高三数学一轮复习 函数与方程、函数模型及应用课件 新人教B版.ppt

重点难点重点 1 函数的零点和方程解的联系2 运用数形结合判定方程解的分布3 掌握几种常见的函数模型 1 一次函数 2 二次函数 3 分式函数 4 指数函数 5 对数函数 6 分段函数 7 幂函数 8 三角函数 难点 1 二次方程根的分布问题2 二分法的应用3 实际问题中 如何选择模拟函数 建立函数关系式 知识归纳一 二次函数的图象和性质 二 三个二次 二次方程ax2 bx c 0 二次函数y ax2 bx c 二次不等式ax2 bx c 0 a 0 或 0 的关系 三 二次函数的零点与一元二次方程的根的关系二次函数f x ax2 bx c a 0 的零点就是一元二次方程ax2 bx c 0的根 二次函数f x ax2 bx c的图象 抛物线 与x轴相交时 交点的横坐标就是一元二次方程ax2 bx c 0的根 具体结论如下 1 当 b2 4ac 0时 一元二次方程ax2 bx c 0无解 二次函数f x ax2 bx c无零点 二次函数的图象 抛物线 与x轴不相交 四 实系数一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的实根的符号与系数之间的关系1 方程有两个不相等的正实数根 2 方程有两个不相等的负实根 五 一元二次方程f x ax2 bx c 0 a 0 的区间根问题研究一元二次方程的区间根 一般情况下需要从以下三个方面考虑 1 一元二次方程根的判别式 2 对应二次函数区间端点函数值的正负 设x1 x2是实系数二次方程ax2 bx c 0 a 0 的两实根 则x1 x2的分布范围与二次方程系数之间的关系 如下表所示 六 函数的零点与方程的根的关系1 一般地 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 我们称方程f x 0的实数根x叫做函数y f x x d 的零点 2 函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 也就是函数y f x 的图象与x轴交点的横坐标 即方程f x 0有实数根 函数y f x 有零点 函数y f x 的图象与x轴有交点 3 函数f x f x g x 的零点就是方程f x g x 的实数根 也就是函数y f x 的图象与函数y g x 的图象交点的横坐标 一般地 对于不能使用公式求根的方程f x 0 我们可以将它与函数y f x 联系起来 利用函数的图象 性质来求解 第三步 计算f x0 的值 得到下列相关结论 1 若f x0 0 则x0就是方程f x 0的一个根 计算终止 2 若f a0 f x0 0 则方程f x 0的一个根位于区间 a0 x0 中 令a1 a0 b1 x0 八 函数的应用1 求解函数应用问题的思路和方法 误区警示1 在对函数零点的判断中 1 f x 在 a b 上连续 2 f a f b 0 这是零点存在的一个充分条件 不是必要条件 并且满足f a f b 0时 f x 在 a b 上至少有一个零点 不满足f a f b 0时 f x 在 a b 上未必无零点 也可能有多个零点 2 二分法是求方程根的近似值的一种计算方法 它只能用来求函数的变号零点 3 二次函数当 0时 有两个相等的实数根 但零点只有一个 二重零点 4 二次方程根的分布问题中 列关系式时 要考虑全面 保持等价性 5 求解函数应用题时 关键环节是审题 审题时一要弄清问题的实际背景 注意隐含条件 二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语言 用数学表达式加以表示 三是弄清给出什么条件 解决什么问题 通过何种数学模型加以解决 四是严格按各种数学模型的要求进行推理运算 并对运算结果作出实际解释 例1 2010 常德市检测 某种商品的生产成本为50元 件 出厂价为60元 件 厂家为了鼓励销售商多订购 决定当一次性订购超过100件时 每多订购一件 所订购全部商品的出厂价就降低0 01元 根据市场调查 销售商一次订购不会超过600件 1 设销售商一次订购x件商品时的出厂价为f x 请写出f x 的表达式 2 当销售商一次订购多少件商品时 厂家获得的利润最大 最大利润是多少 解析 1 当0 x 100时 f x 60 当100 x 600时 f x 60 x 100 0 01 61 0 01x 2 设利润为y元 则01000 故当一次定购550件时 厂家的利润最大 最大利润为3025元 例2 已知二次方程2x2 m 1 x m 0有且仅有一实根在 0 1 内 求m的取值范围 分析 二次函数f x 2x2 m 1 x m的图象开口向上 设其两零点为x1 x2 不论x1 0 1 还是x2 0 1 都有f 0 f 1 0或f 0 与f 1 一个为0 另一个大于0 关于x的方程2x2 ax 5 2a 0的两实根可分别作为一个椭圆与一个双曲线的离心率 则实数a的取值范围是 答案 d 理 求函数f x lnx 2x 6的零点个数 解析 解法1 容易判断f x lnx 2x 6在 0 上是增函数 证明如下 任取x1 x2 0 且x2 x1 则 f x2 f x1 f x 在 0 上是增函数 f 1 0即f 1 f 3 0 f x 在 1 3 内有零点 由于f x 在 0 内是增函数 所以它仅有一个零点 文 方程2x x 4 0的解所在区间为 