2014-2015年高中数学选修2-1-22.4.2.2.ppt

第2课时抛物线方程及性质的应用 题型示范 类型一直线与抛物线的位置关系 典例1 1 过点 0 1 的直线与抛物线x2 2y公共点的个数为 A 0B 1C 2D 1或2 2 已知直线l y k x 1 与抛物线C y2 4x 问 k为何值时 直线l与抛物线C有两个交点 一个交点 无交点 解题探究 1 题 1 过定点的直线与抛物线有几个公共点 关键条件是什么 2 题 2 直线y kx b与抛物线y2 2px p 0 都有哪几种位置关系 探究提示 1 过定点的直线与抛物线有几个公共点 关键要看定点与抛物线的位置关系 2 直线y kx b与抛物线y2 2px p 0 有相交 相切 相离三种位置关系 自主解答 1 选D 因为点 0 1 在抛物线内部 故过该点的直线斜率不存在时 与抛物线有一个公共点 是相交的 斜率存在时 有两个公共点 因此公共点的个数是1或2 2 由方程组消去y得k2x2 2k2 4 x k2 0 记 2k2 4 2 4k4 16 1 k2 若直线与抛物线有两个交点 则k2 0且 0 即k2 0 且16 1 k2 0 解得k 1 0 0 1 所以当k 1 0 0 1 时 直线l和抛物线C有两个交点 若直线与抛物线有一个交点 则k2 0或k2 0时 0 解得k 0或k 1 所以当k 0或k 1时 直线l和抛物线C有一个交点 若直线与抛物线无交点 则k2 0且 1或k1或k 1时 直线l和抛物线C无交点 方法技巧 直线与抛物线位置关系的判断方法设直线l y kx b 抛物线 y2 2px p 0 将直线方程与抛物线方程联立消元得 k2x2 2kb 2p x b2 0 1 若k2 0 此时直线与抛物线有一个交点 该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合 2 若k2 0 当 0时 直线与抛物线相交 有两个交点 当 0时 直线与抛物线相切 有一个交点 当 0时 直线与抛物线相离 无公共点 变式训练 过点 3 2 的直线与抛物线y2 4x只有一个公共点 求此直线方程 解析 显然 直线斜率k存在 设直线方程为y 2 k x 3 由消去x 整理得ky2 4y 8 12k 0 1 当k 0时 方程 化为 4y 8 0 即y 2 此时过 3 2 的直线方程为y 2 满足条件 2 当k 0时 方程 应有两个相等的实根 所以即解得或k 1 则直线方程为或y 2 x 3 即x 3y 9 0或x y 1 0 故所求直线有三条 其方程分别为y 2或x 3y 9 0或x y 1 0 补偿训练 直线ax y a 0与抛物线y2 2px p 0 的公共点的个数为 解析 由ax y a 0 得y a x 1 故直线恒过定点 1 0 又定点 1 0 在抛物线y2 2px的对称轴上 故当直线与对称轴重合时有一个交点 当直线与对称轴不平行或不重合时 有两个交点 答案 1或2 类型二抛物线的弦长问题 典例2 1 顶点在原点 焦点在x轴上的抛物线截直线y 2x 4所得弦长 AB 则抛物线方程为 2 过抛物线y2 4x的焦点F作倾斜角为60 的直线与抛物线相交 求直线被抛物线截得的弦长 解题探究 1 题 1 顶点在原点 焦点在x轴上的抛物线方程如何设 2 题 2 求过焦点的弦长 有哪些公式可用 探究提示 1 可设抛物线的方程为y2 ax a 0 2 可利用或或 AB x1 x2 p等 自主解答 1 设抛物线的方程为y2 ax a 0 将y 2x 4代入得 4x2 a 16 x 16 0 设A x1 y1 B x2 y2 即x1 x2为方程 的两根 由根与系数的关系知所以 x1 x2 所以 AB 又 AB 所以a 4或a 36 所以所求抛物线方程为y2 4x或y2 36x 答案 y2 4x或y2 36x 2 方法一 抛物线的焦点为F 1 0 倾斜角为60 的直线的斜率为k tan60 所以直线方程为y x 1 代入抛物线方程整理得3x2 10 x 3 0 所以由抛物线的焦点弦长公式得所求弦长为 方法二 抛物线的焦点为F 1 0 倾斜角为60 的直线的斜率为k tan60 所以直线方程为y x 1 代入抛物线方程整理得3x2 10 x 3 0 解得x1 3或x2 代入y x 1 得或所以 AB 方法技巧 直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 直线的斜率为k 1 一般的弦长公式 AB 2 焦点弦长公式 当直线经过抛物线y2 2px p 0 的焦点时 弦长 AB x1 x2 p 3 求弦长时 为简化计算常常借助根与系数的关系 这样可以避免分别求x1 x2的麻烦 如果是利用弦长求参数的问题 只需要列出参数的方程或不等式即可求解 而x1 x2或 y1 y2 一般是求不出来的 变式训练 已知过抛物线y2 4x的焦点F的弦长为36 求弦所在的直线方程 解析 过焦点且垂直于x轴的直线不满足题意 设弦所在的直线的斜率为k 且与抛物线交于A x1 y1 B x2 y2 两点 因为抛物线y2 4x的焦点为F 1 0 所以直线方程为y k x 1 由得k2x2 2k2 4 x k2 0 所以所以 AB AF BF 又 AB 36 所以解得即所以所求直线方程为或 补偿训练 已知抛物线C y2 4x的焦点为F 直线y 2x 4与C交于A B两点 则cos AFB 解题指南 方程联立求出A B两点后转化为解三角形问题 解析 选D 联立消y得x2 5x 4 0 解得x 1或x 4 不妨设A在x轴上方 于是A