高中数学 第二章 数列 2.3.1 等比数列学案 新人教B版必修5.doc

2.3.1等比数列1理解等比数列的定义，并能利用定义判断或证明一个数列是否为等比数列2掌握等比数列的通项公式及性质，能够用它解决有关等比数列的问题3了解等比数列与指数函数的关系1等比数列的定义如果一个数列从_起，每一项与它的前一项的比都等于_，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，公比通常用字母_表示定义表达式为_(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不能为0.(2)对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，应防止把相邻两项的比的次序弄颠倒(3)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从第2项起或第3项起是等比数列(4)如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数，但却是不同的常数，这时此数列不是等比数列【做一做1】下列数列中，等比数列的个数是_1，2，4，8；1，3，3；1,1,1,1；a，a，a，a.2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则通项公式为_其中，a1，q均不为0.等比数列的通项公式ana1qn1的另外一种形式为anamqnm.【做一做2】在等比数列an中，a18，a464，则公比q为()a2b3 c4 d83等比中项如果a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项，即_等比数列中，除了首项与末项之外的任何一项是它的前一项与后一项的等比中项，即a an1an1，反过来，如果a，b同号，g或，即g2ab，那么g是a，b的等比中项(1)x，g，y成等比数列等价于“g2xy”(x，y均不为0)，可以用它来判断或证明三数成等比数列，要注意“x，g，y成等比数列”与“g”是不等价的，而应与“g”等价(2)当x，y同号时，x，y的等比中项有两个，异号时没有等比中项(3)在任意两个非零实数x和y之间，也可以插入n个数使之成为等比数列但要注意：在实数范围内，当xy0时，x，y之间可以插入任意个数；当xy0时，在x和y之间只能插入偶数个数使之成为等比数列【做一做3】若2，x,2成等比数列，则x的值是()a1 b1 c1 d2一、解读等比数列的主要性质剖析：在等比数列问题的解答中，运用基本量转化是最基本的方法，但如果灵活运用性质，可使求解的过程更简捷，所以解答问题时要优先考虑等比数列的性质等比数列有以下性质：(1)两个等比数列的积仍为等比数列(2)在等比数列an中，若mnpq，则amanapaq.(3)数列an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项之积(4)在等比数列an中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk1.(5)当数列an是各项都为正数的等比数列时，数列lg an是公差为lg q的等差数列(6)当m，n，p(m，n，pn)成等差数列时，am，an，ap成等比数列(7)等比数列an中，若公比为q，则数列an仍是公比为q的等比数列；若bn是公比为q的等比数列，则数列anbn是公比为qq的等比数列；数列是公比为的等比数列；|an|是公比为|q|的等比数列二、求数列通项公式的方法剖析：1.如果已知数列为等差(或等比)数列，可直接根据等差(或等比)数列的通项公式，求得a1，d(或q)，直接套用公式即可2若已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an用此公式时我们应当注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an(n2)合为一个表达式3对于形如an1anf(n)型或形如an1f(n)an型的数列，其中f(n)是等差数列或等比数列，可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式4有些数列本身并不是等差数列或等比数列，但可以经过适当变形，构造出一个等差数列或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式，这叫做构造法例如：在数列an中，a11，a22，an2an1an，我们在上式的两边减去an1，得an2an1(an1an)，即可构造一个等比数列来解决问题当然，求数列的通项还有很多其他的方法，在求通项时，我们应尽可能将已知数列转化成等差(或等比)数列，从而利用等差(或等比)数列的通项公式求其通项三、教材中的“？”1为什么q0？等比数列中的项有可能等于0吗？剖析：因为等比数列的公比是后项与前项的商，其商不能为0，除数也不可能为0，故q0，在等比数列中，各项都不会为0.2等差数列的通项公式是怎样推导出来的？怎样用类似的方法推导等比数列的通项公式？剖析：等比数列的通项公式的推导类似于等差数列，先采用归纳的方法猜想出通项公式，然后利用迭乘的方法证明得ana1qn1.3你能通过公比q的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？剖析：当a10，q1或a10,0q1时，数列an为递增数列；当a10,0q1或a10，q1时，数列an为递减数列；当q1时，数列an为常数列；当q0时，数列an为摆动数列四、教材中的“思考与讨论”对于例3中的数列，你是否发现a5，a10，a15，a20恰好成等比数列？