【学海导航】高三数学第一轮总复习 9.4 线面垂直与面面垂直课件（第2课时）.pptVIP

第九章 直线 平面 简单的几何体 1 如图 已知两个正四棱锥p abcd与q abcd的高分别为1和2 ab 4 1 求直线pq与平面adq所成的角 2 求异面直线aq与pb所成的角 题型4空间角的计算 第二课时 解 1 连结ac bd 设其交点为o 则po 平面abcd qo 平面abcd 从而p o q三点共线 分别以直线ca db qp为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图 则由已知可得a 0 0 q 0 0 2 d 0 0 p 0 0 1 所以 0 0 3 0 2 0 2 设n x y z 是平面adq的一个法向量 由 得取x 1 则z y 1 所以n 1 1 设直线pq与平面adq所成的角为 则sin cos n 所以 故直线pq与平面adq所成的角为 2 因为b 0 0 所以 0 1 又 0 2 所以cos 故异面直线aq与pb所成的角为arccos 点评 两向量的夹角公式可直接用来求两直线的夹角 而线面角可转化为直线对应的向量与平面的法向量所成的角 二面角可转化为两个平面的法向量所成的角 另外还需注意所求角与两向量夹角之间的关系 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 已知ab 4 ad 3 aa1 2 e f分别是线段ab bc上的点 且eb fb 1 1 求二面角c de c1的正切值 2 求直线ec1与fd1所成角的余弦值 解 1 以a为原点 ab ad aa1分别为x轴 y轴 z轴的正向 建立空间直角坐标系a xyz 则有d 0 3 0 d1 0 3 2 e 3 0 0 f 4 1 0 c1 4 3 2 于是 3 3 0 1 3 2 4 2 2 设向量n x y z 与平面c1de垂直 则有 取z 2 则n 1 1 2 则n是一个与平面c1de垂直的向量 因为向量 0 0 2 与平面cde垂直观察图形知 n与所成的角 即为二面角c de c1的平面角 因为cos 所以tan 所以二面角c de c1的正切值为 2 设ec1与fd1所成的角为 则 2 长方体abcd a1b1c1d1中 ab 4 ad 6 aa1 4 m是a1c1的中点 p在线段bc上 且cp 2 q是dd1的中点 求 1 点m到直线pq的距离 2 点m到平面ab1p的距离 解 1 如图所示 建立空间直角坐标系b xyz 则a 4 0 0 m 2 3 4 p 0 4 0 q 4 6 2 题型5空间距离的计算 因为 2 3 2 4 2 2 所以在上的射影长为故点m到pq的距离为 2 设n x y z 是平面ab1p的法向量 则n n 因为 4 0 4 4 4 0 所以 因此可取n 1 1 1 由于 2 3 4 那么点m到平面ab1p的距离为 点评 利用求向量的长度可求两点间的距离 而点到直线的距离或点到平面的距离可转化为向量的投影长度问题 在四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 侧棱pa 底面abcd ab bc 1 pa 2 e为pd的中点 1 在侧面pab内找一点n 使ne 平面pac 并求出点n到ab和ap的距离 2 求 1 中的点n到平面pac的距离 解 1 建立空间直角坐标系 如图 则a b c d p e的坐标分别是a 0 0 0 b 0 0 c 1 0 d 0 1 0 p 0 0 2 e 0 1 依题意设n x 0 z 则 x 1 z 由于 平面pac 所以 则 即解得 即点n的坐标为 0 1 从而点n到ab ap的距离分别为1 2 设点n到平面pac的距离为d 则 1 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时 一般步骤为 1 建立恰当的空间直角坐标系 例如 底面是矩形的直四棱柱 以底面其中一个顶点为原点建立空间直角坐标系 底面是菱形的直四棱柱 往往以底面对角线的交点为原点建立空间直角坐标系 2 求出相关点的坐标 3 写出向量的坐标 4 结合公式进行论证 计算 5 转化为几何结论 建立空间直角坐标系 必须牢牢抓住相交于同一点的两两垂直的三条直线 要在题目中找出或构造出这样的三条直线 因此 要充分利用题目中所给的垂直关系 即线线垂直 线面垂直 面面垂直 同时要注意 所建立的坐标系必须是右手空间直角坐标系 2 求空间角和距离有如下一些基本原理 1 平面的法向量的求法 设n x y z 利用n与平面 内的两个不共线向量a b垂直 其数量积为零 列出两个三元一次方程 联立后取一组解 如图1 2 线面角的求法 设n是平面 的法向量 是直线l的方向向量 则直线l与平面 所成的角为 如图2 3 二面角的求法 ab cd分别是二面角 l 的两个半平面内与棱l垂直的异面直线 则二面角的大小为 如图3 设n1 n2是二面角 l 的两个平面 的法向量 则就是二面角的平面角或其补角 如图4 4 异面直线间的距离的求法 l1 l2是两条异面直线 n是l1 l2的公垂线段ab的方向向量