MATLAB与数学建模.ppt

1 MATLAB与数学建模 2008年7月 2 第一章微积分 线性代数的基础知识及其在MATLAB中的实现 1 1数学建模中常用的微积分知识在MATLAB中的实现 MATLAB中的基本符号运算函数 x sym x 创建一个符号变量xsymsxyz创建多个符号变量x y zr collect S v 合并同类项 S是符号表达式 v是变量或表达式 r是合并同类项后的结果 3 例1 按不同的方式合并同幂项EXPR sym x 2 x exp t 1 x exp t expr1 collect EXPR expr2 collect EXPR exp t 4 factor S 符号计算的因式分解 S是待分解的符号多项式 例2 factor指令的使用 1 除x外不含其他自由变量的情况 2 含其他自由变量的情况之一symsax f2 x 2 a 2 f1 x 4 5 x 3 5 x 2 5 x 6 factor f2 factor f1 3 对正整数的质数分解factor 1025 4 5 expand S 对符号多项式或函数S进行展开 例 symsxy expand x 1 3 expand sin x y 6 r simple S 或r simplify S 对符号表达式S进行化简 例3 简化 1 运用simplify简化symsx f 1 x 3 6 x 2 12 x 8 1 3 sfy1 simplify f sfy1 simplify sfy1 2 运用simple简化g1 simple f g2 simple g1 说明 simple给出的简化式比simplify给出的更短 5 例4 简化ff cos x sqrt sin x 2 ssfy1 simplify ff ssfy2 simplify ssfy1 gg1 simple ff gg2 simple gg1 7 subs S old new 把符号变量中的变量old用new代替 new可以是一个符号 也可以是具体的数 例5 用简单的算例演示subs的置换规则 1 产生符号函数 4 双精度数值置换symsax f3 subs f a x 2 pi 3 f a sin x 5 2 符号变量置换 5 数值数组置换之一f1 subs f sin x sym y f4 subs subs f a 2 x 0 pi 6 pi 3 符号常数置换 6 数值数组置换之二f2 subs f a x 2 sym pi 3 f5 subs f a x 0 6 0 pi 6 pi 6 1 1 1导数 极值和积分 Taylor公式及MATLAB中的实现 1 极限运算 注意 在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时 MATLAB的默认状态是求右极限 7 例8 求极限与极限symsx y1 1 4 x 1 x y2 exp x 1 x limit y1 x 0 limit y2 x 0 例9 求极限symsx y sqrt x 2 1 x limit y x 0 right 2 求导运算 1 一元函数的求导diff f diff f n 例10 求函数的二阶导数symsx f 3 x 3 5 x 1 diff f 2 例11 设 求symsx y 3 x 2 2 x 1 B diff y x 1 eval B 8 2 多元函数的偏导数diff f xi diff f xi n 例12 求关于x的偏导数 symsxy z x 2 sin 2 y B diff z x 3 积分运算 1 一元函数的不定积分int f 求函数f对默认变量的不定积分 用于函数只有一个变量的情况int f v 求符号函数f对变量v的不定积分 例13 计算symsx y 1 sin x 2 cos x 2 int y pretty int y 例14 计算symsxz B int x 1 z 2 z 9 2 一元函数的定积分int f x a b 用微积分基本公式计算定积分 例15 求symsx y x 2 sin x 1 x 2 int y x 1 1 3 多重积分运算int int f y x 计算不定积分int int f y c d x a b 计算不定积分 例16 计算symsxy int int x 2 y 2 1 y x x 1 x 0 1 10 4 函数的Taylor展开taylor f 将函数f展开成默认变量的6阶麦克劳林 Maclaurin 公式taylor f n 将函数f展开成默认变量的n阶麦克劳林 Maclaurin 公式taylor f n v a 将函数f v 在v a处展开成n阶Taylor公式 例17 将函数展开为x的6阶麦克劳林 Maclaurin 公式symsx f x atan x log sqrt 1 x 2 taylor f 例18 将函数展开为关于 x 2 的最高次为4的幂级数symsx f 1 x 2 taylor f 4 x 2 pretty taylor f 4 x 2 11 1 1 2数值微分与数值积分在MATLAB中的实现 数值微分数值微分是用离散的方法近似地计算函数y f x 在某点x a处的导数值 通常仅当函数以离散数值形式给出时才有这种必要 diff x 2 用数值方法计算定积分 1 复合梯形公式trapz x y 2 复合辛普生公式quad fun a b tol trace quadl fun a b tol trace 例19 用复合梯形公式和复合辛普生公式求symsx x 