函数的图像与零点试题.doc

高三数学函数的图像 零点高三数学函数的图像 零点 一 选择题 1 已知函数 f x x2 2x b 在区间 2 4 内有唯一零点 则 b 的取值范围是 D A RB 0 C 8 D 8 0 2 设 用二分法求方程在 1 3 内近似解的 过程中 f 1 0 f 1 5 0 f 2 0 f 3 0 则方程的根落在区间 A A 1 1 5 B 1 5 2 C 2 3 D 无法确定 3 已知函数 3 1 2 1 xxf x 那么在下列区间中含有函数 xf零点的是 B A 3 1 0 B 2 1 3 1 C 3 2 2 1 D 1 3 2 4 设函数 则函数 y f x A A 在区间 0 1 1 2 内均有零点B 在区间 0 1 内有零点 在区间 1 2 内无零点 C 在区间 0 1 1 2 内均无零点D 在区间 0 1 内无零点 在区间 1 2 内有零点 5 已知 1 x是方程32 x x的根 2 x是方程 2 log3xx 的根 则 21x x的值为 B A 2 B 3 C 6 D 10 6 已知 x0是函数 f x 2x 的一个零点 若 x1 1 x0 x2 x0 则 B A f x1 0 f x2 0B f x1 0 f x2 0 C f x1 0 f x2 0D f x1 0 f x2 0 解答 解 x0是函数 f x 2x 的一个零点 f x0 0 f x 2x 是单调递增函数 且 x1 1 x0 x2 x0 f x1 f x0 0 f x2 故选 B 7 如图是函数 f x x2 ax b 的部分图象 函数 g x ex f x 的零点所在的区间是 k k 1 k z 则 k 的值为 C A 1 或 0 B 0C 1 或 1 D 0 或 1 解答 解 二次函数 f x 图象的对称轴 x 1 1 a 2 由 g x ex 2x a 0 得 ex 2x a 分别作出函数 y ex和 y 2x a 的图象 如图所示 从而函数 y ex和 y 2x a 的图象的两个交点的横坐标分别在区间 1 0 和 1 2 上 函数 g x ex f x 的零点所在的区间是 1 0 和 1 2 函数 g x ex f x 的零点所在的区间是 k k 1 k z k 1 或 1 故选 C 8 若函数 f x 的零点与 g x 4x 2x 2 的零点之差的绝对值不超过 0 25 则 f x 可以 是 A A f x 8x 2 B f x x 1 2 C f x ex 1 D f x ln x 解答 解 g x 4x 2x 2 在 R 上连续 且 g 0 g 2 1 2 1 0 设 g x 4x 2x 2 的零点为 x0 则 又 f x 8x 2 零点为 x f x x 1 2的零点为 x 1 f x ex 1 零点为 x 0 f x ln x 零点为 x 即 A 中的函数符合题意 故选 A 9 若2 a 则方程033 23 axx在 0 2 上恰好有 B 个根 A 0 B 1 C 2 D 3 10 已知函数 f x 若方程 f x 2a 1 0 恰有 4 个实数根 则 实数 a 的取值范围是 A A 0 B 0 C 1 D 1 解答 解 由 f x 要使方程 f x 2a 1 0 有 4 个不同的实根 即函数 y f x 与函数 y 1 2a 的图象有 4 个不同的交点 如图 由图可知 使函数 y f x 与函数 y 1 2a 的图象有 4 个不同的交点的 1 2a 的范围是 1 2 实数 a 的取值范围是 0 故选 A 11 函数 f x tanx 2 x 3 的所有零点之和等于 B A B 2 C 3 D 4 解答 解 函数 f x tanx 2 x 3 的零点即函数 y tanx 与函数 y 的交点的横坐标 由于函数 y tanx 的图象关于点 0 对称 函数 y 的图象也关于点 0 对称 故函数 y tanx 与函数 y 的交点关于 点 0 对称 如图所示 设函数 f x tanx 2 x 3 的零点分别为 x1 x2 x3 x4 则由对称性可得 x1 x4 x2 x3 x1 x2 x3 x4 2 故选 B 12 定义域为 R 的偶函数 f x 满足对 x R 有 f x 2 f x f 1 且当 x 2 3 时 f x 2x2 12x 18 若函数 y f x loga x 1 在 0 上至多三个零点 则 a 的 取值范围是 B A 1 B 1 1 C 0 D 1 解答 解 因为函数 f x 是偶函数 所以令 x 1 得 f 1 2 f 1 f 1 f 1 解得 f 1 0 所以 f x 2 f x f 1 f x 即函数的周期是 2 由 y f x loga x 1 0 得 f x loga x 1 令 y f x y loga x 1 当 x 0 时 y loga x 1 loga x 1 函数过点 0 0 若 a 1 则由图象可知 此时数 y f x loga x 1 在 0 上没有零点 所以此 时此时满足条件 若 0 a 1 则由图象可知 要使两个函数 y f x 与 y loga x 1 有三个交点 则 y m x loga x 1 不能过点 B 4 2 即 m 4 2 即 loga5 2 解得 此时 所以满足条件的 a 的取值范围 a 1 或 故选 B 13 已知定义在 R 上的奇函数 f x 当 x 0 时 f x 则关于 x 的方程 6 f x 2 f x 1 0 的实数根个数为 B A 6B 7C 8D 9 解答 解 设 t f x 则关于 x 的方程 6 f x 2 f x 1 0 等价 6t2 t 1 0 解得 t 或 t 当 x 0 时 f 0 0 此时不满足方程 若 2 x 4 则 0 x 2 2 即 f x 2 x 3 1 若 4 x 6 则 2 x 2 4 即 f x 2 x 5 1 作出当 x 0 时 f x 的图象如图 当 t 时 f x 对应 3 个交点 函数 