a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 解析 令f x 2x x 4 f 1 f 2 2 0 f x 在 1 2 内有零点 答案 c 理 09 山东 若函数f x ax x a a 0 且a 1 有两个零点 则实数a的取值范围是 解析 函数f x 的零点的个数就是函数y ax与函数y x a交点的个数 由函数的图象可知a 1时两函数图象有两个交点 01 答案 1 例4 某民营企业生产a b两种产品 根据市场调查与预测 a产品的利润与投资成正比 其关系如图 1 b产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图 2 注 利润与投资单位 万元 1 分别将a b两种产品的利润表示为投资的函数关系式 2 企业已筹集到10万元资金 并全部投入a b两种产品的生产 问 怎样分配这10万元投资 才能使企业获得最大利润 其最大利润为多少万元 精确到1万元 故当a产品投入3 75万元 b产品投入6 25万元时企业可获得最大利润约为4万元 点评 正反比例函数是特殊的幂函数模型要准确表述 含根号时常通过换元化为二次函数模型 分析 1 利润 销售总收入 固定成本 可变成本 2 因市场对此产品年需求量为500台 所以当产品超过500台时 也只能销售500台 3 求x为何值 利润最大 转化为求分段函数 使y最大时对应的自变量x的值 分段函数求最值时 应分段求出最值或取值范围后 通过比较得出最值 4 企业不亏本 转化为满足y 0来解决 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为3元 并且每件产品需向总公司交a元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为x元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万件 1 求分公司一年的利润l 万元 与每件产品的售价x的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年利润l最大 并求出l的最大值q a 一 选择题1 文 2010 天津文 4 函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是 a 2 1 b 1 0 c 0 1 d 1 2 答案 c 解析 f 0 10 即f 0 f 1 0 由零点定理知 该函数在区间 0 1 内存在零点 答案 a 2 2010 山东滨州 偶函数f x 在区间 0 a a 0 上是单调函数 且f 0 f a 0 则方程f x 0在区间 a a 内根的个数是 a 3b 2c 1d 0 答案 b 解析 f 0 f a 0 f x 在 0 a 中至少有一个零点 又 f x 在 0 a 上是单调函数 f x 在 0 a 上有且仅有一个零点 又 f x 是偶函数 f x f x f x 在 a 0 中也只有一个零点 故f x 在 a a 内有两个零点 即方程f x 0在区间 a a 内根的个数为2个 故选b 3 文 已知函数f x ex x g x lnx x h x lnx 1的零点依次为a b c 则 a a b cb c b ac c a bd b a c 答案 a 理 已知函数f x 2x2 4 m x 4 m g x mx 若对于任一实数x f x 与g x 的值至少有一个为正数 则实数m的取值范围是 a 4 4 b 4 4 c 4 d 4 答案 c 解析 解法1 取m 4 则f x 2x2 8x 8 2 x 2 2 g x 4x 在x 2时 恒有f x 0 在x 2时 g x 8 0 m 4符合 于是淘汰b d 又取m 4 则f x 2x2 g x 4x 在x 0时 f x g x 0 m 4不合题意 于是淘汰a 故选c 解法2 易知m 0时 恒有f x 2x2 4x 4 2 x 1 2 0 当 40 当m 4时 f x 2x2 4 m x 4 m 0的两个根x1 0 x2 0 当x1 x x20 此时m x均为负数 当xx2时 f x 0 m 4符合要求 综上所述 实数m的取值范围是 4 故选c 4 2010 瑞安中学 函数f x 在 2 2 内的图象如图所示 若函数f x 的导函数f x 的图象也是连续不间断的 则导函数f x 在 2 2 内有零点 a 0个b 1个c 2个d 至少3个 答案 d 解析 f x 的零点 即f x 的极值点 由图可知f x 在 2 2 内 有一个极大值和两个极小值 故f x 在 2 2 内有三个零点 故选d 5 2010 广东佛山顺德区质检 甲 乙两工厂的月产值在09年元月份时相同 甲以后每个月比前一个月增加相同的产值 乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同 到09年11月份发现两工人的月产值又相同 比较甲 乙两工厂09年6月份的月产值大小 则有 a 甲的产值小于乙的产值b 甲的产值等于乙的产值c 甲的产值大于乙的产值d 不能确定 答案 c 解析 设六月份两厂产值都是a 甲每月增加产值b 乙每月比前一月增加的百分比为q 由条件知a 10b a 1 q 10 10b a 1 q 10 1 a 1 q 5 1 1 q 5 1 2a 1 q 5 1 5b a a 1 q 5 