当ab时取等号)，又2，(当且仅当ab时等号成立)，而，故(当且仅当ab时等号成立)不等式的证明【例2】已知a，b，c为正数，且abc1，证明：9.证明332229.当且仅当abc时，等号成立1所证不等式一端出现“和式”，而另一端出现“积式”，这便是应用均值不等式的“题眼”可尝试用均值不等式证明2利用均值不等式证明不等式的策略从已证不等式及问题的已知条件出发，借助不等式的性质及有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”3利用均值不等式证明不等式的注意点(1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；(3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用2已知a0，b0，ab1，求证：9.证明法一：因为a0，b0，ab1，所以112.同理12.故52549.所以9(当且仅当ab时取等号)法二：111，因为a，b为正数，ab1，所以ab2，于是4，8.因此189(当且仅当ab时等号成立)均值不等式的实际应用【例3】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？解设每间虎笼长x m，宽y m，则由条件知，4x6y36，即2x3y18.设每间虎笼面积为S，则Sxy.法一：由于2x3y22，所以218，得xy，即Smax，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大法二：由2x3y18，得x9y.x0，0y6，Sxyyy(6y)0y0.S2.当且仅当6yy，即y3时，等号成立，此时x4.5.故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大1在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案2对于函数yx(k0)，可以证明x(0，及，0)上均为减函数，在，)及(，上都是增函数求此函数的最值时，若所给的范围含，可用均值不等式，不包含就用函数的单调性3某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上年增加4万元该船每年捕捞总收入50万元(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？解(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元，则y50n982n240n982(n10)2102，当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元(2)年平均利润为2212，当且仅当n，即n7时上式取等号当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元利用均值不等式求最值探究问题1由x2y22xy知xy，当且仅当xy时“”成立，能说xy的最大值是吗？能说x2y2的最小值为2xy吗？提示最值是一个定值(常数)，而x2y2或2xy都随x，y的变化而变化，不是定值，故上述说法均错误要利用均值不等式(a，bR)求最值，必须保证一端是定值，方可使用2小明同学初学利用均值不等式求最值时，是这样进行的：“因为yx22，当且仅当x，即x21时“”号成立，所以yx的最小值为2.”你认为他的求解正确吗？为什么？提示不正确因为利用均值不等式求最值，必须满足x与都是正数，而本题x可能为正，也可能为负所以不能盲目“套用”均值不等式求解正确解法应为：当x0时，yx22，当且仅当x，即x1时取“”，yx的最小值是2；当x0时，y22，当且仅当x，即x1时，取“”，yx的最大值是2.3已知x3，求y的最小值，下列求解可以吗？为什么？“解：yx24，当x3时，y的最值为4.”提示不可以，因为在利用基本不等式求解最值时，虽然将所求代数式进行变形，使其符合均值不等式的结构特征，但是必须符合“正”“定”“等”的条件，缺一不可本解法忽略了等号成立的条件，即“”号不成立本问题可采用yx的单调性求解【例4】(1)若x2，求f(x)x的最小值；(3)已知0x1，求函数y的最小值解(1)因为x2，所以x20，f(x)x22224，当且仅当x2，即x3时等号成立，所以f(x)的最小值为4.(3)因为0x0，f(x)x(12x)2x(12x)2，当且仅当2x12x，即x时等号成立，所以f(x)的最大值为.(4)因为x1，所以x10.设tx1(t0)，则xt1，所以yt22222，当且仅当t，即t，x1时等号成立，所以f(x)的最小值为22.1本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形2应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形3利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性4(1)已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的最大值等于()A10B9C8D7(2)已知正数x，y满足xy1，则的最小值是_(1)B(2)9(1)a0，b0，2ab0，要使恒成立，只需m(2ab)恒成立，而(2ab)41549，当且仅当ab时，等号成立m9.故应选B(2)由题意得(xy)5529，当且仅当，即x，y时取等号1本节课的重点是利用基本不等式求最值，难点是基本不等式在实际问题中的应用2本节课重点掌握的规律方法(1)由基本不等式变形得到的常见的结论ab2；(a，b(0，)；2(a，b同号)；(ab)4(a，b(0，)；a2b2c2abbcca(2)利用基本不等式求最值的方法及注意事项利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到这三个条件缺一不可利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数yx(p0)的单调性求得函数的最值1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意a，bR，a2b22ab，ab2均成立()(2)若a0，则a24.()(3)若a0，b0，则ab2.()(4)两个不等式a2b22ab与成立的条件是相同的()(5)若ab1，a0，b0，则ab的最小值为2.()(6)当x1时，函数f(x)x2，所以函数f(x)的最小值是2.()(7)如果log3mlog3n4，则mn的最小值为9.()(8)若x，yR，且x4y1，则xy的最大值为.()解析(1).任意a，bR，有a2b22ab成立，当a，b都为正数时，不等式ab2成立(2).只有当a0时，根据均值不等式，才有不等式a24成立(3).因为，所以ab2.(4).因为不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；而成立的条件是a，b均为非负实数(5).因为a0，b0，所以ab22，当且仅当ab1时取等号，故ab的最小值为2.(6).因为当x1时，x10，则f(x)x(x1)1213.当且仅当x1，即x2时，函数f(x)取到最小值3.(7).因为由log3mlog3n4，得mn81且m0，n0，而9，所以mn18，当且仅当mn9时， mn取到最小值18.(8).因为x，yR，而4xy22，所以xy.当且仅当x4y，即x，y时取等号答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)2已知a0，b0，且ab2，则()AabBabCa2