用有限差分法分析单脊波导中TM波的传输特性.doc

目 录引言11 概述21.1电磁场边值问题的解法21.1.1 解析法21.1.2 数值法21.2 FDM算法的发展21.3 脊波导31.3.1 脊波导简介31.3.2脊波导的特点41.3.3电磁波在波导内传播的特点41.4 本文的主要工作52 有限差分法（FDM）的基本原理62.1 有限差分法的基本概念62.2基本差分公式62.3 差分方程的求解过程82.4有限差分法的计算步骤93 用FDM法分析脊形波导问题113.1理论分析113.1.1波导中的电磁场方程113.1.2亥姆霍兹方程的差分表达式123.2用差分法求解波导问题的计算框图153.3 数值计算结果及讨论153.3.1 单脊波导TM波的计算153.3.2 双脊波导TM波的计算173.4结果分析173.4.1 单脊波导的TM波计算结果与比较用有限差分法分析TM波在单脊波导中的传输特性本文值与文献值比较不同尺寸单脊波导的截止频率计算183.4.2 双脊波导的TM波计算与比较用有限差分法分析TM波在双脊波导中的传输特性不同尺寸双脊波导的截止频率计算193.5 本章小结214结论与展望224.1 结论224.2展望22致谢24参考文献25附录A 外文文献26附录B 外文文献译文30附录C 牛顿迭代法35附录D 计算单脊波导TM波截止频率的程序36附录E 计算双脊波导TM波截止频率的程序38陕西理工学院毕业论文（设计）引言随着科学技术的发展，微波技术的应用已渗透到了科学领域的许多方面，如无线通信、全球定位系统、雷达以及电子和计算机工程学科中。发展至今，用于求解各类电磁场边值问题的方法已经为数众多，从数学分析的角度看，这些方法通常可以归结为四大类型，即严格解析方法、近似解析方法、数值方法和半数值方法。电磁波在传输过程，根据工作频率的不同，所采用的传输线的结构不同。如在米波高段至分波低端这个范围采用并行双线；在分米波高端至10米波段采用同轴线；而到了厘米波波段就要采用波导传输系统了。在现代微波工程中，为了满足微波传输系统性能的要求, 需要不断探索和研究具有特殊截面形状的各种新型波导。通常所指的是波导具有任意横截面的均匀导电的空心金属管。根据横截面形状不同，有矩形波导、圆形波导，脊形波导和椭圆波导等。最近几十年来, 由于脊波导具有较长的主模截止波长、宽频带和低阻抗等特性，各种结构形状的脊波导应运而生。人们不断探索新的脊波导计算方法, 希望能获得求解这类波导本征值的简单且精确的算法。以前我们用镜像法和分离变量发都属于求解电磁场边值问题的解析解的方法，称为解析法。所得到的是电磁场的空间分布函数的解析表达式，这是一个精确的表达式。但是，许多实际问题往往由于边界形状过于复杂，很难用解析法求解，这时则可借助数值解法来求得电磁场问题的数值解。自本世纪40年代以来，有限差分法开始在工程电磁场数值分析中得到应用，其主要特点是简单和直观，通过将连续场域离散化，用各离散点上的场量差商来近似地代替该点的偏微商，将需要求解的偏微分方程化为求解一组相对应的差分方程问题，由此差分方程组解出特定条件下问题的数值解，差分方程和定解条件(初始条件、边界条件)的离散化结合在一起便构成了一个差分格式。如前所述，有限差分法在电磁场问题上的应用历史并不长，有限差分法可供讨论的问题不少，本文将就有限差分法在电磁场的几种常用差分格式作初步讨论，并且在比较研究的基础上，对电磁波在脊波导中传播的TM模的特性做一研究，并利用FORTRAN语言编程平台算出其截止频率及场域值。现代电子计算机和计算技术的发展水平，已使有限差分法的数值结果达到工程角度相当满意的精度。 1 概述1.1电磁场边值问题的解法1.1.1 解析法1864年Maxwell在前人的理论(高斯定律、安培定律、法拉第定律和自由磁极不存在)和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是著名的Maxwell方程。