[理学]理论力学 第四章.ppt

第四章机械振动基础 机械振动的特点 围绕其平衡位置往复运动 学习目的 利用有益的振动 减少有害的振动 振动系统包括 单自由度系统 多自由度系统和连续体等 1 自由振动微分方程 4 1单自由度系统的自由振动 设弹簧原长为 在重力的作用下 刚度系数为k 弹簧的变形为 这一位置为平衡位置 称为静变形 取重物的平衡位置点O为坐标原点 其运动微分方程为 上式表明 物体偏离平衡位置于坐标x处将受到与偏离距离成正比而与偏离方向相反的合力 恢复力 只在恢复力作用下维持的振动称为无阻尼自由振动 无阻尼自由振动微分方程的标准形式 其解具有如下形式 其中r为待定常数 本征方程 本征方程的两个根为 微分方程的解为 其中和是积分常数 由运动的起始条件确定 令 无阻尼自由振动是简谐振动 2 无阻尼自由振动的特点 1 固有频率 周期振动 若运动规律x t 可以写为 T为常数 周期 由式 自由振动的周期为 其中 振动的频率 表示每秒钟的振动次数 由式 只与表征系统本身特性的质量m和刚度k有关 而与运动的初始条件无关 它是振动系统固有的特性 所以称为固有角 圆 频率 一般也称固有频率 m P g 2 振幅与初相角 A表示相对于振动中心点O的最大位移 振幅 相位 或相位角 表示质点在某瞬时t的位置 而 表示质点运动的起始位置 初相角 3 弹簧的并联与串联 1 弹簧并联 在平衡时有 令 等效弹簧刚度系数 固有频率 当两个弹簧并联时 其等效弹簧刚度系数等于两个弹簧刚度系数的和 这个结论也可以推广到多个弹簧并联的情形 2 弹簧串联 两个弹簧总的静伸长 若设串联弹簧系统的等效弹簧刚度系数为 则有 比较上面两式得 固有频率为 当两个弹簧串联时 其等效弹簧刚度系数的倒数 等于两个弹簧刚度系数倒数的和 这一结论也可以推广到多个弹簧串联的情形 4 其他类型的单自由振动系统 图为一扭振系统 运动微分方程为 令 则上式可变为 例4 1 求 此系统振动的固有频率和振幅并给出物块的运动方程 解 若物块平衡时 弹簧应有变形量 以物块平衡位置O为原点 取x轴如图 运动微分方程为 通解为 固有频率 当物块碰上弹簧时 取时间t 0 作为振动的起点 运动方程为 例4 2 求 系统的振动规律 解 此无重弹性梁相当于一弹簧 其静挠度相当于弹簧的静伸长 则梁的刚度系数为 取其平衡位置为坐标原点 x轴方向铅直向下 运动微分方程为 设 固有频率 在初瞬时t 0 物块位于未变形的梁上 其坐标 重物初速度 则振幅为 初相角 最后得系统的自由振动规律为 例4 3 已知 图为一摆振系统 杆重不计球质量为m 摆对轴O的转动惯量为J 弹簧刚度系数为k 杆于水平位置平衡 求 此系统微小振动的运动微分方程及振动固有频率 解 由平衡方程 例4 4 已知 如图所示两个相同的塔轮 相啮合的齿轮半径皆为R 半径为r的鼓轮上绕有细绳 轮I连一铅直弹簧 轮II挂一重物 塔轮对轴的转动惯量皆为J 弹簧刚度系数为k 重物质量为m 求 此系统振动的固有频率 解 以系统平衡时重物的位置为原点 取x轴如图 系统的势能为 不计摩擦 由系统的机械能守恒 常数 系统动能为 上式两端对时间取一阶导数 得 自由振动微分方程 系统的固有频率为 如图所示无阻尼振动系统 当系统作自由振动时 运动规律为 速度为 在瞬时t物块的动能为 4 2计算固有频率的能量法 若选平衡位置为零势能点 有 对于有重力影响的弹性系统 如果以平衡位置为零势能位置 则重力势能与弹性力势能之和 相当于由平衡位置处计算变形的单独弹性力的势能 当物体处于平衡位置 振动中心 时 物块具有最大动能 当物块处于偏离振动中心的极端位置时 系统具有最大势能 由机械守恒定律 可得系统的固有频率 例4 5 求 系统作微振动时的固有频率 解 系统振动时摆杆的最大角速度 系统的最大动能为 选择平衡位置为零势能点 最大势能为 即 解得固有频率 由机械能守恒定律有 例4 6 求 圆柱体在平衡位置附近作微小振动的固有频率 