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文档简介

第二节数列极限 本节重点熟悉数列极限定义收敛数列的性质会求一些简单数列的极限 一极限问题提出 剩 3 分析 以 二 数列极限的直观定义 三 极限语言的数量刻划 1 2 1若数列 及常数a有下列关系 记作 则称该数列 的极限为a 或 此时也称数列收敛 否则称数列发散 2 注意问题 N 不唯一 用定义证明极限的关键与方法 i 关键 N的存在性ii 方法 a 具体数列 由 五几何解释 开区间内含的项多还是外面含的多 外面的是N项 有限 六 用定义证明极限的例子 轻松掌握的要点 四句话 给什么 找什么 怎么找 找时注意什么 具体对待 例1 已知 证明数列 的极限为1 证 欲使 即 只要 因此 取 则当 时 就有 故 例2 已知 证明 证 欲使 只要 即 取 则当 时 就有 故 也可由 N与 有关 但不唯一 不一定取最小的N 说明 取 七 求极限时一些常用公式 八 收敛数列的性质 证 用反证法 及 且 取 因 故存在N1 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 有 1 收敛数列的极限唯一 使当n N1时 假设 从而 矛盾 因此收敛数列的极限必唯一 则当n N时 故假设不真 满足的不等式 2 收敛数列一定有界 证 设 取 则 当 时 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界 说明 此性质反过来不一定成立 例如 虽有界但不收敛 有 数列 3 收敛数列的保号性 若 且 时 有 证 对a 0 取 推论 若数列从某项起 用反证法证明 4 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 证 设数列 是数列 的任一子数列 若 则 当 时 有 现取正整数K 使 于是当 时 有 从而有 由此证明 注 子数列的概念 从原数列抽出无穷多项 保持原来的先后顺序 若原数列中的100万个子列都收敛于a 原数列也不一定收敛于a 若有一个子列不收敛 或者有两个收敛的子列但其极限不等 则原数列一定发散 例 奇偶子列极限不等 内容小结 1 数列极限的
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