在11种可分离变量坐标系求解Maxwell方程组或者其退化形式，最后得到解析解。这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。对于不规则形状或者任意形状边界则需要比较高的数学技巧，甚至无法求得解析解。一般的意义上，研究问题如果有数学模型的话，肯定建设其存在一些前提条件，然后根据条件不同，由该模型（具体表现为“解析表达式”）得出相应的可能结果，当然结果不一定只有一个,但一般也不会“无数个解”，即便是无数个，也要根据具体情况假设其中一个为定值或在一定范围内变化，从而讨论另一个值的可能取值，有点数学方面的讨论的意思，比如x+y=10有无数个解，可先固定x再讨论y。1.1.2 数值法许多实际的问题往往由于边界形状过于复杂，很难有解析法求解，这时则可借助数值解法来求得电磁场问题的数值解。（1）数值法的基本思想时将所要求的整个连续分布的场域空间的场的转换为所要求解的场域空间中各个离散点上的场的集合。显然，离散点取得越多，对场分布的描述就越精确，但是计算量也越大。（2）常用的数值法是：基于应用微分形式的电磁场方程的有限差分法、有限元法等；给予应用积分形式的电磁场方程的距量法、边界元法。数值法主要是指有限元位移法.一般认为只要力学模型正确这主要包括网格划分、边界条件、外力处理等获得的结构变形及应力状态就会比较准确。数值法主要是指有限元法,有限元法大多是在解析法FGM模型的基础上,在不同尺度上进行有限元离散,离散单元尺度不同,进行有限元计算时要满足的连续性条件不同,预测结果的精确度就不同。1.2 FDM算法的发展有限差分法是电磁场数值计算中应用最早的一种方法。自五十年代以来，FDM以其概念清晰方法简单直观的故有优点，不但已经有许多成功的应用范例，而且应用范围也不断扩展，始终在蓬勃发展的计算电磁学占有一席之地。 有限差分法的基本思想是：利用网格线将定解区域（场域）离散化为网格节点的集合，基于差分原理以及各离散点上函数的差商近似代替该点的偏导数，并由此把偏微分方程转化为代数差分方程组，从而求出各离散点上的场值。无论对各型二阶线性偏微分方程高阶或非线性方程，边值问题或初值问题，原则上都可以用FDM求得离散化的数值解。与FEM相比，FDM的主要缺点在于网格划分欠灵活（如典型的长方形网格五点差分格式）：一方面几何适应性差，对复杂的边界或交界进行的算法处理比较困难，难与实现通用化、自动化的处理模块；另一方面对部分场域内变量急剧变化的边值问题，为保证求解精度只能采用加密网格的办法，从而使计算开销急剧增大。因此，FDM的应用范围受到一定限制。FDM的新发展是1977年M.Brandt提出得多重网格法（MGM, Multiple Grid Method）,由于可以仅用0（N）次运算实现求解N个网格点上的椭圆型微分方程，因此该法被认为是偏微分方程边值问题超大型工程数值模拟中的最优数值方法。尽管有其不足，但在力所能及的范围，FDM几乎是可供选择的众多电磁场数值计算方法中最简洁的一种。FDM技术是由Stratasys公司所设计与制造，可应用于一系列的系统中。这些系统为FDM Maxum、FDM Titan，Prodigy Plus以及Dimension。FDM技术利用ABS，polycarbonate(PC)，polyphenylsulfone (PPSF)以及其它材料。这些热塑性材料受到挤压成为半熔融状态的细丝，由沉积在层层堆栈基础上的方式，从3D CAD资料直接建构原型。该技术通常应用于塑型，装配，功能性测试以及概念设计。此外，FDM技术可以应用于打样与快速制造。1.3 脊波导1.3.1 脊波导简介自上世纪40 年代Cohn开始研究脊波导的传输特性以来,对脊波导的研究越来越引起人们的关注。比如Hofper和Pyle 在Cohn 的基础上,就分别用横向谐振法和准静态法计算了脊波导的截止波数。