解 系统的动能为 系统的势能为 当圆柱体作微振动时 可认为 设系统作自由振动时 的变化规律为 则系统的最大动能 系统的最大势能 由机械守恒定律 有 解得系统的固有频率为 1 阻尼 4 3单自由度系统的有阻尼自由振动 阻尼 振动过程中的阻力 粘性阻尼 当振动速度不大时 由于介质粘性引起的阻力近似地与速度的一次方成正比 其中 c 粘性阻力系数 简称为阻力系数 以阻尼元件c表示 一般的机械振动系统 弹性元件 k 惯性元件 m 阻尼元件 c 2 振动微分方程 如以平衡位置为坐标原点 在建立此系统的振动微分方程时可以不再计入重力的作用 在振动过程中作用在物块上的力有 1 恢复力 2 粘性阻尼力 物块的运动微分方程为 令 固有角 圆 频率 阻尼系数 有阻尼自由振动微分方程的标准形式 其解可设为 本征方程 方程的两个根为 通解为 3 欠阻尼状态 欠阻尼状态 本方程的两个根为共轭复数 其中A和 为两个积分常数 由运动的初始条件确定 有阻尼自由振动的固有角频率 令 设t 0 振动的振幅是随时间不断衰减的 称为衰减振动 是否为周期振动呢 仍具有振动的特点 定义 质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置 所需要的时间称为衰减振动的周期 记为 令 称为阻尼比 设在某瞬时t 振动达到的最大偏离值为A 经过一个周期后 减缩因数 相当振幅 对数减缩 反映阻尼的参数 4 临界阻尼 临界阻尼状态 临界阻力系数 本征方程的根为两个相等的实根 微分方程的解为 是否具有振动的特点 因此运动已不具有振动的特点 过阻尼状态 阻力系数 本征方程的根为两个不等的实根 微分方程的解为 5 过阻尼状态 运动图线如图 不具有振动性质 例4 7 已知 如图为一弹性杆支持的圆盘 弹性杆扭转刚度系数为kt 圆盘对杆轴的转动惯量J 如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力 而圆盘衰减扭振的周期为 求 圆盘所受阻力偶矩与转动角速度的关系 解 设 为阻力偶系数 圆盘绕杆轴转动微分方程为 例4 8 求 系统的临界阻力系数和阻力系数各为多少 已知 如图弹簧质量阻尼系统 其物体质量为0 05kg 弹簧刚度系数k 2000N m 使系统发生自由振动 测得其相邻两个振幅比 解 对数减缩为 阻尼比为 系统的临界阻力系数为 阻力系数 4 4单自由度系统的无阻尼受迫振动 在外加激振力作用下的振动称为受迫振动 简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力 其中 H称为激振力的力幅 即激振力的最大值 是激振力的角频率 是激振力的初相角 1 振动微分方程 恢复力 质点的运动微分方程为 取物块的平衡位置为坐标原点 x轴向下为正 令 齐次方程的通解为 设特解有如下形式 其中b为待定常数 将代入方程 全解为 上式表明 无阻尼受迫振动是由两个谐振动合成的 第一部分是频率为固有频率的自由振动 第二部分是频率为激振力频率的振动 受迫振动 2 受迫振动的振幅 1 若 即激振力为一恒力 此时并不振动 所谓的振幅实为静力H作用下的静变形 2 若 振幅b随着频率 单调上升 当 接近时 振幅b将趋于无穷大 3 若 b为负值 b取其绝对值 而视受迫振动 与激振力反向 随着激振力频率 增大 振幅b减小 当 趋于 振幅b趋于零 振幅b与激振力频率 之间的关系曲线称为振幅频率曲线 又称为共振曲线 将纵轴取为 横轴取为 振幅频率曲线如图所示 3 共振现象 当时 即激振力频率等于系统的固有频率时 振幅b在理论上应趋向无穷大 这种现象称为共振 当时 没有意义 微分方程式的特解应具有下面的形式 代入 当时 系统共振 受迫振动的振幅随时间无限地增大 其运动图线如图所示 它的幅值为 共振时受迫振动的运动规律为 例4 9 求 系统的受迫振动规律 解 设任一瞬时刚杆的摆角为 系统的运动微分方程为 