高考数学二轮复习简易通 专题提升训练13 立体几何中的向量方法 理 新人教A版.doc

常考问题13立体几何中的向量方法(建议用时：50分钟)1如图，四棱锥s-abcd的底面为正方形，sd底面abcd，则下列结论中不正确的是()aacsbbab平面scdcsa与平面sbd所成的角等于sc与平面sbd所成的角dab与sc所成的角等于dc与sa所成的角解析选项a正确，因为sd垂直于底面abcd，而ac平面abcd，所以acsd；再由四边形abcd为正方形，所以acbd；而bd与sd相交，所以，ac平面sbd，acsb.选项b正确，因为abcd，而cd平面scd，ab平面scd，所以ab平面scd.选项c正确，设ac与bd的交点为o，易知sa与平面sbd所成的角就是aso，sc与平面sbd所成的角就是cso，易知这两个角相等选项d错误，ab与sc所成的角等于scd，而dc与sa所成的角是sab，这两个角不相等答案d2如图，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为a，m，n分别为a1b和ac上的点，a1man，则mn与平面bb1c1c的位置关系是()a相交 b平行c垂直 d不能确定解析()()，又是平面bb1c1c的一个法向量，且0，又mn面bb1c1c，mn平面bb1c1c.答案b3如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱abc a1b1c1，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()a. b. c. d.解析设ca2，则c(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,0,1)，c1(0,2,0)，b1(0,2,1)，可得(2,2,1)，(0,2，1)，由向量的夹角公式得cos，.答案a4已知正三棱柱abc-a1b1c1的侧棱长与底面边长相等，则ab1与侧面acc1a1所成角的正弦等于()a. b. c. d.解析如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，o(0,0,0)，b(，0,0)，a(0，1,0)，b1(，0,2)，则(，1,2)，则(，0,0)为侧面acc1a1的法向量，由sin .答案a5如图所示，正方体abcd-a1b1c1d1的棱长为1，线段b1d1上有两个动点e，f且ef，则下列结论中错误的是()aacbebef平面abcdc三棱锥a-bef的体积为定值d异面直线ae，bf所成的角为定值解析ac平面bb1d1d，又be平面bb1d1d.acbe，故a正确b1d1平面abcd，又e，f在直线d1b1上运动，ef平面abcd，故b正确c中，由于点b到直线b1d1的距离不变，故bef的面积为定值，又点a到平面bef的距离为，故va-bef为定值故c正确建立空间直角坐标系，如图所示，可得a(1,1,0)，b(0,1,0)，当点e在d1处，点f为d1b1的中点时，e(1,0,1)，f，1，(0，1,1)，1，.又|，|，cos，.此时异面直线ae与bf成30角当点e为d1b1的中点，f在b1处，此时e，1，f(0,1,1)，1，(0,0,1)，1，| ，cos，故选d.答案d6已知abcd-a1b1c1d1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体abcd-a1b1c1d1的体积为|.其中正确命题的序号是_解析设正方体的棱长为1，中()223()23，故正确；中，由于ab1a1c，故正确；中a1b与ad1两异面直线所成的角为60，但与的夹角为120，故不正确；中|0.故也不正确答案7如图，在直三棱柱abc-a1b1c1中，acb90，aa12，acbc1，则异面直线a1b与ac所成角的余弦值是_解析以c为坐标原点，ca，cb，cc1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，a1(1,0,2)，b(0,1,0)，a(1,0,0)，c(0,0,0)，则(1,1，2)，(1,0,0)，cos，.答案8已知正四棱锥p-abcd的侧棱与底面所成角为60，m为pa中点，连接dm，则dm与平面pac所成角的大小是_解析设底面正方形的边长为a，由已知可得正四棱锥的高为a，建立如图所示空间直角坐标系，则平面pac的法向量为n(1,0,0)，d，a0，a,0，p，m，所以cos ，n，所以dm与平面pac所成角为45.