经过几十年的发展,对脊波导传输特性的研究已经取得了相当好的成果。与传统矩形波导相比,脊波导有很多显著的特点:其单模带宽更宽,主模截止波长更长,阻抗更低。早期对脊波导的研究大多集中在单脊矩形波导上(图1.1),但通过近些年的发展,出现了很多新型的脊波导,如双脊波导(图1.2)、背脊波导、圆形波导等。而不对称脊波导也是其中的一种。图1.1 单脊波导示意图 图1.2 双脊波导示意图脊波导与矩形波导相比具有截止波长、等效阻抗低、工作频带宽等优点,在同一频率的情况下,脊波导的尺寸更小。它在微波和毫米波器件上得到了广泛的应用。随着科学技术的发展,机械加工条件的提高,不同形式脊波导的制造成为可能。在微波工程中,为了满足微波传输系统性能的某些需求,需要不断探索和研究具有特殊截面形状的各种新型波导。由于脊波导的边界条件比普通矩形波导复杂,要精确地分析脊波导传输特性十分困难,一般借助计算机进行数值求解。本文采用有限差分法对变形脊波导的截止波长进行了数值求解。脊型波导是在矩形波导上生有凸脊形成的波导，所以又称凸缘波导。它可分为单脊波导和双脊波导。实际上脊型波导是矩形波导的一种变形，因此也是TE波、TM波，主波形也是TE10模，其场结构与矩形波导TE10模式的场结构类似，但不同的是在脊凸缘附近由于边缘效应而是场结构受到一定的扰动。对于脊型波导来说，由于边界条件较为复杂，不便于严格的场解法求出其中的场分量及其截止波长，常应用简化的近似分析方法得出一些有用的结果。单脊波导和双脊波导的分析方法是一样的，工作特性也基本相同。1.3.2脊波导的特点与矩形波导相比，脊形波导具有如下特点：1）TE10波型的截至波长更长，故单模工作的频带更宽；2）同一频率的情况下，尺寸更小；3）高次模的截止频率更高；4）等效阻抗较低。根据这个特点，可是作矩形波导与低阻抗的同轴线、微带线之间的过渡连接装置；5)功率容量小，损耗大。由于它具有的宽频带特性，使得脊形波导在信号变换等方面有较多的应用。1.3.3电磁波在波导内传播的特点电磁波在波导传播的相速大于它在自由空间传播的相速，而群速则小于它在自由空间传播的相速，波导是一种色散的导波装置。导波系统中传输的电磁波分为TEM波和非TEM波。非TEM波有TE波，TM波和混合波，可采用纵向场方法求解。导波系统中的TEM波传输常数是和无界空间的TEM波传输常数相同。导波系统中的TEM波横向场分布满足的方程和静态场方程相同的，说明TEM波横向场分布具有静态场的一些性质。在自由空间传播的均匀平面电磁波（空间中没有自由电荷，没有传导电流），电场和磁场都没有和波传播方向平行的分量，都和传播方向垂直。此时，电矢量E，磁矢量H和传播方向k两两垂直。只是在这种情况下，才可以说电磁波是横波。沿一定途径（比如说波导）传播的电磁波为导行电磁波。根据麦克斯韦方程，导行电磁波在传播方向上一般是有E和H分量的。TE波，TM波，TEM波是属于电磁波的三种模式。TE波指电矢量与传播方向垂直，或者说传播方向上没有电矢量。TM波是指磁矢量与传播方向垂直。TEM波指电矢量于磁矢量都与传播方向垂直。E,H,k一定满足右手螺旋，但它们未必是两两正交的。1.4 本文的主要工作本文主要研究的是用有限差分法分析脊波导的传输特性，基本思路是通过对一些数值方法的比较，选用有限差分法对脊波导进行分析，再利用FORTRAN程序语言编制出相应的程序，利用FORTRAN程序语言平台进行运行，得出单脊波导的传输TM模的截止频率和场域值，并将结果与已有文献数据进行比较验证，得出结论；在此基础上，运用同样的程序对双脊波导进行分析，得出其TM模的截止频率和场域值，以供工程参考。第一章介绍求解各类电磁场边值问题的常用方法及波导的发展和应用，并讨论有限差分法的发展和应用。第二章介绍本文的基本原理方法，给出了有限差分法（FDM）的基本概念和常用的差分公式，同时也介绍了差分方程的求解过程及解差分方程的主要步骤。