B的坐标分别为 4 4 1 2 可求 AB AF 5 BF 2 利用余弦定理cos AFB 类型三与抛物线有关的中点弦问题 典例3 1 已知抛物线C的顶点为坐标原点 焦点在x轴上 直线y x与抛物线C交于A B两点 若P 2 2 为AB的中点 则抛物线C的方程为 2 已知A B为抛物线E上不同的两点 若抛物线E的焦点为 1 0 线段AB恰被M 2 1 所平分 求抛物线E的方程 求直线AB的方程 解题探究 1 题 1 中点P的坐标与A B两点的坐标有何关系 2 题 2 中如何设直线AB的方程 探究提示 1 设A x1 y1 B x2 y2 则2 可设直线的点斜式方程y 1 k x 2 k 0 自主解答 1 设抛物线的方程为y2 kx 与y x联立方程组 消去y 得x2 kx 0 设A x1 y1 B x2 y2 所以x1 x2 k 又因为P 2 2 为AB的中点 所以所以k 4 所以y2 4x 答案 y2 4x 2 由于抛物线的焦点为 1 0 所以p 2 所求抛物线方程为y2 4x 方法一 设A x1 y1 B x2 y2 则y12 4x1 y22 4x2 且x1 x2 4 y1 y2 2 由 得 y1 y2 y2 y1 4 x2 x1 所以所以所求直线AB的方程为y 1 2 x 2 k 0 即2x y 3 0 方法二 显然AB不垂直于x轴 故可设弦AB所在的直线方程为y 1 k x 2 k 0 设A x1 y1 B x2 y2 k 0 联立方程 消去x整理得ky2 4y 8k 4 0 所以又M点是AB的中点 所以y1 y2 2 所以k 2 故直线AB的方程为y 1 2 x 2 即2x y 3 0 延伸探究 若题 2 中条件 线段AB恰被M 2 1 所平分 改为 线段AB恰被M 1 1 所平分 问这样的直线AB是否存在 若存在 求出直线AB的方程 若不存在 说明理由 解析 由抛物线的焦点为 1 0 所以故抛物线方程为y2 4x 假设AB斜率存在 即AB不垂直于x轴 故可设AB所在直线的方程为y 1 k x 1 k 0 设A x1 y1 B x2 y2 联立消去x整理得ky2 4y 4 4k 0 16 4k 4 4k 0恒成立 又由根与系数的关系得根据M为AB中点 所以所以所求直线方程为y 1 2 x 1 即2x y 1 0 当AB的斜率不存在时 显然不符合题意 方法技巧 中点弦 问题解题策略两法 变式训练 求过点 2 1 的直线与抛物线y2 4x相交所得弦的中点的轨迹方程 解题指南 可采用 点差法 即用点差法表示出直线斜率与用斜率公式求得的斜率相等建立方程求解 解析 设弦的中点为M x y 弦的端点坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则x1 x2 2x y1 y2 2y 由得 y1 y2 y1 y2 4 x1 x2 当x1 x2 即直线的斜率存在时 设直线的斜率为k 则又由斜率公式得所以整理得y2 2x y 4 0 x 2 当x1 x2 即x 2时 此时斜率不存在 弦的中点坐标为 2 0 也符合 式 故中点的轨迹方程为y2 2x y 4 0 补偿训练 过抛物线y2 4x的焦点作直线交抛物线于A x1 y1 B x2 y2 两点 若 AB 7 则AB的中点M到抛物线准线的距离为 解析 抛物线的焦点为 1 0 准线方程为x 1 p 2 由抛物线的定义知 AB AF BF 即x1 x2 p 7 所以x1 x2 5 于是弦AB的中点M的横坐标为因此M到抛物线准线的距离为答案 规范解答 抛物线性质的综合应用 典例 12分 2013 浙江高考 已知抛物线C的顶点为O 0 0 焦点F 0 1 1 求抛物线C的方程 2 过F作直线交抛物线C于A B两点 若直线AO BO分别交直线l y x 2于M N两点 求 MN 的最小值 审题 抓信息 找思路 解题 明步骤 得高分 点题 警误区 促提升失分点1 若解题时忽视题意条件 在 处将抛物线的方程设为y2 2px p 0 则会导致不得分 失分点2 若不能根据条件在 处表示出M N两点的横坐标 从而无法表示 MN 则本例最多得6分 失分点3 若在 处不能建立起 MN 与k的关系 从而无法求 MN 的最小值 本例最多得7分 失分点4 若在 处不对t进行讨论 实际考试时要扣1 2分 悟题 提措施 导方向1 注重阅读能力的培养要认真读题 把握题目中的每一个条件 如本例中抛物线的焦点为 0 1 是在y轴上 故 处应设其方程为x2 2py p 0 2 注意常用解题方法的应用一些常用的解题方法要掌握 如 设而不求 换元 等方法 在解题时 这些方法会使步骤简便 易于处理 如本例 处通过换元将 MN 可转化为二次形式的问题 3 注重条件间的联系建立各条件之间的关系是解题的关键 本例中 处将M N两点的坐标与A B的坐标联系在一起 从而使问题得解 类题试解 2014 江西高考 如图 已知抛物线C x2 4y 过点M 0 2 任作一直线与C相交于A B两点 过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D O为坐标原点 1 证明 动点D在定直线上 2 作C的任意一条切线l 不含x轴 与直线y 2相交于点N1 与 1 中的定直线相交于点N2 证明 MN2 2 MN1 2为定值 并求此定值 解题指南 1 设直线AB的方程 与x2 4y联立 设出A B两点坐标 由题意可得点D的坐标即可解决 2 设切线方程 进而可得点N1 N2的坐标 代入两点间的距离公式即可解决 解析 1 依题意设AB的方程为y kx 2