（全国卷II）2016年高考数学调研卷（第一模拟）文（含解析）.doc

2016年全国卷ii高考考试大纲调研卷文科数学（第一模拟）一、选择题：共12题1已知集合a=x|x2+x-2=0,b=x|-x2+x=0,则ab=a.-1,0b.0,1c.1d.0【答案】c【解析】本题考查一元二次方程的解、集合的交运算.先求出两个集合a,b,再利用集合知识求解即可.因为a=-2,1,b=0,1,所以ab=1.选c. 2已知(a+bi)(1-2i)=5(i为虚数单位,a,br),则a+b的值为a.-1b.1c.2d.3【答案】d【解析】本题主要考查复数的乘法运算、复数相等的概念.解题时,先利用复数的乘法运算对已知条件进行运算,然后根据复数相等的概念求出a,b即可求解.因为(a+bi)(1-2i)=a+2b+(b-2a)i=5,故, 解得a=1,b=2,故a+b=3,选d. 3高三某班有学生56人,现将所有同学随机编号,用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、33号、47号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号为a.13b.17c.19d.21【答案】c【解析】本题主要考查系统抽样在实际问题中的应用,考查考生对基础知识的掌握情况.因为47-33=14,所以由系统抽样的定义可知样本中的另一个学生的编号为5+14=19. 4“x1”是“log2(x-1)0”的a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件【答案】b【解析】本题主要考查不等式的知识与充要关系的判断.分清条件和结论,根据充分条件、必要条件的定义判断是解题的关键.由log2(x-1)0得0x-11,即1x1”是“log2(x-1)0,-0,所以,又-0),若点q(m,n)在直线y=2x+上,则(a-m)2+(b-n)2的最小值为a.b.c.9d.3【答案】a【解析】本题主要考查导数的几何意义、点到直线的距离公式,考查考生构造函数解决问题的意识、数据处理能力等,属于中上等难度题.将问题转化为函数图象上的动点与直线上的动点的距离问题,可用与已知直线平行的切线求解.由题意知,y=2x+表示斜率为2的直线,变量a,b满足b=-a2+3lna,设函数f(x)=-x2+3lnx,则f(x)=-x+,设当切线斜率为2时,函数f(x)图象的切点的横坐标为x0,则-x0+=2,x0=1,此时切点坐标为(1,-),切点到直线y=2x+的距离d=,(a-m)2+(b-n)2的最小值为d2=. 12已知双曲线c:-4y2=1(a0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于,抛物线e:y2=2px的焦点与双曲线c的右焦点重合,直线l的方程为x-y+4=0,在抛物线上有一动点m到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1+d2的最小值为a.+2b.+1c.-2d.-1【答案】d【解析】本题综合考查双曲线的方程、渐近线,抛物线的定义、性质等,考查考生分析问题、解决问题的能力.-4y2=1的右顶点坐标为(a,0),一条渐近线为x-2ay=0.由点到直线的距离公式得d=,解得a=或a=-(舍去),故双曲线的方程为-4y2=1.因为c=1,故双曲线的右焦点为(1,0),即抛物线的焦点为(1,0),所以p=2,x=-1是抛物线的准线,因为点m到y轴的距离为d1,所以到准线的距离为d1+1,设抛物线的焦点为f,则d1+1=|mf|,所以d1+d2=d1+1+d2-1=|mf|+d2-1,焦点到直线l的距离d3=,而|mf|+d2d3=,所以d1+d2=|mf|+d2-1-1,选d. 二、填空题：共4题13设向量a,b的夹角为60,|a|=1,|b|=2,则(-3a+b)(a+2b)=.【答案】0【解析】本题主要考查向量的模与夹角、向量的数量积等,考查考生的运算能力.因为向量a,b的夹角为60,|a|=1,|b|=2,所以ab=|a|b|cos 60=12=1,则(-3a+b)(a+2b)=-3a2-6ab+ab+2b2=-3-5+8=0. 14已知在平面直角坐标系中,o(0,0),a(2,4),b(6,2),则三角形oab的外接圆的方程是.【答案】x2+y2-6x-2y=0【解析】本题主要考查三角形的外接圆等知识.有两种方法解决,一是待定系数法,设出圆的一般方程,求出d,e,f即可,二是先判断出三角形oab为直角三角形,再利用直角三角形的性质求出其外接圆的方程.解法一设三角形oab的外接圆方程是x2+y2+dx+ey+f=0,依题意可得,解得,故三角形oab的外接圆的方程是x2+y2-6x-2y=0.解法二因为直线oa的斜率koa=2,直线ab的斜率kab=-,kabkoa=2(-)=-1,所以三角形oab是直角三角形,点a为直角顶点,ob为斜边,因为|ob|=,故外接圆的半径r=,又ob的中点坐标为(3,1),故三角形oab的外接圆的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=10,即x2+y2-6x-2y=0. 15已知棱长均为a的正三棱柱abc-a1b1c1的六个顶点都在半径为的球面上,则a的值为.【答案】1【解析】本题主要考查球的内接三棱柱等,考查考生的空间想象能力与运算能力.设o是球心,d是等边三角形a1b1c1的中心,则oa1=,因为正三棱柱abc-a1b1c1的所有棱长均为a,所以a1d=aa,od=,故a1d2+od2=(a)2+()2=()2,得a2=,即a2=1,得a=1. 16已知正项等比数列an的前n项和为sn,a1=2,且s1,s2+2,s3成等差数列,记数列an(2n+1)的前n项和为tn,则tn=.【答案】2-(1-2n)2n+1【解析】本题主要考查等比数列的通项公式、错位相减法求和.