第三章首先从理论出发对要计算的量进行了公式推导，再根据这些公式编制出用有限差分法计算脊波导的传输特性，对其程序运行后得出最终的结论。计算结果经验证与理论值基本一致。运用FORTRAN程序语言编制的程序进行单、双脊波导的截止特性计算减少了繁琐的运算量，为工程应用提供了很大的方便。其中，改变双脊波导的尺寸，分别计算截止频率，并绘制曲线图(未见其他文献发表)。2 有限差分法（FDM）的基本原理2.1 有限差分法的基本概念有限差分法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。2.2基本差分公式我们要求的电位函数，它在区域内满足下面的拉普拉斯方程 (2-1)在边界上，它服从以下条件： (2-2)式中为边界点的函数。这类问题一般称为第一类边值问题或称狄里赫利问题。为了用差分方法求解电位分布，先在平面分别作两族平行于轴和轴的直线,线间的距离为，于是各直线的和坐标分别为： 式中为正整数，取值1、2、。这样区域就被许多边长为的正方形所覆盖，在图2.1中示出了这种情况。各正方形的顶点被称为网格的节点，从图可以看到，各节点所处位置有所不同。一些节点（例如节点）恰落在边界上，我们把它叫做边界节点。有些节点到边界的距离不足（例如节点）,这些节点叫做不规则节点。但是大部分节点到边界的距离大于，例如图上的点，它们属于规则节点。差分法就是求这些离散节点处的近似值。以后将用符号来表示节点，而将节点处的值用代表。当用差商来替代偏导数，可以从(2-1)式导出它的差分表达式。在直角坐标系如果采用图2.1所示的不等距网格时，求出的差分表达式2-3。图2.1 将场域划分成网格i=1,2,3j=1,2,3ab0D（x0，y0） (2-3)对于常用的等距网格情况，。根据式（2-3）就得到 (2-4)在轴对称情况，拉普拉斯方程就成为下面的形式 (2-5)图2.2 轴对称情况的不等距网格h1h3h2r0轴线rZ它的差分表达式对不等矩网格为 (2-6)式中各量见图2.2。在等距网格情况，。如果令轴线处，而点落行并且，则。根据（2-6）式就得出 (2-7)假使点落在的轴上，可以求出差分格式为 (2-8)2.3 差分方程的求解过程下面用一个计算金属槽内电位分布的例子来说明差分方程的求解过程。设金属槽上盖板电位等于100，侧壁与底壁的电位为0。将场域用正方形网格划分，要求的是场域内部九个节点的电位值。对网格节点1，根据式（2-4）的等距差分公式可以得到也可以扩展成以下的形式： 对其它标号为29的各个节点也可写出类似的扩展方程,将它们组合起来就得到了下面的矩阵，其形式表示的线性代数方程组。010010010000000000图2.3 金属槽的结构这是一个包含九个变量u1-u9的方程组，可采用线性代数中赛德尔迭代法求解。但是采用这种方法，必须先给各个变量赋以初始值，这样就可从第一至第九个方程依次求出u1-u9的改善值。不断重复这种计算，直至相邻两次算出的各个u值收敛到我们需要的精度为止。在实际的计算过程中，当然用不着先列出上面所述的方程组，它仅在网格节点很少时候才有可能。注意到前面列出的各个差分公式中，网格中某节点的电位只和它四邻节点电位有关这一特点，例如图2.3中节点5的电位仅和它四周相邻点2、4、6、8的电位有关。就可以从左至右，从上至下一行一行地扫描逐一地求出各网格节点的电位。1、为判别计算的收敛程度，一般采用以下两种方法：对所有网格点，找出相继的两次迭代的最大相对误差 (2-9)式中表示第次迭代。2、找出相继两次迭代形成的各网格节点的平均相对误差 (2-10)对同一问题，由第二种方法求出的收敛误差比第一种方法小12个数量级，所以如果用第一种方法是收敛精度误差控制在，则用第二种方法时就应控制在。