复数在初等数学解题中的应用.pdf

第 3 3 卷第 4期2 0 1 4年 4 月 数学教学研究 6 5 复数在初等数学解题中的应用 李 明 赵洁 郑 平 兰州城市学院 数学学院 甘肃 兰州7 3 0 0 7 0 摘要 复数表示形式的多样化沟通了复数与数学各分科之间的联系 使得复数不仅在代数各分支 有着综合的应用 而且也为三角 几何等学科提供了有力的解题工具 本文通过例题说明用复数解决 代数 三 角和几何 问题 关键 词 复数 代数 三 角 几何 中图分类号 G6 3 3 6 复数是高中代数的重要内容 由于复数 知识沟通了代数 三角 几何之间的内在联 系 所以根据问题的特点构造复数 并利用复 数的有关知识求解 就能为我们解决代数 三 角 几何等问题提供新的解题思路 1 利用复数解决代数 问题 例 1 有两个数 其中每一个都是两个 整数的平方和 证明它们的积仍是两个整整 的平方和 由复数的代数形式及运算 联想到如将 两个数均表示为共轭复数的积 问题得以解 决 证设两个数 m a 6 一c d n b C d Z 则它们可以表示为 m一 n b i 口一 i 一 c d i c i 从而 m 一 口 6 i a b i c i c i 一 n 6 i f i a b i c i 一 a c b d a d b c 收稿 日期 2 0 1 4 0 3 0 1 由于n c 一 和a d b c 都是整数 故命题 得证 例 2 设 P R 方程 X 一2 x 2 0的 两复根的对应点为 A B 方程 z 2 p z 一1 0 的两复根的对应点为 C D 若 A B C D 4 点共圆 求实数 P的值 注意到 A B两点关于 轴对称 C D两 点在 X轴上及 A B C D 4点共圆 所 以 C D 是圆的直径 从而问题得 以解决 解用 A B C D 同 时表示对应 的复数 则方 程 一2 x 2 0的两根 A一1 i B一1 一i 方程 X 2 p x一1 0的两根 为 C D 由 P为实数可 y l 图 1 知 C D为实数 设 H 为点 A 在 轴上的射 影 如图 1 因为 A B C D 4点共圆 则 l C HI l HDI I AHI 即 1 一C D一1 一 1 从而 C D一2 C D 由C D是方程X 2 p 一1 0的根知 C D一 一2 p C D一一1 6 6 数学教学研究 第 3 3卷第 4 期2 0 1 4年 4月 2 p 1 一丢 例 3计 算 a r c s in 号 一 a r c c s 2 解因为 a r g 3 4 i a r c s in 詈 o 号 ar g 2 a r cco s 5 E 詈 盯 m i一 o S 一 a r g 一a an 例 4 求 n c s c s c s 解令 一 一 则 一 R e 一 R e 一 J I n j 3 n 4 0 o 一 2 n 一 2 3 利用复数解决几何问题 复数的几何意义是表 示复平面上 的点 因此 通过 复平面可 以实现复数与平面几何 之间的变换 由于这种变换是 同构 的 因此 我们不仅可以借助于几何图形来研究复数问 题 而且可以借助复数运算来研究几何问题 例 5 A B为平 面上两定 点 C为平 面 上位于直线AB同侧的一个动点 以 A C B C 各为 边 在 A B C 外 作 正 方 形 C A DI C B E J 证明 无论 C点取在直线 A B同侧的 任何位置 D E的中点M 的位置不变 解用表示点 的字母 同时表示对应的复数 则 由 C A D I和 C B E J都是 正 方 形 如 图 2 可 得 D A E B 一 一 层 J 图 2 D A C A i E B B C i 而 DE的中点 M一 告 A 1 i B 1 i 与动点 C无关 故命题得证 例 6 求证 三角形 3 条中线共点 证设三角形 3顶点为 A B C 点 M 为 边 AC B C中线 的交点 同时用 A B C M 表 示上述点对应的复数 因为点 A M 下B C B M A 共线 故存在实数 2 1 0 1 使得 M 一 1 2 A A B C 第 3 3 卷第 4期2 0 1 4年 4月 数 学教 学研究 6 7 M 一 1 一 B A 丁 C 消去 M 得 E 2 1 一 一 A 一2 1 一 B 一 C O 1 因为 A B C不共线 且 方程 1 中 A B C系数和为零 所 以 2 1 一 一 一 2 1 一 一 O 故有 一 一 2 即 M 1 A B c 这说 明交点 M 与中线选择无关 所 以 3条中线共 点于 M 例7 凸四边形对边中点连线叫凸四边 形的中位线 若凸四边形两条中位线的和等 于周长的一半 求证 此 四边形是平行 四边 形 证 设 E F M N 分别是 四边形 AB C D 的 边 AB C D BC D A 的中 点 如图 3 建立复平 面 用字母同时表示对应的复 数 则 图3 2 一 碲 商 即 一 同痢一 赢 茄 因此 I F El 一百 I I D A C B I I D AI I I C BI I N M I 一百 1 J A B D C 1 I A B I I D C 1 于是 f F Ef f N M I I D A I l C B I I A B I I D c1 其中等号当 与赢 同向 与 同向时 成立 即四边形 AB C D为平行四边形 参考文献 E l i 叶军 数学奥林匹克教程 M 长沙 湖南师范 大学出版社 2 0 0 3 上接 第 6 4页 比较解法 1 2 可看 出用换元法计算定 积分时 代换 函数 z一 单调与否不影 响 最后的计算结果 但选择一个单调 区间显得 方便 3 强调微分 函数 d r 一 d t 的几何意 义 教材中只是选用代换计算定积分 没有提 到代换 的几何意义 我们觉得在此强调 d r d t 的几何意义 不仅有助于学生学习定 积分的换元法 而且可为二重积分的极坐标 变换 般变换 三重积分的柱坐标变换 球 坐标变换打下伏笔 4 让学生知道定积分的计算是一件比较 麻烦的事情 有时候甚至不能得到定积分的 准确结果 这时就有定积分 的近似计算课题 在此要明确强调 换元 法是计算定积分 的一 种有效方法 要唤起 学生对 它 的重视 计算 时 所作的变量