大学物理力学-质点运动学

大学物理 力学 第一篇 力学 Mechanics 力学又称经典力学 是研究通常尺寸的物体在受力下的机械运动规律的一门自然科学 1 机械运动是物质运动的最基本的形式 2 力是物质间的一种相互作用 机械运动状态的变化是由这种相互作用引起的 力学运动 力学是力和 机械 运动的科学 物质在时间 空间中的位置变化 基本形式 平动和转动 20世纪初 相对论指出牛顿力学不适用于高速或宇宙尺度内的物体运动 20年代 量子论指出牛顿力学不适用于微观世界 这反映人们对力学认识的深化 即认识到物质在不同层次上的机械运动规律是不同的 牛顿力学只适用于宏观的 低速的机械运动 力学的发展 以牛顿运动定律为基础的牛顿力学曾被尊为完美普遍的理论而兴盛了约三百年 17世纪 伽利略论述惯性运动标志着力学开始成为一门科学 力学的分类 本篇主要内容 经典力学 一 质点力学 二 部分刚体力学 第一章质点运动学 运动学是理论力学的一个分支学科 它是运用几何学的方法来描述物体的运动 通常不考虑力和质量等因素的影响 前言 本章所研究的质点运动学 其任务就是在允许将物体看作质点的情况下 来描述物体的机械运动 物体位置总是伴随着时间的流逝而连续地变动的 研究工具 微分学 积分学 由运动的相对性出发引入空间 位置 时间 时刻和时间间隔 参考系和坐标系等概念给出物体的运动方程阐明描述物体运动的一些物理量 位矢 位移 速度 加速度等 本章的主要内容 1 了解质点 参考系 坐标系 时刻和时间等概念 2 掌握位矢 位移 速度 加速度等描述运动及其变化的物理量的定义和性质 相对性 矢量性 瞬时性 并能借助直角坐标系计算质点运动时的上述物理量 3 掌握直线运动 斜抛运动和圆周运动的基本规律 理解圆周运动中角量 角速度 角加速度 以及角量与线量的关系 4 掌握伽利略速度变换公式 并会运用矢量图及矢量的加减法来求解相对运动问题 本章的基本要求 一 参考系质点 1 质点 具有一定质量 但没有大小 在空间占据一定位置的几何点 理想模型 目的 简化问题 仅当物体用质点来处理时 物体的位置才能给予精确的描述 1 1质点运动的描述 可看为质点的情形 1 d r 2 平动物体 3 任一物体可视为一个质点系 2 参考系 宇宙间任何物体皆运动不歇 自然界中没有不运动的物质 运动是物质的存在形式 这就是运动的绝对性 对物体运动的描述是相对的 物体运动的情况因观察者而异 都是相对于观察者而言的 这就是运动描述的相对性 要描述质点的运动 首先要选择另一个用作参考基准的物体 通常我们把与这个基准物体相对静止的整个空间称为参考系 运动的相对性是运动的本性 x y z r t 2 运动方程 二 位置矢量运动方程位移 矢量式 质点的运动方程 1 位置矢量 位置矢量 分量式 运动方程在时间的进程中描述了质点位置的连续变化 并在空间划出一条连续的曲线 这条曲线就被称为质点的轨道方程或轨迹 轨道函数 例小车在水平面上的直角坐标系Oxy中的运动方程为 求小车的轨道方程 表明 小车在水平面上沿着以原点O为圆心 半径为6m的圆周轨道运动 将式 1 2 的两边分别平方 然后相加 得小车的轨道方程为 例2 如图所示 直杆AB两端可以分别在两固定而相互垂直的直线导槽上滑动 已知杆的倾角按随时间变化 其中为常量 试求杆上任意点M的运动方程和轨道方程 解 沿直线导槽建立直角坐标系Oxy 如图所示 设 则M点的坐标为 此式即M点的运动方程的分量式 a 从坐标原点O向M点作位置矢量r 则有 此式即M点的运动方程的矢量式 1 从分运动表达式中消去t 可得M点的轨道方程 此式表示M点的轨迹是一个椭圆 其中心在坐标原点O 半轴长度分别为a b 常见的椭圆规就是依此原理制成的 3 位移矢量 B A 若质点在三维空间中运动 则位移为 又 位移的大小为 两点之间的直线距离 位移的物理意义 A 确切反映物体在空间位置的变化 与路径无关 只决定于质点的始末位置 B 