2.4有限差分法的计算步骤对于包括电磁场在内的各种偏微分方程的定解问题，应用有限差分法进行计算的主要步骤为：1、采用一定的网格划分格式将定解区域化为离散点集，即把实际连续的场离散为有限的多个点，用这些离散点上的参数近似描述实际上连续的场，也就是所谓的“离散”。 2、基于差分原理的应用，通常将微分方程离散为差分方程，并将定解条件离散化，一般把这一过程叫做构造差分格式，不同的离散化途径得到不同的差分格式。3、建立差分格式后，把原来的偏微分方程定解问题化为代数方程组，通过解代数方程组，得到由定解问题的解在离散点集上的近似值组成的离散解，应用插值法便可从离散解得到定解问题在整个定解区域上的近似解。根据以上所说，可以写出用差分法计算静电电位问题的框图，如图2.4启动给定边界位置信息给定边界电位和给其它节点赋初值迭代次数k0kk +1j1i1规则点乎？第j行扫描结束乎？全区扫描结束乎？计算收敛到指定精度乎？打印计算结果用规则点的五点差分公式计算用不规则点差分公式计算jj +1ii +1是是是是否否否否图2.4 差分法计算框图3 用FDM法分析脊形波导问题3.1理论分析3.1.1波导中的电磁场方程当波在任意截面的波导中传播时，可以将其中传播的电磁波分成TE波和TM波。现在将分别把它们的各个场分量关系总括如下：对TM波，如令，则其它各个场分量为 ， (3-1)， (3-2)以上诸式中的横向电磁场分量可以归并成以下简洁的形式 (3-3) (3-4)对TE波，可令，则其它各个场分量为 ， (3-5)， (3-6)各个横向分量也可合并如下在下面各式中，为相位常数，它等于 (3-7)被称为截止波数，他由下式决定 (3-8)式中，波导的截止频率； 光速。 (3-9) (3-10)3.1.2亥姆霍兹方程的差分表达式无论是TE波还是TM波，上面定义的函数均满足亥姆霍兹方程 (3-11)但是对于不同波型有不同的边界条件。对TM波，；对TE波，代表波导截面的边界线。用求拉普拉斯方程的差分方程一样的方法，不难求出在不等距网格情况下，亥姆霍兹方程的差分表达式为 （3-12)式中的、定义见图3.1。对等距网格情况，就得到 (3-13)当用式（3-12）或（1-13）求解亥姆霍兹方程时，和解拉普拉斯方程有所不同。前者需要给定值，但这个值在计算前是不知道的。为消除这个困难，可采用下面的措施，就是在计算开始前，除了给内部网格节点赋初值外，也给一个初值，有了这个初值，就可进行值迭代计算而将各节点值改善到一个较好的精度，如果松弛系数选得适当，只要几次迭代就行了。然后用各节点的这些值用下面讲的方法求出改进的值。再利用这个值去求，这种过程循环重复，直到和各节点值均收敛到应用的精度为止。为了从各网格节点值求，可采用以下方法。用乘式（3-11）后并将整个等式对波导横截面进行面积分，得到：或者写成式中为对横向坐标的拉普拉斯算子。由上式解出 (3-14)利用这个公式求，直观上也可看出比直接用式（3-13）来求更合理，因为它意味着在整个场域内的平均，这就可能使计算形成的误差部分地被抵消。（3-14）式可用下面的差分近似式来表示 (3-15)上式中的代表对所有网格节点求和，代表第（i，j）节点所占有的面积。对于区域内的规则点，例如图3.2中的g点，。但对于面积上的W点，；对于边界上的角点z，这些关系由图上的阴影区容易看出。在TM波情况，由于边界上，所以沿边界的乘积，这是在式（3-15）中所有其他内部12340 图3.2 求边界节点的 图3.2 求边界节点的图3.1 不等距网格 点均等于而可约去，式（3-15）就简化成 (3-16) 在以后对波导计算时，编制的计算机程序所采用的方法同于计算电位的超松弛法，但稍作改变如下：将式（3-13）改写成下面的形式 (3-17)式中叫做余量，表示0点的第次迭代求出的值，各点1，2，等位置见图1.2。我们再来求0点的新值，它应使得式（3-17）的余量为零，即 (3-18)为了加速收敛，乃令第次迭代求出的值为，它等于 (3-19)式中为松弛系数。