令 可得上述方程的特解 即受迫振动为 将代入上式 例4 10 求 当电机以匀速角速度 旋转时 系统的受迫振动规律 已知 如图表示带有偏心块的电动机 固定在一根弹性梁上 设电机的质量为 偏心矩为e 弹性梁的刚度系数为k 偏心块的质量为 解 质点系动量定理 质点系包括电机和偏心块 以平衡位置为坐标原点 电机轴心的坐标为x 受迫振动振幅 上述振幅表达式表示的振幅频率曲线如图所示 微分方程 令 例4 11 求 测振仪中物块的运动微分方程及受迫振动规律 已知 如图为一测振仪的简图 其中物块质量为m 弹簧刚度系数k 测振仪放在振动物体表面 将随物体而运动 设被测物体的振动规律为 解 测振仪随被测物而振动 则其弹簧悬挂点的运动规律是 取t 0时物块的平衡位置为坐标原点O 取x轴如图 物块绝对运动的微分方程为 a 物块的受迫振动形式为 此时激振力的力幅为H ke b为物块绝对运动的振幅 由于测振仪壳体也在运动 其振幅为e 记录纸上画出的振幅为物块相对于测振仪的振幅 记录纸上画出的振幅也就接近于被测物体的振幅 4 5单自由度系统的有阻尼受迫振动 选平衡位置O为坐标原点 坐标轴铅直向下 线性恢复力 粘性阻尼力 简谐激振力 质点运动微分方程 令 有阻尼受迫振动微分方程的标准形式 其解由两部分组成 在欠阻尼的状态下有 其中 表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角 对任意瞬时t 上式都必须是恒等式 将上述两方程联立可解出 于是得方程的通解为 其中A和 为积分常数 由运动的初始条件确定 受简谐振动力作用的受迫振动仍然是谐振动 有阻尼受迫振动包括两部分 衰减振动过渡过程 受迫振动稳态过程 振动频率 激振力的频率 振幅频率关系曲线 横轴表示频率比 纵轴表示振幅比 影响振幅的因素 激振力的力幅 频率 m k和c 1 当时 当作无阻尼受迫振动处理 2 当 阻尼增大 振幅下降 振幅b具有最大值 这时的频率称为共振频率 共振频率 共振的振幅为 3 当时 阻尼对受迫振动的振幅影响也较小 将系统当作无阻尼系统处理 有阻尼受迫振动的相位角 总比激振力落后一个相位角 称为相位差 相位差 随激振力频率变化曲线如图 例4 12 已知 如图为一无重刚杆 其一端铰支 距铰支端l处有一质量为m的质点 距2l处有一阻尼器 其阻力系数为c 距3l处有一刚度系数为k的弹簧 并作用一简谐激振力 刚杆在水平位置平衡 解 设刚杆摆角为 振动微分方程为 令 即系统的固有频率 当时 质点的振幅 4 6转子的临界转速 使转子发生激烈振动的特定转速 临界转速 单圆盘转子 质量m 质心为C 圆盘与轴的交点为A 偏心距为e AC 圆盘角速度为 转轴弯曲偏离原来的固定轴线 点O为z轴与圆盘的交点 设转轴安装于圆盘的中点 圆盘惯性力 弹性恢复力 4 7隔振 隔振分为主动隔振和被动隔振两类 1 主动隔振 主动隔振是将振源与支持振源的基础隔离开来 如图所示为主动隔振的简化模型 由振源产生的激振力 隔振 将振源和需要防振的物体之间用弹性元件和阻尼元件进行隔离 减振 使振动物体的振动减弱的措施 按有阻尼受迫振动的理论 物块的振幅为 弹簧变形而作用于基础上的力 通过阻尼元件作用于基础的力 这两部分力相位差为90 而频率相同 它们可以合成为一个同频率的合力 合力的最大值为 它与激振力的力幅H之比为 其中 称为力的传递率 在不同阻尼情况下传递率 与频率比s之间的关系曲线 2 被动隔振 将需要防振的物体与振源隔开称为被动隔振 图为被动隔振的简化模型 设地基振动为简谐振动 将引起搁置在其上物体的振动 这种激振称为位移激振 质点运动微分方程为 将的表达式代入 其中 方程的特解 稳态振动 为 写成纲量为1的形式 其中是振动物体的位移与地基激振动位移之比 称为位移的传递率 例4 13 求 汽车以速度v 45km h匀速前进时 车体的垂直振幅为多少 汽车的临界速度为多少 解 令则 其中 相当于位移激振频率 