f x 是奇函数 当 x 0 时 由 f x 可得当 x 0 时 f x 此时函数图象对应 4 个交点 综上共有 7 个交点 即方程有 7 个根 故选 B 14 已知函数 若方程 f x t t R 有四个不同的实数 根 x1 x2 x3 x4 则 x1x2x3x4的取值范围是 C A 30 34 B 30 36 C 32 34 D 32 36 解答 解 先画出函数 的图象 如图 a b c d 互不相同 不妨设 a b c d 且 f a f b f c f d 0 a 1 1 b 4 4 c 6 d 6 log2a log2b c d 12 cd 24 即 ab 1 c d 12 abcd cd c 12 c c2 12c 4 c 6 的范围为 32 34 故选 C 二 填空题 15 若函数 2 4f xxxa 的零点个数为3 则a 4 16 已知函数 f x k 4x k 2x 1 4 k 5 在区间 0 2 上存在零点 则实数 k 的取值范 围是 4 5 解答 解 令 t 2x 则 t 1 4 f t k t2 2k t 4 k 5 k t 1 2 5 k 4 在 1 4 上有零点 f 1 f 4 0 即可 即 5 k 4 4k 20 0 解得 k 5 或 k 4 故答案为 4 5 17 已知函数 则关于 x 的方程 f2 x 3f x 2 0 的 实根的个数是 5 解答 解 方程 f2 x 3f x 2 0 等价于 f x 2 或 f x 1 函数 1 x 1 f x 1 1 x 1 时 f 1 0 f x 1 时 cos或 x2 1 1 x 0 或 x f x 2 时 x2 1 2 x 综上知方程 f2 x 3f x 2 0 的实根的个数是 5 故答案为 5 18 若关于 x 的方程有四个不同的实根 则实数 k 的取值范围是 k 1 解答 解 由于关于 x 的方程有四个不同的实根 x 0 是此方程的 1 个根 故关于 x 的方程有 3 个不同的非零的实数解 方程 有 3 个不同的非零的实数解 即函数 y 的图象和函数 g x 的图象有 3 个交点 画出函数 g x 的图象 如图所示 故 0 1 解得 k 1 故答案为 k 1 三 解答题 19 已知函数 k m 为常数 1 当 k 和 m 为何值时 f x 为经过点 1 0 的偶函数 2 若不论 k 取什么实数 函数 f x 恒有两个不同的零点 求实数 m 的取值范围 解答 解 1 因为函数 f x 为偶函数 f x f x 由此得 6kx 0 总成立 故 k 0 又该函数过点 1 0 得 m 所以 当 m k 0 时 f x 为经过点 1 0 的偶函数 2 由函数 f x 恒有两个不同的零点知 方程恒有两个不等实根 故 0 恒成立 即恒成立 而 9k2 12k 故只须 即 解得 0 m 所以 当 0 m 时 函数 f x 恒有两个不同的零点 20 已知 A B C 是直线 l 上的不同的三点 O 是直线外一点 向量 满足 记 y f x 1 求函数 y f x 的解析式 2 若关于 x 的方程 f x 2x b 在 0 1 上恰有两个不同的实根 求实数 b 的取值范 围 解答 解 1 A B C 三点共线 2 方程 f x 2x b 即 令 当时 x 0 x 单调递减 当时 x 0 x 单调递增 x 有极小值为 即为最小值 又 0 ln2 又 ln2 ln5 ln2 要使原方程在 0 1 上恰有两个不同实根 必须使ln2 21 已知函数 f x lnx I 设函数 F x ag x f x a 0 若 F x 没有零点 求 a 的取值范围 II 若 x1 x2 0 总有 m g x1 g x2 x1f x1 x2f x2 成立 求实数 m 的取值 范围 解答 解 I F x ag x f x ax2 lnx F x ax x 0 函数 F x 在 0 上为减函数 在 上为增函数 若 F x 没有零点 须且只须 F 0 即 lna 0 即0 设 g a g a g a 在 0 1 而为减函数 在 1 上为增函数 而 g 1 1 0 g a 0 即当 a 0 时 0 恒成立 故若 F x 没有零点 则 a 的取值范围为 0 II 若 x1 x2 0 总有 m g x1 g x2 x1f x1 x2f x2 成立 即若 x1 x2 0 总有 mg x1 x1f x1 mg x2 x2f x2 成立 即函数 h x mg x xf x mx2 xlnx 在 0 上为增函数 即 h x mx lnx 1 0 在 0 上恒成立 即 m 在 0 上恒成立 设 G x 则 G x G x 在 0 1 上为增函数 在 1 上为减函数 G x G 1 1 m 1 22 定义在 R 上的函数 g x 及二次函数 h x 满足 且 h 3 2 求 g x 和 h x 的解析式 对于 x1 x2 1 1 均有 h x1 ax1 5 g x2 x2g x2 成立 求 a 的取值范围 设 讨论方程 f f x 2 的解的个数情况 解答 解 在 中以 x 代替 x 得 即 由 联立解得 g x ex 3 h x 是二次函数 且 h 2 h 0 1 可设 h x ax x 2 1 由 h 3 2 解得 a 1 h x x x 2 1 x2 2x 1 g x ex 3 h x x2 2x 1 设 x h x ax 5 x2 a 2 x 6 F x ex 3 x ex 3 1 x ex 3x 3 依题意知 当 1 x 1 时 x min F x max F x ex 1 x ex 3 3 xex 3 在 1 1 上单调递减 F x min F 1 3 e 0 F x 在 1 1 上单调递增 F x max F 1 0 解得 3 a 7 实数 a 的取值范围为 3 7 设 t a 5 由 知 2 t 12 f x 的图象如图所示 设 f x T 则 f T t 当 t 2 即 a 3 时 T1