用式（3-17）减去式（3-18）可得或者 (3-20)将式（3-20）代入式（3-19）就有 (3-21)计算过程是在给定了后，先由（3-17）式计算各节点余量，再根据式（3-21）求出改善后的，用这种方法算出场区各点的值。重复这样的计算，经对指定的迭代次数后，再由式（3-15）或（3-16）求出较精确的值。利用这个新的值，重复上述过程直至值收敛为止。在求出后，就可以算出截至频率。因为 由上面的公式可解出 (3-22)3.2用差分法求解波导问题的计算框图给边界点赋值和给内部节点赋初值输入的初始估计值进行指定次数的迭代以改善场量u的值由（3-16）式计算新的值值是否收敛总迭代次数大于指定次数乎？给边界点赋值和给内部节点赋初值给边界点赋值和给内部节点赋初值是是否否图3.3 求解波导问题的计算框图3.3 数值计算结果及讨论3.3.1 单脊波导TM波的计算如图3.4所示，单脊波导是对称波导，所以只需计算一半就可以了。图3.4单脊波导对于脊形波导中传播的TM波，；在边界应满足的条件。此外，就基波而言，它的分量称于截面中心线，所以只要研究截面的一半区域就可以了，此时中心处的边界条件为，为垂直中心线的外法线方向。由于沿金属边界，故而计算时， 1613816图3.5 脊形波导计算实例待计算的脊形波导的一半截面示如图3.5，采用正方形网格划分，图上注出了网格划分情况。根据图3.3框图编制的程序（附录D）列在下面，其中ALFA变量代表松弛系数，SQKHOLD代表上一计算得到的值，SQKHNEW代表新算出的值，为计算内部节点时常用的一个函数子程序， HH为波导侧壁高度，如图3.5所示。具体计算过程如下：1） 分别给所有节点赋初值，其中边界节点为ez(i,j)=0，内节点为ez(i,j)=4.0；2） 给赋初值为1.3；3） 根据余量公式 ，利用迭代法改善场量u的值；4） K=1时，迭代结束；5） 利用式计算新的值。如果新的值收敛，且迭代次数大于等于400.0，则利用公式计算出截止频率；6） 如果的值没有收敛，则重复上面的方法直至值收敛位置。3.3.2 双脊波导TM波的计算双脊波导的计算和单脊波导的计算过程类似，这里只有 ez(i,j)中i,j的取值范围不同。同样，双脊波导（图3.6）是对称波导，所以只需计算一半就可以了。图 3.6 双脊波导计算实例具体计算过程如下：1) 分别给所有节点赋初值，其中边界节点为ez(i,j)=0，内节点为ez(i,j)=4.0；2）给赋初值为1.3；3）根据余量公式 ，利用迭代法改善场量u的值；4）K=1时，迭代结束；5）利用式计算新的值。如果新的值收敛，且迭代次数大于等于400.0，则利用公式计算出截止频率；6）如果的值没有收敛，则重复上面的方法直至值收敛位置。3.4结果分析3.4.1 单脊波导的TM波计算结果与比较用有限差分法分析TM波在单脊波导中的传输特性图3.7 单脊波导TM波场域电场依据上述方法在VISUAL FORTRAN平台上编制程序（附录D），经调试后可得如下截止频率，如图3.7的单脊波导的场域电场值：f= 0.20582E+05hz由图3.7可见，所有的边界ez值都等于零， j在8至16，i在1至6的范围内ez值不存在。其中；在边界应满足的条件相吻合。经过计算，内节点ez值基本上符合式（3-17）计算所得得值。其中截止频率f的值也符合式（3-22）所得到的理论值。总之，与TM波在单脊波导中的传输特性相符合。本文值与文献值比较利用有限差分法的原理，对如图3.8的脊波导网格划分，其中尺寸为a=1.0cm;b=0.5cm;d=c=0.25cm，然后编写程序(i=51;j=51)，经调试得到截至波数k=12.03rad/cm。将计算值与文献值进行比较，如表3.1所示。