你能说出其中的道理吗？你能由此推导出一个一般性的结论吗？剖析：在已知数列中，每隔k项取一项，保持原来顺序依次排列，所得数列还是一个等比数列题型一 等比数列定义的应用【例1】已知数列的通项公式为an32n，试问：这个数列是否为等比数列？分析：可用定义法、等比中项法证明反思：已知某数列的通项公式，判定其是否为等比数列，可依据等比数列的定义证明常用的判定等比数列的方法有：(1)定义法：q(常数)；(2)等比中项法：aanan2(an0)题型二 等比数列的通项公式的应用【例2】在等比数列an中，(1)a42，a78，求an；(2)a2a518，a3a69，an1，求n.分析：先将条件转化为关于基本元素a1与q的方程组，求出a1和q，再表示其他量反思：a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，解法一是常规解法，先求a1，q，再求an，解法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1和q，这也是常见的解法题型三 等比数列性质的应用【例3】已知数列an为等比数列，若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式分析：本题主要考查等比数列的性质“若pq2n，则apaqa(p，q，nn)”的应用反思：若三个数成等比数列，则可设为，a，aq，当然也可设为a，aq，aq2.若四个数成等比数列，则可设为a，aq，aq2，aq3，但不能设为，aq，aq3，因为这个数列的公比为q2，漏掉了公比为负值的情况题型四 构造等比数列求通项公式【例4】(1)在数列an中，a11，an12an1，求通项公式an.(2)在数列an中，a12，an1，求通项公式an.(3)在数列an中，a13，an1a，求通项公式an.分析：对所给递推关系进行适当的变形，构造辅助数列使问题转化为熟悉的问题构造等比数列的方法一般有：配常数、取倒数、取对数等反思：有些数列本身并不是等差、等比数列，但是通过适当的变形，可以构造出等差、等比数列因此解决这类问题应该熟悉能构造成等差、等比数列的形式，以及对应方法题型五 易错辨析【例5】在等比数列an中，若a3a4a6a781，则a1a9的值为()a3 b9c3 d9错解：an为等比数列，a3a7a4a6a1a9.(a1a9)281.a1a99.故选d.错因分析：忽视了在等比数列中，奇数项(或偶数项)符号相同这一条件【例6】已知一个等比数列的前四项之积为，第2项与第3项的和为，求这个等比数列的公比错解：依题意，设这四个数为，aq，aq3，则由得a，代入并整理，得q22q10，解得q1或q1，原等比数列的公比为q232或q232.错因分析：从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过程，由于设这四个数为，aq，aq2，公比为q2，就等于规定了这个等比数列各项要么同为正，要么同为负，而题设中无此规定1给出下列命题：(1)若，则a，b，c成等比数列(abc0)；(2)若b2ac，则a，b，c成等比数列；(3)若an1anq(q为常数)，则an是等比数列其中正确的命题有()a0个 b1个c2个 d3个2在等比数列an中，a32，a78，则a5()a4 b4c6 d43在等比数列an中，公比为q，若amxan，则x等于()aq bqnmcqmn d14在等比数列an中，a3，a5，则a10_.5在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数是_答案：基础知识梳理1第2项同一个常数公比q(q0)q(n2)【做一做1】3若常数列的各项不为零，那么它也是等比数列，所以是等比数列；是首项为1，公比为2的等比数列；是首项为1，公比为的等比数列；中a的值没确定，当a0时，这四个数不能构成等比数列2ana1qn1【做一做2】a由等比数列的通项公式，有a4a1q3，即648q3，所以q2.3g2ab【做一做3】c由题意，得x2(2)(2)1，x1.典型例题领悟【例1】解：解法一：2(常数)，an是等比数列解法二：an132n1，an232n2，anan232n32n2922n2a，an是等比数列【例2】解：(1)解法一：因为所以由，得q34，从而q，而a1q32，于是a1，所以ana1qn12.解法二：因为a7a4q3，所以q34.所以ana4qn42()n42.(2)解法一：因为由，得q，从而a132.又an1，所以32()n11，即26n20，所以n6.解法二：因为a3a6q(a2a5)，所以q.由a1qa1q418，得a132.由ana1qn11，得n6.【例3】解：解法一：a1a3a，a1a2a3a8.a22.从而或或an2n1或an23n.解法二：由a1a2a38，得a22.将a2a1q，a3a1q2代入a1a2a37，a1a2a38，可得解得或故可得an2n1或an23n.解法三：数列an为等比数列，aa1a3.代入a1a2a38，得a8，a22.不妨设等比数列的前三项为，2,2q，则有22q7，整理得2q25q20，解得q2或q.或an2n1或an23n.【例4】解：(1)由an12an1，可得an112(an1)，2.an1是首项为a112，公比为2的等比数列an1(a11)2n12n，即an2n1.(2)由an1，可得，1(1)1是首项为1，公比为的等比数列1()n1()n.an.(3)由a13，an1a，可得an0，lg an12lg an.2.lg an是首项为lg a1lg 3，公比为2的等比数列lg anlg a12n1lg 32n1.an32n1.【例5】正解：a3a7a4a6a1a9，(a1a9)281.a1a99.在等比数列an中，奇数项(或偶