利用已知条件可以求出an的通项公式,再利用错位相减法求和即可.设数列an的公比为q,由可得4+4q+4=2+2+2q+2q2,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍去),an=2n(nn*),an(2n+1)=(2n+1)2n,故tn=32+522+(2n+1)2n,则2tn=322+523+(2n+1)2n+1,故-tn=32+222+223+22n-(2n+1)2n+1=6+2-(2n+1)2n+1=-2+(1-2n)2n+1,故tn=2-(1-2n)2n+1. 三、解答题：共8题17已知abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且a=2,.(1)求角a的大小;(2)求abc的面积的最大值.【答案】(1)根据正弦定理,由可得,b2-a2=bc-c2,即b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosa=,a(0,),a=.(2)由a=2及余弦定理可得cosa=,故b2+c2=bc+4.又bc+4=b2+c22bc,bc4+2,当且仅当b=c=时等号成立.故所求abc的面积的最大值为(4+2)+1.【解析】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,基本不等式及三角形的面积公式等,考查了考生的计算能力,属于中档题.(1)利用正弦定理与余弦定理即可得出;(2)先利用余弦定理、基本不等式求出bc的最大值,再利用三角形的面积计算公式即可得出.【备注】解三角形的常见类型和方法:(1)已知两角和一边,首先根据内角和求出第三角,再用正弦定理、余弦定理求解相关问题;(2)已知两边和夹角,先用余弦定理求出第三边,再用正弦定理求另两角,必有一解;(3)已知三边可先应用余弦定理求对应的三个角,再求解相关问题.18某县共有90个农村淘宝服务网点,随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额(单位:万元)的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数;(2)若网购金额(单位:万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点,其余为非优秀服务网点,根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数;(3)从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查,求恰有1个网点是优秀服务网点的概率.【答案】(1)由题意知,样本数据的平均数=12.(2)样本中优秀服务网点有2个,频率为,由此估计这90个服务网点中有90=30个优秀服务网点.(3)由于样本中优秀服务网点有2个,分别记为a1,a2,非优秀服务网点有4个,分别记为b1,b2,b3,b4,从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有:(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),(b1,b2),(b1,b3),(b1,b4),(b2,b3),(b2,b4),(b3,b4),共15种,记“恰有1个是优秀服务网点”为事件m,则事件m包含的可能情况有:(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,b4),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,b4),共8种,故所求概率p(m)=.【解析】本题主要考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识.(1)先根据茎叶图读出数据,再利用公式求解即可;(2)利用样本估计总体的知识即可得出;(3)先利用列举法将满足条件的情况逐一列出来,再利用古典概型的概率计算公式解答.【备注】概率与统计解答题是近几年新课标高考的热点考题,利用茎叶图解答实际问题是当今命题的热点与亮点.这类题往往借助于熟悉的知识点,结合实际生活中比较新颖的问题进行命题,在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,往往对分层抽样、系统抽样比较偏重,考生只有正确处理茎叶图,读准数据,掌握古典概型的概率的计算,考试时才不会失分.19在多面体abcdef中,底面abcd是梯形,四边形adef是正方形,abdc,ab=ad=1,cd=2,ac=ec=.(1)求证:平面ebc平面ebd;(2)设m为线段ec上一点,且3em=ec,试问在线段bc上是否存在一点t,使得mt平面bde,若存在,试指出点t的位置;若不存在,请说明理由.【答案】(1)因为ad=1,cd=2,ac=,所以ad2+cd2=ac2,所以adc为直角三角形,且addc.同理,因为ed=1,cd=2,ec=,所以ed2+cd2=ec2,所以edc为直角三角形,且eddc.又四边形adef是正方形,所以adde,又addc=d,所以ed平面abcd.又bc平面abcd,所以edbc.在梯形abcd中,过点b作bhcd于点h,故四边形abhd是正方形,所以adb=45,bd=.在rtbch中,bh=ch=1,所以bc=,故bd2+bc2=dc2,所以bcbd.因为bded=d,bd平面ebd,ed平面ebd,所以bc平面ebd,又bc平面ebc,所以平面ebc平面ebd.(2)在线段bc上存在一点t,使得mt平面bde,此时3bt=bc.连接mt,在ebc中,因为,所以mteb.又mt平面bde,eb平面bde,所以mt平面bde.