图3.8 单脊波导表3.1 本文值与文献值的比较k(rad/cm)本文值文献【8】文献【9】文献【10】文献【11】文献【12】截止波数k12.0312.07612.0512.03812.14512.145根据表3.1的数据可见，用有限差分法计算的结果与其他文献值的所提供的数据基本吻合（其中文献8采用的是半数值法的多极理论），与理论值的相对误差仅达到千分之三左右，足可说明用有限差分法分析脊波导，其计算结果还是能满足精度要求的。不同尺寸单脊波导的截止频率计算对于图3.8的单脊波导，当c/a=0.5时，改变d/b的值，分别计算TM波在波导中的截止频率，其结果如图3.10所示。图3.9 单脊波导c/a=0.5,截止频率随d/b变化的变化曲线图由图3.9可见，在c/a=0.5的情况下，随着d/b的增大，截止频率f减小。其中，在d/b=0.10.3的范围内，截止频率没有什么变化，几乎稳定在0.64E+07到0.65E+07之间；在d/b=0.30.9的范围内，截止频率减小的非常快。3.4.2 双脊波导的TM波计算与比较用有限差分法分析TM波在双脊波导中的传输特性同理依据上述方法在VISUAL FORTRAN平台上编制程序（附录E），经调试后可得截止频率及如图3.10单脊波导的场域电场值：f=0.21960E+05hz双脊波导得到的结果和单脊波导的类似，不同的是i在1至6时，j在1至6的范围，和j在11至16的范围的ez值不存在。边界上的值都等于零，这与脊形波导中传播的TM波，；在边界应满足的条件相吻合。因此，利用有限差分法分析图3.10 双脊波导TM波场域电场双脊波导得到的结果和单脊波导的类似，不同的是i在1至6时，j在1至6的范围，和j在11至16的范围的ez值不存在。边界上的值都等于零，这与脊形波导中传播的TM波，；在边界应满足的条件相吻合。因此，利用有限差分法分析TM波在脊波导中的传输特性是分析波在脊波导中传输特性的有效方法之一。不同尺寸双脊波导的截止频率计算分析如图3.11的双脊波导时，由于双脊波导对称，只需研究一半就可以了。图3.11 双脊波导1、 当d/b=0.5时，改变c/a的值，分别计算TM波在双脊波导中的截止频率。并绘制曲线，如图3.12所示。图3.12双脊波导d/b=0.5,截止频率随c/a变化的变化曲线由图3.12可见，c/a在0.10.3的范围内,截止频率几乎稳定在0.297E+07hz至0.300E+07hz之间。c/a在0.40.9的范围内，截至频率变化的幅度比较大，从0.287E+07hz减小到0.210E+07hz。2、 当c/a=0.5时，改变d/b的值，分别计算TM波在双脊波导中的截止频率。并绘制曲线，如图3.13所示。图3.13双脊波导c/a=0.5,截止波长随d/b变化的变化曲线由图3.13可见，与双脊波导d/b=0.5,截止频率随c/a变化的变化曲线相比，双脊波导c/a=0.5,截止波长随d/b变化的变化曲线相对要平缓得多，且所有的点几乎在一条直线上。3.5 本章小结本章首先介绍了波在波导中的传输性和波动方程；其次介绍了亥姆霍兹方程的差分表达式，及计算过程。最后主要是用有限差分法分析TM波在单脊波导和双脊波导中的传输特性。把理论值和调试程序所得到的结果进行比较。最后分别改变波导的几何尺寸，利用有限差分法的原理编写程序，得到截止频率并绘制变化曲线图。1、 用有限差分法计算的结果，与文献值的相对误差都比较小，与用其他方法计算结果非常接近，且与实验结果吻合。这说明有限差分法计算精度是相当高的，有限差分法是分析TM波在脊波导中传输特性的有效方法之一。2、 对于单脊波导，在c/a=0.5的情况下，随着d/b的增大，截止频率f减小。其中，在d/b=0.10.3的范围内，截止频率没有什么变化，几乎稳定在0.64E+07到0.65E+07之间；在d/b=0.30.9的范围内，截止频率减小的非常快。3、 对于双脊波导，当d/b=0.5时，改变c/a的值，其中c/a在0.10.3的范围内,截止频率几乎稳定在0.297E+07hz至0.300E+07hz之间。