2 0 1 5 y log x x 2 t trapz x y ff inline log x x 2 x q quad ff 2 5 disp blanks 3 梯形法求积分 blanks 3 辛普生法求积分 t q 12 3 用数值方法计算二重积分dblquad fun xmin xmax ymin ymax 计算二重积分 例20 计算 其中D是由y 1 x 4 x 0 y 0所围成的区域Q dblquad inline x y 0 4 0 1 1 1 3线性方程和非线性方程在MATLAB中的各种求解方法 求多项式方程的根roots p solve p 例21 求方程的所有根p 1 49 10 r roots p 或s1 sym x 3 4 x 2 9 x 10 solve s1 13 2 求超越方程的根例22 求方程的根 其中p r为常数ff sym p sin x r solve ff x solve命令还可以用来求解方程组例23 求方程组的根 x y solve x y 1 x 11 y 5 x y 1 1 4MATLAB中求和及求极值方法 求和 1 向量或矩阵求和sum x 求向量x的和或者是矩阵每一列向量的和 例24 a 1 5 A 123 234 789 sum a sum A 14 2 级数求和symsum s v a b 对表达式s的符号变量v从v a到v b进行求和 例25 求symskn f k 3 symsum f k 0 n 1 例26 求symsxk symsum x k sym k k 0 inf 2 求函数的极值点 1 求一元函数的极值问题fminbnd fun x1 x2 在区间 x1 x2 内求函数fun的极小值点 例27 f inline sin x 3 x fminbnd f 2 5 2 求多元函数的极值问题fminsearch fun x0 用单纯形法求多元函数fun在x0附近的极值点fminunc fun x0 用拟牛顿法求多元函数fun在x0附近的极值点 15 1 1 5函数插值与曲线的拟合 函数插值 1 一维插值Y1 interp1 x y X1 method 功能 根据已知的数据 x y 用method方法进行插值 然后计算X1对应的函数值Y1 例28 对 用11个节点作三种插值 并比较其结果 x0 5 0 5 5 y0 1 1 x0 2 x 5 0 2 5 y1 interp1 x0 y0 x linear y2 interp1 x0 y0 x spline y3 interp1 x0 y0 x nearst subplot 2 2 1 plot x0 y0 r p title y 1 1 x 2 subplot 2 2 2 plot x0 y0 r x y1 title linear subplot 2 2 3 plot x0 y0 r x y2 title spline subplot 2 2 4 plot x0 y0 r x y3 title nearst 16 1 二维插值Z1 interp2 x y z X1 Y1 method 功能 根据已知的数据 x y z 用method方法进行插值 然后计算 X1 Y1 对应的函数值Z1 2 曲线的拟合 1 多项式拟合 p s polyfit x y n 功能 对于已知的数据组x y进行多项式拟合 拟合的多项式的阶数为n 其中p为多项式的系数矩阵 s为预测误差估计值的矩阵 例29 x取0至1之间的数 间隔为0 1 y为2 3 2 5 2 1 2 5 3 2 3 6 3 0 3 1 4 1 5 1 3 8 分别用二次 三次 和七次拟合曲线来拟合这组数据 试观察三组拟合曲线哪个效果最好 clf x 0 0 1 1 y 2 3 2 5 2 1 2 5 3 2 3 6 3 0 3 1 4 1 5 1 3 8 p2 polyfit x y 2 p3 polyfit x y 3 p7 polyfit x y 7 17 disp 二次拟合曲线 p2disp 三次拟合曲线 p3disp 七次拟合曲线 p7x1 0 0 1 1 y2 polyval p2 x1 y3 polyval p3 x1 y7 polyval p7 x1 plot x y rp x1 y2 x1 y3 k x1 y7 legend 拟合点 二次拟合 三次拟合 七次拟合 2 非线性最小二乘拟合leastsq f x0 f是M函数文件 例30 用表中的一组数据拟合中系数r k 并给出图像 18 建立函数文件ct mfunctiony ct x t 0 250 511 523468 c 19 2118 1515 3614 1012 989 327 455 243 01 y c x 1 exp x 2 t 2 建立命令文件x0 10 0 5 x leastsq ct x0 tt 0 0 2 8yy x 1 exp x 2 tt plot tt yy rp 19 1 2数学建模中常用的线性代数基础知识在MATLAB中的实现 1 2 1MATLAB中向量和矩阵的基本运算 设A B为两个矩阵A B A Bk AA BA B左除A 1B A必须为方阵A B右除AB 1 B必须为方阵det A 求 A A必须为方阵inv A 或A 1A nA 或transpose A rank A rref A 矩阵行变化化简 求矩阵A阶梯形的行最简形式 20 例31 计算 例32 求矩阵的转置 逆和行列式 symsabcd A ab cd A inv A det A 例33 求矩阵的秩与行最简形 1 2 