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习题 2 1 8 质量0 004kg子弹以500m s速率运动 原子中的电子以 1000m s速率运动 试估计它们位置的不确定度 证明子弹有确 定的运动轨道 可用经典力学处理 而电子运动需量子力学处理 解 注 因题中为给出速率的不确定度 所以 可以自行 引入此量 可取范围显然在0 100 之间 可以取中间量10 由此 导出动量的不确定度 以进一步由测不准原理导出位置的不确定 度的数量级 若假定速率的不准确度为10 对子弹而言 Px m Vx m 10 Vx 0 2kg m s x h Px 3 31 10 33m 对电子而言 x h Px h m 10 Vx 7 28 10 7m 可以看出 子弹位置的不确定度比子弹小得多 完全可以 忽略 所以子弹可用经典力学处理 而电子位置的不确定度与分 子尺寸 10 10m 相比 根本不能忽略 所以电子运动需要用量子 力学处理 1 9 用测不准原理说明普通光学光栅 间隙约 10 6m 观 察不到 10000V 电压加速的电子衍射 1 eV 1 602x10 19 J 解 发生电子衍射时 电子动量的不确定度在数量级上 与电子动量是相近的 由测不准原理可知电子位置的不确定 度 即电子发生衍射时位置不确定度 或衍射光栅的宽度 与电子的德布罗意波长数量级上必须相当 而电子的德布罗意波长为 10226 1 10226 1 1 10602 110110 92 10626 6 2 v 11 9 1931 34 e m V V eVm h mh e e 显然 光学光栅的宽度要远大于电子的德布罗意波长 观察不到电子衍射 1 12 判断下列算符是否是线性厄米算符 1 d dx 2 2 3 x 1 x2 4 e x2 解 线性算符的定义为 1 2 1 2 厄米算符的定义为 d d 线性算符比较好判定 证明是否为厄米算符 1 d d d d d 即 d d d 所以d dx不是厄米算符 注意 因波函数平方可积 所以上式中 0 2 d d d d d d d d d 从上式可以看出 是厄米算符 同理我们可证 和 也为 厄米算符 又 2 所以我们可以得到 2为线性 厄米算符 也可用动能算符和拉普拉斯算符的关系来简化 推导过程 可利用的关系式有 aT aT 3 d x x d 而 d x x d 因此是线性厄米算符 4 d dx 而 d dx 从上面讨论可以看出 是厄米算符非线性 1 13 下列函数是否是 d dx 的本征函数 若是 求其本征 值 1 exp ikx 2 coskx 3 k 4 kx 解 1 exp ikx ikex
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