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数 列 复 习 讲 义数列求和的常用方法典型例题第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列的前项和公式2、等比数列的前项和公式 第二类：乘公比错项相减（等差等比）这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列。例1：求数列(为常数)的前项和。解：、若=0， 则=0、若=1，则 、若0且1，则 式式：综上所述：解析：数列是由数列与对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。第三类：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1、乘积形式，如：（1）、 （2）、（3）、（4）、2、根式形式，如： 例2：求数列，的前项和解：= 例3：求数列，的前项和解：由于：=）则： 解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意：究竟是像例2一样剩下首尾两项，还是像例3一样剩下四项。第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到个。例4：若函数对任意都有。（1），数列是等差数列吗？是证明你的结论；（2）求数列的的前项和。解：（1）、（倒序相加） 则，由条件：对任意都有。从而：数列是的等差数列。（2）、=故：=解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。此例题不仅利用了倒序相加法，还利用了裂项相消法。在数列问题中，要学会灵活应用不同的方法加以求解。第五类：分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例5：求数列+的前项和解：令 令 式式：故：第六类：拆项求和法在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。例7：求数列9，99，999， 的前n项和分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式 可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。解：由于：则：例8：=解：由于：则：=（等差+等比，利用公式求和）=解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。典型练习（1）、求值类的计算题1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知为等差数列的前项和，求；2、等差数列中，且成等比数列，求数列前20项的和3、设是公比为正数的等比数列，若，求数列前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为，中间两数之和为，求这四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知为等差数列的前项和，则 ；2、设、分别是等差数列、的前项和，则 .3、设是等差数列的前n项和，若（ ）4、在正项等比数列中，则_。5、已知为等比数列前项和，则 .6、在等差数列中，若，则的值为（ ）7、在等比数列中，已知，则 . 8、已知为等差数列，则 （2）、求数列通项公式例 已知数列a满足a=1,a=2a+1(nN)求数列a的通项公式；解：是以为首项，2为公比的等比数列即1） 给出前几项，求通项公式3，-33,333，-3333,333332）给出前n项和求通项公式； .3）给出递推公式求通项公式a、已知关系式，可利用迭加法或迭代法；例：已知数列中，求数列的通项公式；b、已知关系式，可利用迭乘法.例、已知数列满足：，求数列的通项公式；c、构造新数列1递推关系形如“”，利用待定系数法求解例、已知数列中，求数列的通项公式.2递推关系形如,两边同除以例、已知数列中，求数列的通项公式.（3）、求数列的前n项和基本方法：1）公式法，2）拆解求和法.例1、求数列的前项和.例2、求和：25+36+47+n（n+3）3）裂项相消法，数列的常见拆项有：；例1、求和：S=1+例2、求和：.4）倒序相加法，例、设，求：；5）错位相减法，例、若数列的通项，求此数列的前项和.6）数列绝对值的求和例、已知数列an的前n项和Sn=12nn2，求数