2矩阵的变换与分解及其在MATLAB中的实现 矩阵的对角元素 1 函数diag可以将一个矩阵的对角元素提取出来diag A 由矩阵A的对角线元素得到一个列向量 例34 A pascal 3 diag A 21 2 用该函数来产生第k阶对角线上的元素diag A k 其中 k 0表示主对角线 k 0表示在主对角线以上 k 0表示在主对角线以下 例35 a 123 A diag a 0 B diag a 1 C diag a 1 3 函数blkdiag可以根据输入创建一个分块对角矩阵S blkdiag a b c 功能 根据输入的a b c等参数构造一个分块对角矩阵 例36 a 1 b 12 34 c 9 d 1 1 2 2 3 3 S blkdiag a b c d 2 矩阵的分解矩阵的奇异值分解s svd A U S V svd A U S V svd A 0 2 矩阵的LU分解 L U lu A 2 矩阵的QR分解 Q R qr A 2 矩阵的Cholesky分解C chol A 22 1 2 3MATLAB中矩阵特征值和特征向量的求解方法 矩阵的特征值与特征向量d eig A 返回方阵A的全部特征值组成的特征向量d V D eig A 返回矩阵A的特征值D与特征向量矩阵V 满足AV VDpoly A 求矩阵A的特征多项式 例37 求矩阵的特征多项式 特征值和特征向量 A 460 3 50 3 61 P poly A V D eig A 注 求矩阵A的特征根D roots poly A 2 矩阵的相似对角化 例38 化上述矩阵A为对角阵 D V 1AV 23 例39 求一个正交变换将二次型化为标准型A 110 1 11 10 0 111 1011 P D eig A symsx1x2x3x4 X x1 x2 x3 x4 Y P X 1 2 4线性方程组的直接求解法在MATLAB中的实现 齐次线性方程组的直接求解法 例40 用基础解系表示齐次方程组的通解 A 11111 3211 3 01226 5433 1 B null A r symsk1k2k3 x k1 B 1 k2 B 2 k3 B 3 24 2 非齐次线性方程组的直接求解法 1 求逆法对AX B 若 A 不等于0 则解由inv A B获得 2 左除法与右除法 例41 求非齐次线性方程组的通解 A 2314 1 24 5 38 213 4 19 6 rref A 3 符号方程组的求解方法 1 线性方程组AX B的符号解X linesolve A B 只给出特解 例42 求的解 symsabc A a00 0b0 B 1 c X linesolve A B 25 2 非线性方程组的符号解 x1 x2 x3 solve e1 e2 e3 例43解e1 sym a b x y e2 sym 2 a x b y 1 e3 sym 2 a b x y e4 sym a y b x 4 a b x y solve e1 e2 e3 e4 26 第二章常微分方程的符号解 r dsolve eqn1 eqn2 var r dsolve eqn1 eqn2 var 功能 求微分方程或微分方程组的通解 r dsolve eqn1 eqn2 cond1 cond2 var r dsolve eqn1 eqn2 cond1 cond2 var 功能 求微分方程 组 满足初始条件的特解 在Matlab中 约定D1表示一次微分 D2表示二次微分 依此类推 Dn表示n次微分 符号Dy相当于Dy Dt 默认自变量为t 例1求解一阶微分方程及x 0时的特解 dsolve Dy 1 y 2 x dsolve Dy 1 y 2 y 0 1 x 例2求解二阶微分方程dsolve x 2 D2y x Dy x 2 1 2 y 0 y pi 2 2 Dy pi 2 2 pi x 27 第三章概率论基础知识及其在MATLAB中的实现 3 1随机事件及其概率 rand N 返回一个N N的随机矩阵rand N M 返回一个N M的随机矩阵rand P1 P2 Pn 返回一个P1 P2 Pn的随机矩阵round X 对向量或矩阵X的每个分量四舍五入取整fix x 对x朝零方向取整floor x 对x朝负无穷大方向取整ceil x 对x朝正无穷大方向取整 二项分布binopdf X N P 计算二项分布的密度函数binocdf X N P 计算二项分布的累积分布函数binoinv X N P 计算二项分布的逆累积分布函数binornd N P m n 产生服从二项分布的m n阶随机矩阵binostat N P 求二项分布的数学期望与方差 3 2随机变量的分布及其数学特征 28 2 泊松分布poisspdf X LMD poisscdf X LMD poissinv Y LMD poissrnd LMD m n poisstat LMD 3 超几何分布hygepdf M n k N hygecdf M n k N hygeinv P n k N hygernd n k N mr mc hygestat n k N 4 均匀分布unifpdf X A B unifcdf X A B unifinv P A B unifrnd A B m n unifstat A B 5 指数分布exppdf X L expcdf X L expinv P L exprnd X L m n expstat L 6 正态分布normpdf X M C normcdf X M C norminv P M C normrnd M C m n normstat M