反映了运动的矢量性和叠加性 注意区分和 在图中分别标出 目的 正确区分矢量差之模与矢量模之差在物理意义上的不同 分析 是初 末位矢长度之差 即矢量模之差 的长度即为 讨论题 路程 路程和位移是两个根本不同的概念 路程 质点实际运动轨迹的长度 当B点无限趋近于A点 时 A B之间实际路径由曲线转变为直线 仅在这种极限情况下 位移微元dr的大小等于路程微元ds 注意 位移微元dr的方向在A点处路径的切线上 且指向运动的方向 位移与路程 B 一般情况 位移大小不等于路程 D 位移是矢量 路程是标量 C 什么情况 A AB两点间的路程是不唯一的 可以是或而位移是唯一的 不改变方向的直线运动 当时 讨论 三 速度矢量 矢量 方向与位移方向相同 定义 质点在时间间隔内 发生了位移 则运动过程中的平均速度 1 平均速度 2 瞬时速度 质点在某一点的速度方向就是沿该点轨迹的切线方向 当时平均速度的极限值叫做瞬时速度 简称速度 位矢对时间的变化率 若质点在三维空间中运动 其速度为 速度矢量在直角坐标系中的分量表达形式 速率 速度的大小 讨论题 例3一质点在平面坐标系Oxy的第一象限内运动 见图 轨道方程为 且x随时间t的变化规律为 SI 求质点在t 1s时的速度 解 按题意 运动方程 当t 1s时得 速度的大小 速度的方向 例4路灯距地面高为h 身高为l的人以匀速v0在路上行走 求灯所照射的人影子中头顶移动的速度 分析 设t 0时人恰好在灯下 取此处为坐标原点 以人运动所沿直线为x轴 解 设人影中头的坐标为x2 足的坐标为x1 因为 ABD和 OBC相似 所以有 1 x l v0 因为人作匀速前进 所以人足的坐标x1与时间的关系为 代入 1 式得 将x2对时间求导数 匀速直线运动 注意 求速度时不直接从已知速度推出未知速度 而是从几何关系中找出坐标之间的关系 然后求导数就可求出速度 初学运动学时要认真掌握 解 建立坐标系如图 OAB为一直角三角形 刚性细杆的长度l为一常量 物体A的速度 物体B的速度 两边求导得 即 四 加速度 反映速度变化快慢的物理量 1 平均加速度 反映单位时间内的速度增量 2 瞬时加速度 分量表达式 吗 在Ob上截取 有 讨论 例1 3 1一质点在xy平面上 z 0 的运动轨迹为抛物线 运动方程为 求 t 2时质点的速度和加速度 解 速度 加速度 解 假设此时绳的长度为l 则 例1 3 2如图所示 在离水面高度为h的岸边上 有人用绳子拉船靠岸 收绳的速率恒为v0 求船在离岸边的距离为s时的速度和加速度 所以 负号表示小船的速度和x轴的正向相反 方法二 注意 要求小船向岸边移动的速度v 可以不直接求v 而从l h和s的几何关系表达式中通过求导数得到v 方法三 用投影法直接求解 把小船前进的速度v分解在沿绳子方向和垂直绳子方向上 而沿绳方向的分量应等于收绳的速度 且 所以 注意 不能认为小船前进的速度为收绳速率v0在水平方向的投影 即是不对的 分析绳头的运动 小船的速度 即绳头的速度 为水平向左 当小船前进时 不但绳的长度缩短 绳子的方向也在变 所以绳头运动的速度是收绳的速率v0和二者的合成 v0是缘于绳子长度的缩短 则是缘于绳子方向的变化 船的加速度 负号表示a的方向指向岸边 因而船向岸边加速运动 基本概念 参考系 坐标系 质点位矢 位移 速度 加速度 关系式 小结 质点运动学两类基本问题 一 正问题 由质点的运动函数 位矢随时间的变化关系 可以通过微分求得质点在任一时刻速度和加速度 二 逆问题 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置 可通过积分求质点速度及其运动函数 质点运动学三类问题 1 微分 2 积分 3 灵活应用 解 由加速度定义 分析 当t很大时 v 0 y 10m 一 a为恒矢量时质点的运动方程 已知一质点作平面运动 其加速度a为恒矢量 有 积分可得 1 2加速度为恒矢量时的质点运动 