答案459(2013辽宁卷)如图，ab是圆的直径，pa垂直圆所在的平面，c是圆上的点(1)求证：平面pac平面pbc；(2)若ab2，ac1，pa1，求二面角cpba的余弦值(1)证明由ab是圆的直径，得acbc，由pa平面abc，bc平面abc，得pabc.又paaca，pa平面pac，ac平面pac，所以bc平面pac.又bc平面pbc，所以平面pbc平面pac.(2)解过c作cmap，则cm平面abc.如图，以点c为坐标原点，分别以直线cb，ca，cm为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系在rtabc中，因为ab2，ac1，所以bc.因为pa1，所以a(0,1,0)，b(，0,0)，p(0,1,1)故c(，0,0)，c(0,1,1)设平面bcp的法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以不妨令y11，则n1(0,1，1)因为a(0,0,1)，a(，1,0)，设平面abp的法向量为n2(x2，y2，z2)，则所以不妨令x21，则n2(1，0)于是cosn1，n2.所以由题意可知二面角cpba的余弦值为.10(2013合肥第二次质检)在四棱锥p-abcd中，底面abcd是边长为1的正方形，且pa平面abcd.(1)求证：pcbd；(2)过直线bd且垂直于直线pc的平面交pc于点e，且三棱锥e-bcd的体积取到最大值求此时四棱锥e-abcd的高；求二面角a-de-b的正弦值的大小(1)证明连接ac，因为四边形abcd是正方形，所以bdac.因为pa平面abcd，所以pabd.又acpaa，所以bd平面pac.又pc平面pac，所以pcbd.(2)解设pax，三棱锥e-bcd的底面积为定值，在pbc中，易知pb，pc，又bc1，故pbc直角三角形又bepc，得ec，可求得该三棱锥的高h.当且仅当x，即x时，三棱锥e-bcd的体积取到最大值，所以h.此时四棱锥e-abcd的高为.以点a为原点，ab，ad，ap所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，p(0,0，)，易求得cecp.所以，(0,1,0)设平面ade的法向量n1(x，y，z)，则即令x，则n1(，0，3)，同理可得平面bde的法向量n2(1，1，)，所以cosn1，n2.所以sinn1，n2.所以二面角a-de-b的正弦值的大小为.11(2013天津卷)如图，四棱柱abcda1b1c1d1中，侧棱a1a底面abcd，abdc，abad，adcd1，aa1ab2，e为棱aa1的中点(1)证明b1c1ce；(2)求二面角b1-ce-c1的正弦值；(3)设点m在线段c1e上，且直线am与平面add1a1所成角的正弦值为，求线段am的长/解向量法如图，以点a为原点建立空间直角坐标系，依题意得a(0,0,0)，b(0,0,2)，c(1,0,1)，b1(0,2,2)，c1(1,2,1)，e(0,1,0)(1)证明：易得(1,0，1)，(1,1，1)，于是0，所以b1c1ce.(2)(1，2，1)设平面b1ce的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2,1)由(1)，b1c1ce，又cc1b1c1，可得b1c1平面cec1，故(1,0，1)为平面cec1的一个法向量于是cosm，从而sinm，所以二面角b1cec1的正弦值为.(3)(0,1,0)，(1,1,1)，设(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)为平面add1a1的一个法向量设为直线am与平面add1a1所成的角，则sin |cos，|，于是，解得，所以am.综合法(1)证明因为侧棱cc1底面a1b1c1d1，b1c1平面a1b1c1d1，所以cc1b1c1.经计算可得b1e，b1c1，ec1，从而b1e2b1cec，所以在b1ec1中，b1c1c1e，又cc1，c1e平面cc1e，cc1c1ec1，所以b1c1平面cc1e，又ce平面cc1e，故b1c1ce.(2)解过b1作b1gce于点g，连接c1g.由(1)，b1c1ce，故ce平面b1c1g，得cec1g，所以b1gc1为二面角b1-ce-c1的平面角在cc1e中，由cec1e，cc12，可得c1g.在rtb1c1g中，b1g，所以sin b1gc1，即二面角b1-ce-c1的正弦值为.(3)解连接