以汽车起始位置为坐标原点 路面波形方程可以写为 系统的固有频率为 激振频率与固有频率的频率比为 求得位移传递率为 因此振幅 当时系统发生共振有 解得临界速度 4 8两个自由度系统的自由振动 例子 汽车的振动 上式是一个二阶线性齐次微分方程组 两个物块的运动微分方程 令 上列方程组的解为 将上式代入 整理后得 系统发生振动时 方程具有非零解 则方程的系数行列式必须等于零 频率行列式 系统的本征方程 称为频率方程 整理得 其中第一根较小 称为第一固有频率 其中第二根较大 称为第二固有频率 结论 两个自由度系统具有两个固有频率 这两个固有频率只与系统的质量和刚度等参数有关 而与振动的初始条件无关 对应于频率的振幅为 对应于频率的振幅为 其中和为比例常数 对应于第一固有频率的振动称为第一主振动 它的运动规律为 对应于第二固有频率的振动称为第二主振动 它的运动规律为 各个主振动中两个物块的振幅比 图b表示在第一主振动中振动形状 称为第一主振型 图c表示在第二主振动中振动形状 称为第二主振型 图c中的点C是始终不振动的节点 主振型和固有频率一样都只与系统本身的参数有关 而与振动的初始条件无关因此主振型也叫固有振型 自由振动微分方程的全解为 第一主振动与第二主振动的叠加 即 其中包含4个待定常数 它们应由运动的4个初始条件确定 例4 14 求 系统的固有频率和主振型 解 根据达朗贝尔原理和材料力学中的变形叠加原理 由两个惯性力在和处产生的挠度分别为 整理得系统的运动微分方程 a 令 b 则方程 a 可改写为 c 设上述方程解的形式为 d 将式 d 代入方程 c 得 e 频率方程为 将行列式展开 得 f 整理得 g 可以证明的两个根都是正实根 和为系统的两个固有频率 振幅比为 h i 同样可证明和 这样可以画出第一主振型和第二主振型如图b c所示 设 则根据材料力学公式可计算出 其中EI为梁截面的抗弯刚度 再将上述表达式代入式 g 中得 再由式 h 和 i 解得振幅比为 梁对于其中点具有对称和反对称的两个主振型 将上式代入公式 b 得 例4 15 已知 均质细杆质量为m 长为l 由两个刚度系数皆为k的弹簧对称支承 求 此系统的固有频率和固有振型 解 此时细杆的质心坐标为 a 细杆绕质心C的微小转角 b 列出细杆的平面运动微分方程 将式 a 和式 b 代入上两式 注意 则可整理为 c 其中 只求系统的固有频率和固有振型时 可取振动的初始角 0 而设式 c 的解为 d 将上式代入式 c 消去得 e f 这是对应于直杆上下平动的固有振型 这是对应于质心不动而绕质心转动的固有振型 如果直接取质心位移和绕质心的转角 为系统的两个独立坐标 则直杆的平面运动微分方程为 g 上式是对和互相独立的两个微分方程 系统的两个固有振型 随同质心的平移位移绕质心转动的角位移 和称为此系统的两个主坐标 例4 16 求 小车和重物的运动 解 应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程 视小车和重物为两个质点 则系统动能为 其中 广义坐标 小车的水平位移x绳AB偏离铅直的角度 系统的势能等于弹簧势能与重力势能的和 如下线性微分方程组 a 设上述方程组的解为 b 将所设解 b 代入式 a 中 并令 c 频率方程为 或 令 代入题设数据 得系统的两个固有频率为 系统的两个主振动为 d 系统的振动规律为 e 现在来确定4个数值 将式 e 取一阶导数得 f 初始条件 t 0时 将它们代入式 e 和 f 中 解得 因此 小车和重物的运动规律为 4 9两个自由度系统的受迫振动 动力减振器 如图所示是一个无阻尼系统 在主质量上作用有激振力 小质量以刚度系数为的弹簧与主质量连接 可用来减小的振动 称为动力减振器 相对平衡位置的位移 相对平衡位置的位移 建立两个质量的运动微分方程为 令 则上式可简化为 设上述方程一组特解为 式中A和B为和的振幅 是待定常数 解上述代数方