（教师用书）高考数学一轮总复习 矩阵与变换课堂过关 理（选修42）.doc

选修42矩阵与变换第1课时线性变换、二阶矩阵及其乘法(对应学生用书(理)185187页)掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换进行解题1. 已知a，b，若ab，求axby的值解： ab， x1，y1，a0，b2，则axby022.2. 点(1，k)在伸压变换矩阵之下的对应点的坐标为(2，4)，求m、k的值解：， 解得3. 已知变换t是将平面内图形投影到直线y2x上的变换，求它所对应的矩阵解：将平面内图形投影到直线y2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵m作用变换为(x，2x)，则有，解得 t.4. 求曲线y在矩阵作用下变换所得的图形对应的曲线方程解：设点(x，y)是曲线y上任意一点，在矩阵的作用下点变换成(x，y)，则，所以因为点(x，y)在曲线y上，所以x，即x.5. (2014无锡期末)求使等式m成立的矩阵m.解：设m， . ， m.1. 二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如，这样的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数(或字母)叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素(2) 二阶矩阵与平面列向量的乘法 a11a12a11b11a12b21； .2. 几种常见的平面变换(1) 当m时，则对应的变换是恒等变换(2) 由矩阵m或m(k0)确定的变换tm称为(垂直)伸压变换(3) 反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称(4) 当m时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点)逆时针旋转角度(5) 将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变换(6) 由矩阵m或确定的变换称为切变变换3. 线性变换的基本性质(1) 设向量，则.(2) 设向量，则.(3) a是一个二阶矩阵，、是平面上任意两个向量，是任一实数，则a()a，a()aa.(4) 二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)4. 二阶矩阵的乘法(1) a，b，则ab(2) 矩阵乘法满足结合律(ab)ca(bc)备课札记题型1 二阶矩阵的运算,1)已知b，求矩阵b.解：设b，则b，故解得故b.已知矩阵a，b且，试判断(ab)与a(b)的关系解：ab， (ab)，a(b). (ab)a(b)题型2 求变换前后的曲线方程,2)(2014南京、盐城期末)已知曲线c：xy1，若矩阵m对应的变换将曲线c变为曲线c，求曲线c的方程解：设曲线c上一点(x，y)对应于曲线c上一点(x，y)，所以，所以xyx，xyy.所以x，y，所以xy1，所以曲线c的方程为y2x22.已知矩阵m，n，矩阵mn对应的变换把曲线ysinx变为曲线c，求曲线c的方程解： mn， 设p(x，y)是所求曲线c上的任意一点，它是曲线ysinx上点p0(x0，y0)在矩阵mn变换下的对应点，则有，即所以又点p(x0，y0)在曲线ysinx上，故y0sinx0，从而ysinx.所求曲线c的方程为ysinx. 题型3 根据变换前后的曲线方程求矩阵,3)二阶矩阵m对应变换将(1，1)与(2，1)分别变换成(5，7)与(3，6)(1) 求矩阵m；(2) 若直线l在此变换下所变换成的直线的解析式l：11x3y680，求直线l的方程解：(1) 不妨设m，则由题意得，所以故m.(2) 取直线l上的任一点(x，y)，其在m作用下变换成对应点(x，y)，则，即代入11x3y680，得xy40，即l的方程为xy40.(2014苏州期末)已知a、br，若m所对应的变换tm把直线2xy3变换成自身，试求实数a、b.解：设，则 2xy3， 2(xay)(bx3y)3.即(2b)x(2a3)y3.此直线即为2xy3， 2b2，2a31，解得a1，b4.题型4 平面变换的综合应用,4)已知m，n，向量.(1) 验证：(mn)m(n)；(2) 验证这两个矩阵不满足mnnm.解：(1) 因为mn，所以(mn).因为n，所以m(n)，所以(mn)m(n)(2) 因为mn，nm，所以这两个矩阵不满足mnnm.