【解析】本题主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系等,考查考生的推理论证能力、空间想象能力及运算求解能力.(1)先利用勾股定理证明adc、edc是直角三角形,最后证明平面ebc平面ebd;(2)是探究性问题,先利用分析法找到点t,再进行证明.【备注】与平行、垂直有关的探究性问题是高考常考题型之一,解答的基本思路是先根据条件猜测点的位置,再给出证明.在探究点的存在性问题时,点多为中点、三等分点等特殊点,有时也需结合平面几何知识找点.20设f1、f2分别是椭圆e:+=1(b0)的左、右焦点,若p是该椭圆上的一个动点,且的最大值为1.(1)求椭圆e的方程;(2)设直线l:x=ky-1与椭圆e交于不同的两点a、b,且aob为锐角(o为坐标原点),求k的取值范围.【答案】(1)解法一易知a=2,c=,b24,所以f1(-,0),f2(,0),设p(x,y),则=(-x,-y)(-x,-y)=x2+y2-4+b2=x2+b2-4+b2=(1-)x2+2b2-4.因为x-2,2,故当x=2,即点p为椭圆长轴端点时,有最大值1,即1=(1-)4+2b2-4,解得b2=1.故所求椭圆e的方程为+y2=1.解法二由题意知a=2,c=,b20,故y1+y2=,y1y2=.又aob为锐角,故=x1x2+y1y20,又x1x2=(ky1-1)(ky2-1)=k2y1y2-k(y1+y2)+1,所以x1x2+y1y2=(1+k2)y1y2-k(y1+y2)+1=(1+k2)-+1=0,所以k2,解得-k0,将x1=ky1-1,x2=ky2-1代入求得x1x2+y1y2关于k的表达式,解不等式求出k的取值范围.【备注】每年高考试题都有一道解析几何的解答题,此题难度中等偏上,综合考查圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质,与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题和直线与圆锥曲线的位置关系等知识.由于解析几何解答题的综合性较强,对考生的能力要求较高,所以解答这类问题时,要注意观察问题的个性特征,熟练运用圆锥曲线的几何性质,以减少解题过程中的运算量.21已知函数f(x)=ax2-lnx+1(ar).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)求证:当a=1时,f(x)x2+在(1,+)上恒成立.【答案】(1)由于f(x)=ax2-lnx+1(ar),故f(x)=2ax-(x0).当a0时,f(x)0时,令f(x)=0,得x=.当x变化时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(0,)(,+)f(x)-0+f(x)极小值由表可知,f(x)在(0,)上是单调递减函数,在(,+)上是单调递增函数.综上所述,当a0时,f(x)的单调递减区间为(0,+),无单调递增区间;当a0时,f(x)的单调递减区间为(0,),单调递增区间为(,+).(2)当a=1时,f(x)=x2-lnx+1,设f(x)=x2-lnx+1-x2-x2-lnx-,则f(x)=x-0在(1,+)上恒成立,f(x)在(1,+)上为增函数,且f(1)=0,即f(x)0在(1,+)上恒成立,当a=1时,f(x)x2+在(1,+)上恒成立.【解析】本题考查运用导数知识求函数的单调区间及不等式的恒成立问题,涉及分类讨论、构造法等思想方法.第(1)问是求函数的单调区间问题,对f(x)求导,分a0和a0进行讨论,进而求出单调区间;第(2)问通过构造函数,利用函数的单调性进行证明.【备注】函数的单调性、极值、最值是高考命题的重点与热点,函数与不等式等结合的题目往往成为考卷的压轴题,因而预计2016年高考对函数的单调性、极值、最值等问题还会继续考查,但已知条件中函数表达式的结构形式不会太复杂,因而本题试图在函数表达式较简单的基础上加大问题设置上的难度,在不增加考生题意理解难度的基础上,力争考查更多的知识.22如图,四边形abcd是o的内接四边形,延长ba和cd相交于点p,bd为o的直径,过点c作cebd于点e,be=,ad=,.(1)求bc的值;(2)求sinbdc的值.【答案】(1)因为四边形abcd是o的内接四边形,所以pad=pcb,又p=p,所以padpcb.设pa=a,pd=b,则有,即,故b=a,所以.又ad=,所以bc=4.(2)由bd为o的直径可知,bccd,又cebd,所以在rtbcd中,由射影定理知,bc2=bebd,故42=bd,解得bd=3.故sinbdc=.【解析】本题考查圆内接四边形的性质、三角形相似、射影定理等.对于第(1)问要先得到pad与pcb相似,再利用已知条件得到比例关系式,即可求出bc的值;对于第(2)问要充分利用射影定理求出bd的值,进而求解sinbdc的值.【备注】与圆有关的证明或计算问题是高考考查的重点内容,它主要以圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等作为证明角相等的依据,以圆的切割线定理、相交弦定理作为证明线段成比例的依据,以圆内接四边形的有关性质作为证明四点共圆的依据.求解时要依据图形,合理推理,准确转化,必要时需要借助辅助线将问题转化.23在直角坐标系xoy中,曲线c1的参数方程为(为参数),以原点o为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为(cos+ksin)=-2(k为实数).(1)判断曲线c1与直线l的位置关系,并说明理由;(2)若曲线c1和直线l相交于a,b两点,且|ab|=,求直线l的斜率.【答案】(1)由曲线c1的参数方程可得其普通方程为(x+1)2+y2=1.由(cos+ksin)=-2可得直线l的直角坐标方程为x+ky+2=0.因为圆