写成分量式为 积分可得 讨论 若已知加速度 初始条件一旦给定 则质点运动完全确定 二 斜抛运动 沿着与Ox轴成角的匀速直线运动 沿Oy轴的匀加速直线运动 物体在抛射点O处 即t 0时 速度 位置 抛体的轨道方程 轨道方程 斜抛运动的几个特殊量 飞行时间 物体从抛出到落回抛出高度 即从O到A点所用时间 飞行的最大高度H为 飞行射程 即回落到与抛出点的高度相同时所经过的水平距离 如图中OA的长度 讨论 最大射程 由于空气阻力 实际射程小于最大射程 1 求最大射程 2 考虑阻力 当子弹从枪口射出时 椰子刚好从树上由静止自由下落 试说明为什么子弹总可以射中椰子 例1 6 1 子弹要击中椰子 即当子弹水平飞行距离为l时 在竖直方向上的坐标值恰好等于椰子在竖直方向上的坐标值 h1 h2 解 子弹作抛体运动 椰子作自由落体运动 列出y方向上的运动函数 设子弹经过t时间在水平方向上的位移为l 即 代入方程组 得 即 h1 h2 说明子弹在理论上能击中椰子 讨论 h l l h 图1 图2 因为h1 h2存在三种情况 图1所示的两种情况在物理上是合理 但图2的情况就只是在数学上成立 在实际情况中却是不存在的 因为此时子弹在还未飞过l长的距离就已经落地了 所以必须将这种情况剔除掉 即 子弹和椰子在相遇时 也就是说 子弹在y方向上的初速度必须满足这样一个条件 即子弹的飞行高度不能小于h 4 一般情况下 子弹的初速度很大 树也不是特别高 子弹就一定能在落地前击中椰子 即 方法二 假设子弹在竖直方向上没有受到重力加速度的作用 则当它飞行到A点时 其竖直方向上的位移为 实际上重力加速度存在 则在竖直方向上的位移为 即 子弹在竖直方向上的偏离为 这就和椰子在相同时间内下落的位移是相同的 故椰子在落地前一定会被击中 v0 例1 6 2在平地上O点以仰角发射一颗炮弹 初速为v0 260m s 不计空气阻力 求击中山顶上一个军事目标B所需的炮弹飞行时间 已知山顶的高度为600m 与发射处O相距为4000m 解 以发射点O为原点 沿平地取x轴 沿铅直方向取y轴 如图所示 则目标B的位置坐标为 根据斜抛运动的轨道方程 欲使炮弹击中目标B 则炮弹轨道应通过B处 将B的坐标及初速代入上式 化简成关于抛射角正切的二次方程 即 代入运动方程 例1 6 3若从一高塔上向同一铅直平面内的各个方向同时抛出许多质点 其初始速率完全相同 证明在任何时刻所有的质点都在同一圆上 解 已知各质点的初速度的大小相等 但抛出时速度与水平方向夹角不同 若取抛出点为坐标原点建立如图所示的坐标系 取所有质点抛出时为t 0 质点抛出后其运动方程为 对于不同质点v0相同而不同 对某一时刻t 在上两式中消去 得到所有质点都满足的方程 这方程表示的是一个圆 圆心坐标为 半径为v0t 在任一时刻t所有的质点坐标都满足这个圆方程 可见它们都在圆上 我们可以看出 这个圆是运动的 圆心是初速为0的自由落体 半径v0t随时间不断增大 同理 如质点在空间中向四面八方抛出时 上述的圆就变为空间中的球面 三 直线运动 a不一定为常量 1 匀速直线运动 2 匀加速直线运动 1 3圆周运动 一 平面极坐标 设一质点在Oxy平面内运动 某时刻它位于点A 矢径r与x轴之间的夹角为 于是质点在点A的位置可由来确定 以为坐标的参考系为平面极坐标系 它与直角坐标系之间的变换关系为 二 圆周运动的角速度和角加速度 角速度 角坐标 角加速度 速率 三 圆周运动的切向加速度和法向加速度 质点作变速率圆周运动时 切向加速度 切向单位矢量的时间变化率 切向加速度 速度大小变化引起 法向加速度 速度方向变化引起 圆周运动加速度 切向加速度 一般曲线运动 自然坐标 在自然坐标系中圆周运动的加速度公式 也适用于一般曲线运动 半径 指曲线在A点处的曲率半径 向心 是指向曲率圆的中心 对于曲线运动 在轨道的任意一点处 质点的速度和该点处的切向加速度方向一致 切线方向 根据直线运动的定义 