c/a在0.40.9的范围内，截至频率变化的幅度比较大，从0.287E+07hz减小到0.210E+07hz。4、 对于双脊波导，当c/a=0.5时，改变d/b的值，其中与双脊波导d/b=0.5,截至频率随c/a变化的变化曲线相比，双脊波导c/a=0.5,截止波长随d/b变化的变化曲线相对要平缓得多，且所有的点几乎在一条直线上。改变双脊波导的尺寸，分别计算截止频率，并绘制曲线图(未见其他文献发表)。4结论与展望通过查阅大量资料，和对课题长时间的学习，在此次毕业设计中获得了许多知识，具体如下：4.1 结论1、有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 2、导波系统中传输的电磁波分为TEM波和非TEM波。非TEM波有TE波，TM波和混合波，可采用纵向场方法求解。导波系统中的TEM波传输常数是和无界空间的TEM波传输常数相同。导波系统中的TEM波横向场分布满足的方程和静态场方程相同的，说明TEM波横向场分布具有静态场的一些性质。3、与矩形波导相比脊波导有许多优点。譬如，TE10波型的截至波长更长，故单模工作的频带更宽；同一频率的情况下，尺寸更小；高次模的截止频率更高；等效阻抗较低。根据这个特点，可是作矩形波导与低阻抗的同轴线、微带线之间的过渡连接装置。4、Fortran是目前国际上广泛流行的一种高精度的高级语言，适用于科学计算。Fortran是英文FORmula TRANslation的缩写，意为“公式翻译”。它是为科学、工程问题中的那些能够用数学公式表达的问题而设计的语言，主要用于数值计算。这种语言简单易学，因为可以像抄写数学教科书里的公式一样书写数学公式，它比英文书写的自然语言更接近数学语言。4.2展望1、脊波导与矩形波导相比具有截止波长长、等效阻抗低、工作频带宽等优点,在同一频率的情况下,脊波导的尺寸更小。它在微波和毫米波器件上得到了广泛的应用。随着科学技术的发展,机械加工条件的提高,不同形式脊波导的制造成为可能。在微波工程中,为了满足微波传输系统性能的某些需求,需要不断探索和研究具有特殊截面形状的各种新型波导。由于脊波导的边界条件比普通矩形波导复杂,要精确地分析脊波导传输特性十分困难,一般借助计算机进行数值求解，结构稍复杂些，网格划分的工作量就很大，因此急需编制一种有限差分的通用程序来求解各种对称、非对称的多脊波导的传输特性。2、自上世纪40 年代Cohn开始研究脊波导的传输特性以来，对脊波导的研究越来越引起人们的关注。比如Hofper和Pyle 在Cohn 的基础上，就分别用横向谐振法和准静态法计算了脊波导的截止波数。经过几十年的发展，对脊波导传输特性的研究已经取得了相当好的成果。与传统矩形波导相比，脊波导有很多显著的特点：其单模带宽更宽,主模截止波长更长，阻抗更低。早期对脊波导的研究大多集中在单脊矩形波导上，但通过近些年的发展，出现了很多新型的脊波导，如双脊波导、背脊波导、圆形波导等。而不对称脊波导也是其中的一种。3、非对称脊波导用作缝隙阵列天线阵元可以展宽天线频带，压窄波导宽边尺寸，实现宽角扫描。在天线设计中，通常用实验或等效电路的方法求脊波导的带宽和电中心线的位置从而获得天线阵单元缝偏置等参数。用FDTD 和积分方程法分析了单脊波导的特性。4、为了寻找最佳传输特性的对称双脊波导结构，提出了三角形和倒梯形两种新型对称双脊波导。致谢经过不断努力和改进，此次毕业设计的任务利用有限差分法分析TM波在脊波导中的传输特性已经顺利完成。在这段时间里，我得到了指导老师帅春江老师，和崔丽霞等同学的大力帮助。在此谨向帅老师表示衷心的感谢，他严谨的治学态度对我以后学习和生活将都产生积极的影响。同时也对崔丽霞等同学表示衷心的感谢。参考文献1王萍.脊波导各种参数的计算J.火控雷达技术,2004(03) 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