在直角坐标系中，已知abc的顶点坐标为a，b，c.求abc在矩阵作用下变换所得到的图形的面积解：因为，所以a，b，c在矩阵作用下变换所得到的三个顶点坐标分别为a，b，c.故sabcac|yb|.1. 在直角坐标系中，oab的顶点坐标o(0，0)、a(2，0)、b(1，)，求oab在矩阵mn的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵m，n.解：由题设得mn， ，.可知o、a、b三点在矩阵mn作用下变换所得的点分别为o(0，0)、a(2，0)、b(2，1)可得oab的面积为1.2. 已知矩阵m，n，在平面直角坐标系中，设直线2xy10在矩阵mn对应的变换作用下得到的曲线f，求曲线f的方程解：由题设得mn.设(x，y)是直线2xy10上任意一点，点(x，y)在矩阵mn对应的变换作用下变为(x，y)，则有，即，所以因为点(x，y)在直线2xy10上，从而2x(y)10，即2xy10.所以曲线f的方程为2xy10.3. (2014常州期末)已知直线l：axy0在矩阵a对应的变换作用下得到直线l，若直线l过点(1，1)，求实数a的值解：设p(x，y)为直线l上任意一点，在矩阵a对应的变换下变为直线l上的点p(x，y)，则，化简，得代入axy0，整理，得(2a1)xay0.将点(1，1)代入上述方程，解得a1.4. 变换t1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是m1；变换t2对应的变换矩阵是m2.(1) 求点p(2，1)在变换t1作用下的点p的坐标；(2) 求函数yx2的图象依次在t1、t2变换的作用下所得曲线的方程解：(1) m1，m1，所以点p(2，1)在t1作用下的点p的坐标是(1，2)(2) mm2m1，设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则m，也就是即所以，所求曲线的方程是yxy2.1. 如图所示，四边形abcd和四边形abcd分别是矩形和平行四边形，其中各点的坐标分别为a(1，2)、b(3，2)、c(3，2)、d(1，2)、b(3，7)、c(3，3)求将四边形abcd变成四边形abcd的变换矩阵m.解：该变换为切变变换设矩阵m，由图知，cc，则.所以3k23，解得k.所以，m.2. 已知在一个二阶矩阵m的变换作用下，点a(1，2)变成了点a(4，5)，点b(3，1)变成了点b(5，1)(1) 求矩阵m；(2) 若在矩阵m的变换作用下，点c(x，0)变成了点c(4，y)，求x，y.解：(1) 设该二阶矩阵为m，由题意得，所以解得a2，b1，c1，d2，故m.(2) 因为，解得x2，y2.3. (2014苏北三市期末)设矩阵m(其中a0，b0)，若曲线c：x2y21在矩阵m所对应的变换作用下得到曲线c：y21，求ab的值解：设曲线c：x2y21上任意一点p(x，y)在矩阵m所对应的变换作用下得到点p1(x1，y1)，则，即又点p1(x1，y1)在曲线c：y21上，所以y1，则b2y21为曲线c的方程又曲线c的方程为x2y21，故a24，b21.因为a0，b0，所以ab3.4. 二阶矩阵m对应的变换将点(1，1)与(2，1)分别变换成点(1，1)与(0，2)(1) 求矩阵m；(2) 设直线l在变换m作用下得到了直线m：xy4，求l的方程解：(1) 设m，则有，所以且解得所以m.(2) 因为且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，即xy20，即直线l的方程为xy20.几种特殊的变换反射变换：m：点的变换为(x，y)(x，y)，变换前后关于x轴对称；m：点的变换为(x，y)(x，y)，变换前后关于y轴对称；m：点的变换为(x，y)(x，y)，变换前后关于原点对称；m：点的变换为(x，y)(y，x)，变换前后关于直线yx对称投影变换：m：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上，点的变换为(x，y)(x，0)；m：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上，点的变换为(x，y)(0，y)；m：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到yx上，点的变换为(x，y)(x，x)；m：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到yx上，点的变换为(x，y)(y，y)；m：将坐标平面上的点垂直于yx方向投影到yx上，点的变换为(x，y).