我们可以认为曲线运动是在自然坐标系中的变速直线运动 质点的线速度v和切向加速度at 以及质点滑过的曲线长度s之间的关系均满足直线运动的关系式 在切线方向若at是常数 思考题 行星轨道为椭圆 已知任一时刻行星的加速度方向都指向椭圆的一个焦点 太阳所在处 分析行星在通过图中M和N两位置时 它的速率分别是正在增大还是正在减小 例求如图所示的抛体轨道顶点处的曲率半径 解 在轨道顶点 四 匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动 1 匀速率圆周运动 速率v和角速度都为常量 2 匀变速率圆周运动 自然坐标中 直角坐标中 对于作曲线运动的物体 以下几种说法中哪一种是正确的 A 切向加速度必不为零 B 法向加速度必不为零 拐点处除外 C 由于速度沿切线方向 法向分速度必为零 因此法向加速度必为零 D 若物体作匀速率运动 其总加速度必为零 E 若物体的加速度为恒矢量 它一定作匀变速率运动 讨论题 1 的运动是什么运动 的运动是什么运动 目的 正确区分速度矢量导数的模与速度矢量模的导数在物理意义上的不同 讨论题 表示速度大小不变的运动 但速度的方向可以变化 如 匀速率圆周运动 解 1 因飞机作匀变速率运动所以和为常量 分离变量有 已知 在点B的法向加速度 在点B的加速度 a与法向之间夹角为 飞机经过的路程为 代入数据得 已知 2 在时间t内矢径r所转过的角度为 例一质点沿圆心为O 半径为R的圆周运动 设在P点时开始计时 即t 0 其路程从P点开始用圆弧PQ表示 并令PQ s 它随时间变化的规律为 v0和b都是正的恒量 求 1 时刻t的质点加速度 2 t为何值时加速度的大小等于b 3 加速度大小达到b值时 质点已沿圆周运行了几圈 解 1 由题设 可得质点的速率为 可见 质点沿圆周运动的速率v随时间t而均匀减小 即在自然坐标系中 可视为加速度为负的匀加速直线运动 由上列两式可求质点在t时刻的加速度a 见图 其大小为 如图所示 其方向与速度间的夹角为 2 由 1 中求得的加速度a的大小 根据题设条件 有 3 由 1 中求出的v的表达式按题设可知 在t v0 b时 v 0 可见在t 0到t v0 b这段时间内 v恒为正值 因此 质点已转过的圈数n为 一 时间与空间 在两个相对作直线运动的参考系中 时间的测量是绝对的 空间的测量也是绝对的 与参考系无关 时间和长度测量的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础 A B 小车以较低的速度沿水平轨道先后通过点A和点B 地面上人测得车通过A B两点间的距离和时间与车上的人测量结果相同 1 4相对运动 物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系 二 相对运动 S 相对S平动 速度为u 讨论 物体的运动在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的变换关系 S系系 位移关系 速度关系 伽利略速度变换 加速度关系 绝对速度 相对速度 牵连速度 即 测量的加速度相同 1 以上结论是在绝对时空观下得出的 绝对时空观只在u c时才成立 2 不可混淆 运动的合成分解 和 伽利略速度变换关系 运动的合成是在一个参考系中 总能成立 伽利略速度变换则应用于两个参考系之间 只在u c时才成立 3 适用于两个参考系 S 系和S系 相互平动的情况 注意 例1 8 1在湖面上以3m s的速率向东行驶的A船上看到B船以4m s的速率从北驶近A船 在湖岸上看 B船的速度如何 如果A船的速率变为6m s 方向不变 在A船上看B船的速度又为多少 即方向变为南偏西36 9 N E S W vB 矢量关系图 v vA 2 设A船的速度为 在A船上看B船的速度为 见矢量图 由于 故由几何分析可知 分析 风的速度是烟