即甲厂6月份产值比乙厂6月份产值大 请同学们认真完成课后强化作业 1 2010 上海文 若x0是方程lgx x 2的解 则x0属于区间 a 0 1 b 1 1 25 c 1 25 1 75 d 1 75 2 答案 d 解析 y lgx和y x 2都是增函数 y lgx x 2为增函数 原方程可化为 x 102 x 设函数f x 102 x x则f 0 102 0 0 f 1 10 1 0 故x0 0 1 同理可得f 1 75 f 2 0 故x0 1 75 2 故选d 答案 a 解析 令f x 0 得x 1或ln x 2 0 x 1或x 3 但x 1时 ln x 2 无意义 x 3时 分母为0 故f x 无零点 3 已知方程 x ax 1 0仅有一个负根 而无正根 则a的取值范围是 a a1d a 1 答案 d 解析 数形结合判断 4 若函数f x 在区间 2 2 上的图象是连续不断的 且方程f x 0在 2 2 上有且仅有一实根0 则f 2 f 2 的值 a 大于0b 等于0c 小于0d 无法判断 答案 d 解析 对于区间 a b 上连续函数 若f a f b 0 则f x 在区间 a b 上必有零点 其逆不成立 如f x x2 5 某市2008年新建住房100万平方米 其中有25万平方米经济适用房 有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增加5 其中经济适用房每年增加10万平方米 按照此计划 当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是 参考数据 1 052 1 1 053 1 16 1 054 1 22 1 055 1 28 a 2010年b 2011年c 2012年d 2013年 答案 c 解析 设第n年新建住房面积为an 100 1 5 n 经济适用房面积为bn 25 10n 由2bn an得 2 25 10n 100 1 5 n 将已知条件代入验证知n 4 所以在2012年时满足题意 6 已知y x x 1 x 1 的图象如图所示 今考虑f x x x 1 x 1 0 01 则方程式f x 0 有三个实根 当x1时 恰有一实根正确的有 a b c d 答案 a 解析 f 2 5 990 即f 2 f 1 0 结合图知f x 0在 1 0 上没有实数根 所以 不正确 又 f 0 5 0 5 0 5 1 5 0 01 0 3650 所以f x 0在 0 5 1 上必有一实根 在 0 0 5 上也有一个实根 f x 0在 0 1 上有两个实根 不正确 由f 1 0结合图知 f x 0在 1 上没有实根 不正确 并且由此可知 正确 7 一水池有2个进水口 1个出水口 每个进水口的进水速度如图甲 出水口的出水速度如图乙 某天0点到6点 该水池的蓄水量如图丙所示 给出以下3个论断 0点到3点只进水不出水 3点到4点不进水只出水 4点到6点不进水也不出水 则一定正确的论断是 答案 解析 由甲 乙两图得到每一个进水口的速度是出水口的速度的一半 在丙图中从0点到3点进了6个单位水量 因此这段时间是只进水不出水 故 对 从3点到4点水量下降了1个单位 故应该是一个进水口开着 一个出水口开着 故 不正确 从4点到6点蓄水量保持不变 一种情况是不进水不出水 另一种情况是2个进水口与1个出水口同时开着 进水量和出水量相同 故 不一定正确 8 09 山东 已知定义在r上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 若方程f x m m 0 在区间 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 则x1 x2 x3 x4 答案 8 解析 解法1 由已知 定义在r上的奇函数f x 图象一定过原点 又f x 在区间 0 2 上为增函数 所以方程f x m m 0 在区间 0 2 上有且只有一个根 不妨设为x1 f x1 f x1 f x1 4 f x1 4 x1 4 2 4 也是一个根 记为x2 x1 x2 4 又 f x 4 f x f x 8 f x f x 是周期为8的周期函数 f x1 8 f x1 m 不妨将此根记为x3 且x3 x1 8 8 6 同理可知x4 x2 8 6 4 x1 x2 x3 x4 x1 x2 x1 8 x2 8 8 解法2 f x 为奇函数 且f x 4 f x f x 4 f x 以2 x代入x得 f 2 x f 2 x f x 的图象关于直线x 2对称 又f x 为奇函数 f x 的图象关于直线x 2也对称 又f x 8 f x 4 4 f x 4 f x f x 的周期为8 又在r上的奇函数f x 有f 0 0 f x 在 0 2 上为增函数 方程f x m 在 8 8 上有四个不同的根x1 x2 x3 x4 必在 2 2 上有一实根 不妨设为x1 m 0 0 x1 2 四根中一对关于直线x 2对称一对关于直线x 6对称 故x1 x2 x3 x4 2 2 2 6 8 9 设点p x0 y0 是函数y tanx与x y 0图象的交点 则 x02 1 cos2x0 1 的值是 答案 2 10 电信局为了配合客户的不同需要 设有a b两种优惠方案 这两种方案的应付电话费 元 与通话时间 分钟 之间的关系如图所示 实线部分 注 图中mn cd 试问 1 若通话时间为2小时 按方案a b各付话费多少元 2