请使用课时训练(a)第1课时(见活页)第2课时逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值 与特征向量(对应学生用书(理)188190页) 掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算. 求二阶矩阵的特征值和特征向量， 利用特征值和特征向量进行矩阵运算 理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算. 会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组会利用特征值和特征向量进行矩阵运算1. 已知矩阵a，b，求(ab)1.解： ab，设(ab)1， (ab)(ab)1. ，即. 故a0，b，c1，d0.即(ab)1.2. 已知矩阵m，若矩阵m的逆矩阵m 1，求a、b的值解：由题意，知mm1e，即，即解得a5，b3.3. 求矩阵的特征多项式解：f()(1)(2)2234.4. (选修42p73习题第1题改编)求矩阵m的特征值解：矩阵m的特征多项式为f()(2)(3)，令f()0，得m的特征值为12，23.5. 已知二阶矩阵a，矩阵a属于特征值11的一个特征向量为1，属于特征值24的一个特征向量为2.求矩阵a.解：由特征值、特征向量定义可知，a111，即1，得同理可得解得a2，b3，c2，d1.因此矩阵a.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵a、b，若有abbae，则称a是可逆的，b称为a的逆矩阵(2) 若二阶矩阵a、b均存在逆矩阵，则ab也存在逆矩阵，且(ab)1b1a1.(3) 利用行列式解二元一次方程组2. 特征值与特征向量(1) 设a是一个二阶矩阵，如果对于实数，存在一个非零向量，使a，那么称为a的一个特征值，而称为a的属于特征值的一个特征向量(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵a的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(0)，或者方向相反(0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1) 求实数a、b的值；(2) 求a2的逆矩阵解：(1) 设曲线2x22xyy21上任一点p(x，y)在矩阵a对应的变换下的象是p(x，y)，由，得因为p(x，y)在圆x2y21上，所以(ax)2(bxy)21，化简可得(a2b2)x22bxyy21，依题意可得a2b22，2b2a1，b1或a1，b1，而由a0可得ab1.(2) 由(1)a，得a2|a2|1，(a2)1.1. 已知矩阵a，若点p(1，1)在矩阵a对应的变换作用下得到点p(0，8)(1) 求实数a的值；(2) 求矩阵a的特征值解：(1) 由，得a18，所以a9.(2) 由(1)知a，则矩阵a的特征多项式为f()(1)29228，令f()0，所以矩阵a的特征值为2或4.2. 已知矩阵a有一个属于特征值1的特征向量.(1) 求矩阵a；(2) 矩阵b，点o(0，0)，m(2，1)，n(0，2)，求omn在矩阵ab的对应变换作用下所得到的omn的面积解：(1) 由已知得1， 解得故a.(2) ab. (ab)，(ab)，(ab)，即点o、m、n变成点o(0，0)，m(4，0)，n(0，4)，omn的面积为448.3. (2014南京、盐城一模)已知矩阵a的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为.(1) 求矩阵a；(2) 若a，求x、y的值解：(1) 由题意，得2，即解得a2，b4.所以a.(2) (解法1)a，即，所以解得(解法2)因为a，所以a1.因为a，所以a1.所以4. 设矩阵m(其中a0，b0)(1) 若a2，b3，求矩阵m的逆矩阵m1；(2) 若曲线c：x2y21在矩阵m所对应的线性变换作用下得到曲线c：y21，求a、b的值解：(1) 设矩阵m的逆矩阵m1，则mn1.又m，所以，所以2x11，2y10，3x20，3y21，即x1，y10，x20，y2，故所求的逆矩阵m1.(2) 设曲线c上任意一点p(x，y)，它在矩阵m所对应的线性变换作用下得到p(x